2024-2025学年第一学期高二10月阶段性检测模拟试题数学(新高考地区专用）

2024-2025学年第一学期高二10月阶段性检测模拟试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 3．如图三棱柱中，是棱的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内的任何直线都与平行 C．且 D．且 5．现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则当取最小时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 10．设为两个随机事件，以下命题正确的是（    ） A．若与对立，则 B．若与互斥，，则 C．若，且，则与相互独立 D．若与相互独立，，则 11．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（   ） A．直线与直线所成的角为 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 13．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，方差为36；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，方差为16．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 14．如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 16．已知，且. (1)求；(2)求向量与夹角的大小. 17．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面；(2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 18．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当时，比较与的大小； (2)当时，求； (3)函数，当时，求的解析式，并求在区间上的值域． 19．如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； (3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$一、 单选题 (40分) 二、 多选题 (18分) 三、 填空题 (15分) 四、 解答题 (77分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第1页（共4页） 缺考填涂标记 2024-2025学年第一学期高二10月考阶段性检测试题数学答题卡 注 意 事 项 姓名：　　　　　　　　　　    班级：　　　　　　　　　　 考号：　　　　　　　　　　    考场：　　　　　　　　　　 座位号：　　　　　　　　 1、主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔填写。 2、不得使用涂改液、修正带。 3、不得在打分框内书写、涂抹。 4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 准考证号 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 12.　　　　　　　　　 　13.　　　　　　　　 14.　　　　　　　　 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第2页（共4页） 16.(15分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 17.(15分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第3页（共4页） 18.(17分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第4页（共4页） 19.(17分)　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2024-2025学年第一学期高二10月阶段性检测模拟试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 3．如图三棱柱中，是棱的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内的任何直线都与平行 C．且 D．且 5．现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则当取最小时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 10．设为两个随机事件，以下命题正确的是（    ） A．若与对立，则 B．若与互斥，，则 C．若，且，则与相互独立 D．若与相互独立，，则 11．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（   ） A．直线与直线所成的角为 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 13．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，方差为36；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，方差为16．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 14．如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 16．已知，且. (1)求；(2)求向量与夹角的大小. 17．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面；(2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 18．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当时，比较与的大小； (2)当时，求； (3)函数，当时，求的解析式，并求在区间上的值域． 19．如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； (3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高二10月阶段性检测模拟试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将比赛得分从小到大重新排列，结合百分位数定义求其分位数. 【详解】将比赛得分从小到大重新排列：， 因为， 所以这组数据的分位数是第个数. 故选：A. 2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由对立事件的性质求解即可. 【详解】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立， 所以甲获胜的概率为. 故选：. 3．如图三棱柱中，是棱的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为 ， 即. 故选：A. 4．已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内的任何直线都与平行 C．且 D．且 【答案】D 【分析】利用面面位置关系可判断AC选项；利用面面平行的定义可判断B选项；利用线面垂直的性质定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，若内有无数条直线与平行且这无数条直线是平行直线，则、平行或相交， 即“内有无数条直线与平行”“”，A不满足； 对于B选项，由面面平行的定义可知，“内的任何直线都与平行”“”，B不满足； 对于C选项，若且，则、平行或相交， 则“且”“”，C不满足； 对于D选项，由线面垂直的性质可知，若且，则， 反之，若，则“且”不一定成立， 故“且”是“”的充分不必要条件，D满足. 故选：D. 5．现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意，将转化为，再结合古典概型公式求解即可. 【详解】因为，所以， 故，而，所以，解得， 所以求的概率即可，从7张卡片抽2张， 基本事件有， ， 共有个基本事件，且设的概率为， 符合题意的事件有， ，共9种，所以，故D正确. 故选：D 6．已知随机事件，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知结合条件概率公式，即可得出，进而推得.即可根据条件概率公式，得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为， 所以，. 又, 所以，. 又， 所以，. 故选：A. 7．如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可. 【详解】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得,， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 8．在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则当取最小时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，为三棱锥的高时，为所求，可设，则,可求出点到平面的距离,得到，再利用，得，解出即可. 【详解】由题意，在空间直角坐标系中，，，， 设，为平面的法向量， 则，,， 则， 令则，故， 则点到平面的距离为， 所以， 则 又，， 即， 所以，代入 可得， 则 所以，则 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据，得到，即可判断B；根据题意得到不共面，即可判断C；根据即可判断D. 【详解】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对B，若，则，故B错误. 对C，假设共面，则， 因为向量组是空间的一个基底， 所以不存在实数，使得成立，故不共面， 即也是空间的一个基底，故C正确. 对D，因为，且， 所以四点共面，故D正确. 故选：ACD. 10．设为两个随机事件，以下命题正确的是（    ） A．若与对立，则 B．若与互斥，，则 C．若，且，则与相互独立 D．若与相互独立，，则 【答案】BD 【分析】根据互斥（或对立）事件概率的性质可判断AB的正误，根据独立事件的定义和性质可判断CD的正误. 【详解】对于A，若与对立，则，故A错误； 对于B，与互斥，则，故B正确； 对于C，因为，故， 故，故与不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以， 而与相互独立，故与相互独立，故，故D正确. 故选：BD. 11．已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（   ） A．直线与直线所成的角为 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】BD 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到，即可判断选项A；利用向量法证明，即可判断选项B；利用向量法求出点到平面的距离即可判断选项C；利用向量法求出直线B1C与平面所成角的余弦值即可判断选项D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系： . A：， 因为，所以，因此该选项不正确； B：， 因为， 所以，而平面ACD1， 因此平面ACD1，所以该选项正确； C：因为平面ACD1，所以是平面ACD1的法向量，， 所以点B1到平面ACD1的距离为，因此该选项不正确； D：设直线B1C与平面所成角为， 则， 所以直线B1C与平面所成角的余弦值， 因此该选项正确. 故选：BD . 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量的坐标运算公式计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为 . 故答案为： 13．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，方差为36；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，方差为16．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 【答案】 【分析】根据题意先求平均数，再结合分层抽样方差公式运算求解. 【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为， 则样本中所有员工的体重的方差， 所以样本中所有员工的体重的方差为. 故答案为：120. 14．如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 .    【答案】 / 【分析】建立适当的空间直角坐标系，第一空：只需证明即可得到平面截正方体所得截面为梯形，进一步结合已知条件求解即可；第二空：结合已知将取得最小值转换为，其中，进一步求出两平面的法向量即可求解. 【详解】由题意以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    第一空：因为分别为的中点，所以， 因为， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以，即四点共面， 所以平面截正方体所得截面为梯形，由对称性可知该梯形是等腰梯形， 因为正方体棱长为4， 所以梯形的上底，下底，梯形的腰长为， 所以梯形的高为， 故所求截面面积为； 第二空：由题意，且， 所以， 在中，当时，， 所以表示经过点且法向量为的平面， 即点在平面上， 由以上分析可知，， 若要取得最小值，只需最小，此时，当然也有， 由题意设，而， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 所以可取， 显然平面的一个法向量可以是， 二面角的余弦值为. 故答案为：18，. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键在于将取得最小值转换为，其中，由此即可顺利得证. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 16．已知，且. (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. 【详解】（1）， ， ； （2）由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 17．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. (1)求平面； (2)求直线BE与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）利用空间向量求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，得， 则，设平面的法向量， ，所以，取，得 因为， 所以．所以． 又面． 所以面． （2）正方体中，平面 故是平面的法向量， 因为， 所以， 所以直线和平面所成的角的正弦值为． 18．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：    利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当时，比较与的大小； (2)当时，求； (3)函数，当时，求的解析式，并求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据概念，结合频率分布直方图，代入可解. （2）用频率分布直方图，结合的意义列不等式可解. （3）分情况讨论，得到分段函数，再求值域即可. 【详解】（1）当时，， ，所以． （2）依题可知，右边图形最后一个小矩形的面积为， 所以．当时，， 解得．此时． （3）当时， ． 当时， ． 因为， 所以在区间的最小值为0.02． 又因为，， 所以在区间上的值域是． 19．如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； (3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直得出线线垂直； （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可； （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【详解】（1）因为， 所以，即平面， 平面，平面， 所以 （2）因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，平面，平面，    以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为 ， 令，得，所以， 设二面角为， . ， （3）分别以反方向和方向分别为轴，过F做的垂线为z轴， 设，，显然， ， ，得出，则，则， 根据翻折后勾股定理得， 化简得，因为构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线PE与平面ABC所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$