专题 求阴影部分的面积5大题型提分练（专项训练）数学浙教版九年级上册

（浙教版）九年级数学上册《圆的基本性质》 专题 求阴影部分的面积 题型一 直接利用公式法求阴影部分面积 解题技巧提炼 所求阴影部分是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解. 1．（2023•大武口区模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 　 ． 2．（2023•二道区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为　 　（结果保留π）． 3．（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（　　） A．π B．π C．π D．2π 4．（2024•孟村县模拟）如图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约60cm）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中∠DAB＝115°，∠ABC＝125°，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（　　） A．300πcm2 B．500πcm2 C．900πcm2 D．1200πcm2 5．（2023•新抚区模拟）如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．12π 6．如图，有公共顶点O的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（　　） A．4π B．π C．3π D．π 7．（2023•耿马县三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（2023•三台县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C．π D．π 9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A，B，C，D为圆心，以AD，BE，CF，DG为半径画扇形，则图中四个扇形（阴影部分）的面积和为（　　） A． B． C． D． 题型二 直接和差法求阴影部分面积 解题技巧提炼 将不规则阴影部分看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解. 1．（2023秋•恩施市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧，与AC边交于点E；以点B为圆心，线段BD的长为半径画弧，与BC边交于点F．若BC＝6，AC＝8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．48 B．48 C．24 D．24 2．（2024春•新宁县校级月考）如图，正方形ABCD的边长为8，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分的面积是（　　） A．8﹣π B．16﹣2π C．16﹣4π D．32﹣4π 3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分的面积是（结果保留π）（　　） A．2π B．π C． D．π 4．（2024•龙湖区一模）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，C，D两点之间的距离是3cm，∠AOB＝60°，则摆盘的面积是（　　） A． B． C． D． 5．（2023•济宁二模）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E．则图中阴影部分的面积为（　　） A．8﹣π B．4+π C．6﹣π D．3+π 6．（2023•双柏县模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于点F，连接DE、DF，若AB＝2，∠A＝60°，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C． D． 7．（2023春•万州区月考）如图，在平行四边形ABCD中，DF⊥AB，AD＝4，AB＝6，，∠A＝60°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积为 　 ．（结果保留π） 8．（2024•垦利区三模）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，AC＝2． （1）求弦CD的长； （2）求图中阴影部分的面积． 9．（2023秋•余杭区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC． （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若CD＝6，∠A＝30°，求阴影部分的面积． 题型三 构造和差法求阴影部分的面积 解题技巧提炼 先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算. 1．（2024•利川市模拟）如图，边长为4的正方形OABC的顶点B在⊙O上，顶点A，C在⊙O内，OA的延长线交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．4π﹣4 D． 2．（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为（　　） A． B．3 C． D． 3．（2024•西湖区校级二模）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2023•乡宁县二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC＝30°，在直径AB上截取AD＝AC，延长CD交⊙O于点E，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．π﹣2 D． 5．（2024•陵川县三模）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝4，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 6．（2023•安岳县二模）如图，在矩形ABCD中，，BE平分∠ABC交AD于点E，以B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F．若点E为AD的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（2024•绥化三模）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为 　 　． 8．（2023秋•关岭县期末）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G． （1）求证：； （2）若∠C＝120°，BG＝8，求阴影部分弓形的面积． 9．（2024•古浪县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E． （1）求证：BD＝DE； （2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求阴影部分弓形的面积． 10．（2023秋•宁波期末）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧BE，AD⊥BC于点D，BE分别交AD，AC于F，G． （1）求证：FA＝FB； （2）若BD＝OD＝2，求阴影部分面积． 题型四 利用等积转换法求阴影部分的面积 解题技巧提炼 通过对图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件. 有两种方法： （1）直接等面积转化法 （2）平移转化法 （3）对称转化法 （4）旋转转化法 1．（2024春•锦州期末）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C． D．8 2．（2023•孝义市三模）如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB＝4，则图中阴影部分的面积等于（　　） A． B． C． D． 3．（2023•锦州二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 4．（2023•朝天区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B．π C． D．2π 5．（2023•大冶市模拟）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 　 　． 6．（2023秋•宝山区期末）如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示． 求：（1）阴影部分的周长； （2）阴影部分的面积．（结果保留π） 7．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连接BC，CD． （1）求证：CD∥AB； （2）若AB＝8，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积． 8．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF． （1）求证：△AFO≌△CEB； （2）若BE＝4，CD＝8，求： ①⊙O的半径； ②求图中阴影部分的面积． 9．（2023秋•丰宁县校级期末）如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置． （1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积； （2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长． 10．（2024•沿河县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E． （1）∠CAB的度数为 　 　； （2）求OE的长； （3）求阴影部分的面积． 题型五 利用容斥原理求阴影部分的面积 解题技巧提炼 有的阴影部分是由两个基本图形互相重叠得到的.常用的方法是：两个基本图形的面积-被重叠图形的面积=组合图形的面积. 1．（2024•运城三模）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，P是AD的中点，以点B为圆心，BP的长为半径画弧，交BC于点E，以点C为圆心，CP的长为半径画弧，交BC于点F，若AB＝3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•潼南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，两弧分别交AB于点D、F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 4．（2023秋•北碚区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AB为半径画弧，连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 　 　． 5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 6．（2023•射洪市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级数学上册《圆的基本性质》 专题 求阴影部分的面积 题型一 直接利用公式法求阴影部分面积 解题技巧提炼 所求阴影部分是规则图形，直接用几何图形的面积公式求解. 1．（2023•大武口区模拟）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB，以点A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为 　 ． 【分析】根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，AB＝AE，利用勾股定理求出DE，即可证得∠DAE＝45°，进而求得∠BAE＝45°，再求出扇形ABE的面积，即可得出答案． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝1，AB， ∴∠D＝∠DAB＝90°， ∵AE＝AB， ∴DE1， ∴AD＝DE， ∴∠DAE＝45°， ∴∠BAE＝45°， ∴阴影部分的面积S＝S扇形ABE ． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和勾股定理等知识点，能求出∠EAB的度数是解此题的关键． 2．（2023•二道区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为　 　（结果保留π）． 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积S＝S扇形BDE+S扇形ACD． 【解答】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2， ∴∠B＝30°，AB＝2AC＝4， ∴BC2， ∴阴影部分的面积S＝S扇形BDE+S扇形ACDπ， 故答案为：π． 【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（　　） A．π B．π C．π D．2π 【分析】先由圆周角定理可得∠AOC的度数，再由扇形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵∠ABC＝40°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝80°， ∴扇形AOC的面积为， 故选：D． 【点评】此题主要是考查了扇形的面积公式，圆周角定理，能够求得∠AOC的度数是解答此题的关键． 4．（2024•孟村县模拟）如图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约60cm）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中∠DAB＝115°，∠ABC＝125°，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（　　） A．300πcm2 B．500πcm2 C．900πcm2 D．1200πcm2 【分析】求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD中∠DAB＝115°，∠ABC＝125°，AB∥CD， ∴∠ADC＝65°，∠BCD＝55°， ∵车轮的直径为24英寸，约60cm， ∴需要的铁皮面积约是， 故选：A． 【点评】本题考查了扇形的面积公式，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 5．（2023•新抚区模拟）如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（　　） A． B．4π C． D．12π 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵正五边形的外角和为360°， ∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°， ∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°， ∵正五边形的边长为6， ∴S阴影π， 故选：C． 【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大． 6．如图，有公共顶点O的两个边长为3的正五边形（不重叠），以O点为圆心，半径为3作圆，构成一个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（　　） A．4π B．π C．3π D．π 【分析】利用扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：S阴， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2023•耿马县三模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则图中影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OA，OB，OC，求出∠AOF，再用扇形公式列式计算即可． 【解答】解：连接OA，OB，OC，如图： ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠AOB＝∠BOC＝360°÷5＝72°，OB＝OC， ∵OF⊥BC， ∴∠BOF∠BOC＝36°， ∴∠AOF＝108°， ∴图中影部分的面积为：， 故选：C． 【点评】本题考查正多边形和圆，解题的关键是掌握扇形面积公式和求出所对的圆心角度数． 8．（2023•三台县模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π B．3π C．π D．π 【分析】由正六边形ABCDEF的边长为2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，进而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH，得到AC＝2，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2， ∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF120°， ∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°， ∴∠BAC（180°﹣∠ABC）（180°﹣120°）＝30°， 过B作BH⊥AC于H， ∴AH＝CH，BHAB2＝1， 在Rt△ABH中， AH， ∴AC＝2， 同理可证，∠EAF＝30°， ∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°， ∴S扇形CAE2π， ∴图中阴影部分的面积为2π， 故选：A． 【点评】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A，B，C，D为圆心，以AD，BE，CF，DG为半径画扇形，则图中四个扇形（阴影部分）的面积和为（　　） A． B． C． D． 【分析】先确定AD＝1，BE＝2，CF＝3，DG＝4，然后根据扇形的面积公式，利用四个扇形（阴影部分）的面积和＝S扇形DAE+S扇形EBF+S扇形FCG+S扇形GDH进行计算． 【解答】解：AD＝1，BE＝2，CF＝3，DG＝4， 所以四个扇形（阴影部分）的面积和＝S扇形DAE+S扇形EBF+S扇形FCG+S扇形GDH π． 故选：A． 【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）． 题型二 直接和差法求阴影部分面积 解题技巧提炼 将不规则阴影部分看成是以规则图形为载体的一部分，其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解. 1．（2023秋•恩施市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧，与AC边交于点E；以点B为圆心，线段BD的长为半径画弧，与BC边交于点F．若BC＝6，AC＝8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．48 B．48 C．24 D．24 【分析】根据勾股定理得到AB10，根据线段中点的定义得到AD＝BD＝5，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB10，∠A+∠B＝90°， ∵点D为边AB的中点， ∴AD＝BD＝5， ∴图中阴影部分的面积6×824， 故选：D． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 2．（2024春•新宁县校级月考）如图，正方形ABCD的边长为8，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分的面积是（　　） A．8﹣π B．16﹣2π C．16﹣4π D．32﹣4π 【分析】据图形可得，阴影部分的面积等于三角形BCD的面积减去扇形OCE的面积，代入面积公式进行计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD＝8， ∴OC＝4， ∴S阴影＝S△BCD﹣S扇形OCE8×832﹣4π． 故选：D． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，解题的关键是修改利用分割法求阴影部分面积． 3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分的面积是（结果保留π）（　　） A．2π B．π C． D．π 【分析】表示出阴影的面积，由扇形面积公式，圆面积公式即可计算． 【解答】解：∵扇形ABD的面积4π，半圆的面积π2π， ∴阴影的面积＝扇形ABD的面积﹣半圆的面积＝4π﹣2π＝2π， 故选：A． 【点评】本题考查求阴影的面积．关键是掌握扇形面积公式，圆面积公式． 4．（2024•龙湖区一模）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，C，D两点之间的距离是3cm，∠AOB＝60°，则摆盘的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先证明△OCD是等边三角形，求出OC＝OD＝CD＝2cm，再根据S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD，求解即可． 【解答】解：如图，连接CD． ∵OC＝OD，∠O＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC＝OD＝CD＝3cm， ∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD， 故选：B． 【点评】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2023•济宁二模）如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E．则图中阴影部分的面积为（　　） A．8﹣π B．4+π C．6﹣π D．3+π 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是正方形四分之一的面积减去弓形CE的面积，弓形CE的面积等于半圆的面积减去正方形四分之一面积差的一半，从而可以解答本题． 【解答】解：∵正方形ABCD边长为4， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝4， ∴阴影部分的面积是：42[42]＝6﹣π， 故选：C． 【点评】本题考查扇形的面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 6．（2023•双柏县模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以B为圆心，BE为半径作弧，交BC于点F，连接DE、DF，若AB＝2，∠A＝60°，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】连接AC，根据菱形的性质求出∠BCD和BC＝AB＝2，求出AE长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠A＝60°，点E是AB的中点， ∴△ABD是等边三角形，DE⊥AB，∠ABC＝120°，BE＝1， ∴DEBE，同理得BF＝1，DF，DF⊥BC， ∴阴影部分的面积S＝S△BDE+S△BDF﹣S扇形BEF＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出△AEC、△AFC和扇形ECF的面积是解此题的关键． 7．（2023春•万州区月考）如图，在平行四边形ABCD中，DF⊥AB，AD＝4，AB＝6，，∠A＝60°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积为 　 ．（结果保留π） 【分析】结合已知条件易得AE，BE的长度，然后根据S阴影＝S▱ABCD﹣S扇形DAE﹣S△CBE，利用平行四边形的性质及各图形的面积公式列式计算即可． 【解答】解：由题意可得AE＝AD＝4， 则BE＝AB﹣AE＝6﹣4＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵DF⊥AB，∠A＝60°，DF＝2， ∴S阴影＝S▱ABCD﹣S扇形DAE﹣S△CBE ＝AB•DFBE•DF ＝6×22×2 ＝12π﹣2 ＝10π， 故答案为：10π． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质及扇形的面积公式，结合已知条件列得S阴影＝S▱ABCD﹣S扇形DAE﹣S△CBE是解题的关键． 8．（2024•垦利区三模）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，AC＝2． （1）求弦CD的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据AB是直径，∠AOC＝60°，AC＝2，可求出AB，CB的长度，弦CD⊥AB，可得CE＝DE，即可求得CE的长度，继而得出CD的长； （2）S阴影＝S半圆﹣S△ABC． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝2，∠AOC＝60°， ∴△AOC是等边三角形， 则AO＝AC＝2，AB＝4， ∵弦CD⊥AB， ∴CE＝DECD＝OC×sin60°＝2， ∴CD＝2CE＝2； （2）∵，S△ABCAB•CE42， ∴S阴影＝S半圆﹣S△ABCπ•22﹣22π﹣2． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，垂径定理，圆周角定理等知识点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 9．（2023秋•余杭区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC． （1）求证：∠ACO＝∠BCD； （2）若CD＝6，∠A＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论； （2）根据等边三角形的判定定理得到△BOC为等边三角形，求出∠AOC，根据正弦的定义求出OC，利用扇形面积公式计算即可． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴， ∴∠A＝∠BCD， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACO＝∠BCD； （2）解：∵∠A＝30°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CECD＝3， 在Rt△COE中，OC2， ∴扇形OAC（阴影部分）的面积4π， 答：阴影部分的面积为4π． 【点评】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 题型三 构造和差法求阴影部分的面积 解题技巧提炼 先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算. 1．（2024•利川市模拟）如图，边长为4的正方形OABC的顶点B在⊙O上，顶点A，C在⊙O内，OA的延长线交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．4π﹣4 D． 【分析】连接OB，由四边形ABCO是正方形，得到∠DOB＝45°，根据勾股定理得到OBAB＝4，再根据图中阴影部分的面积＝S扇形OBD﹣S△AOB得到结论． 【解答】解：连接OB， ∵四边形ABCO是正方形， ∴∠DOB＝45°， ∴OBAB＝4， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形OBD﹣S△AOB4×4＝4π﹣8， 故选：B． 【点评】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是把不规则图形转化为规则图形解决，学会利用角平分线添加辅助线，属于中考常考题型． 2．（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】连接OD，可得△OBD为等边三角形，再求出∠COD以及OC，得到三角形BOC的面积，又因为△BOC与△BDC面积相等，最后利用S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC﹣S△BDC求解即可． 【解答】解：如图，连接OD， 根据折叠的性质，CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC， ∴OB＝BD＝OD， ∴△OBD为等边三角形， ∴∠DBO＝60°． ∵∠CBO∠DBO＝30°， ∵∠AOB＝90°， ∴OC＝OB•tan∠CBO＝3， ∴S△BOCOB•OC， ∵△BOC与△BDC面积相等， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△BOC﹣S△BDC π×323． 故选：B． 【点评】本题考查与扇形有关的不规则图形的面积求法，掌握割补法求面积是解题的关键． 3．（2024•西湖区校级二模）如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，CO，通过“同旁内角互补，两直线平行”得出AC∥OB，进而得出△ABC的面积等于△AOC的面积，所以可得出阴影部分的面积与扇形AOC的面积相等，据此可解决问题． 【解答】解：连接AC，CO， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°． 又∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠CAO＝60°． 又∵∠AOB＝120°， ∴∠CAO+∠AOB＝180°， ∴AC∥OB， ∴S△ABC＝S△AOC， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查扇形面积的计算，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形OAC的面积及熟知扇形的面积公式是解题的关键． 4．（2023•乡宁县二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC＝30°，在直径AB上截取AD＝AC，延长CD交⊙O于点E，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．π﹣2 D． 【分析】连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可． 【解答】解：连接OE，OC，BC， 由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°， ∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°， ∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°， ∴∠BOE＝2∠BCE＝30°， ∴∠EOC＝90°， 即△EOC为等腰直角三角形， ∵CE＝2， ∴OE＝OC， ∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC1， 故选：B． 【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键． 5．（2024•陵川县三模）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝4，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质和判定以及平行线的性质将阴影部分面积转化为S阴影部分＝S扇形DOE﹣S△COD，再根据扇形面积以及三角形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵OA＝OB，∠ABO＝60°， ∴△AOB是正三角形， ∴OA＝OB＝AB＝4， ∵AD∥BO， ∴∠OAD＝∠AOB＝60°， ∵OA＝OD， ∴∠AOD＝60°＝∠EOD， ∴∠EOD＝∠AOB＝60°， ∴ED＝AB，， ∴S弓形DE＝S弓形AB， 在Rt△COD中，OD＝AB＝4，∠COD＝60°， ∴OCOD＝2，CDOD＝2， ∴S阴影部分＝S扇形DOE﹣S△OCD2． 故选：B． 【点评】本题考查扇形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，掌握扇形面积的计算方法，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质和判定是正确解答的关键． 6．（2023•安岳县二模）如图，在矩形ABCD中，，BE平分∠ABC交AD于点E，以B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F．若点E为AD的中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF，求出答案． 【解答】解：∵矩形ABCD的边AB，BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBF＝45°，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝45°， ∴AB＝AE，BE＝2， ∵点E是AD的中点， ∴AD＝2， ∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF 2 ＝3， 故选：D． 【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出BE的长以及∠EBC的度数是解题关键． 7．（2024•绥化三模）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，的长为π，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【分析】连接OD，交BC于点E；连接BD．证明BC是OD的垂直平分线，从而证明△OBD是等边三角形，进而计算∠BOD和∠AOD的度数，利用弧长公式求出⊙O的半径； 根据SAS证明△BDC≌△BOC，得到S阴影＝S△BOC+S扇形BOD﹣S△OBD，分别利用扇形面积公式和三角形面积公式求出阴影部分的面积即可． 【解答】解：连接OD，交BC于点E；连接BD． ∵点D，O关于直线BC对称， ∴BC是OD的垂直平分线， ∴BD＝OB， ∵OD＝OB， ∴OB＝OD＝BD， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOD＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝30°， 设⊙O的半径为R， ∵2πR＝π， ∴R＝6． ∵△OBD是等边三角形，BC是OD的垂直平分线， ∴BC是∠OBD的平分线， ∴∠OBE＝∠DBE∠OBD＝30°， 在△BDC和△BOC中， ， ∴△BDC≌△BOC（SAS）， ∴S△BDC＝S△BOC， ∴S阴影＝S△BDC+S弓形BD＝S△BOC+S扇形BOD﹣S△OBD， ∵OB＝R＝6，∠OBE＝30°， ∴OC＝OB•tan∠OBE＝2， ∴S△BOCOB•OC＝6，S扇形BODπR2＝6π，S△OBDOD•BEOD•OB•cos∠OBE＝9， ∴S阴影＝66π﹣96π﹣3． 故答案为：6π﹣3． 【点评】本题考查弧长及扇形面积的计算等，掌握等边三角形及全等三角形的判定及性质、弧长及扇形和三角形面积的计算公式是解题的关键． 8．（2023秋•关岭县期末）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G． （1）求证：； （2）若∠C＝120°，BG＝8，求阴影部分弓形的面积． 【分析】（1）由同圆或等圆中相等的圆心角对的弧相等即可证明； （2）根据弓形的面积等于扇形面积减三角形的面积，即可计算． 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠GAE＝∠ABF，∠EAF＝∠AFB， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴∠GAE＝∠EAF， ∴； （2）解：作AH⊥BF于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠C+∠ABC＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵AB＝AF， ∴△ABF是等边三角形， ∴BF＝AB＝4，∠BAF＝60°， ∴S扇形BAFπ×42π， ∵sin∠ABH， ∴AH＝AB•sin∠ABH， ∴AH＝42， ∵S△ABFBF•AH， ∴S△ABF4×24， ∴S阴． 【点评】本题考查圆的有关知识，关键是掌握：在同圆或等圆中相等的圆心角对的弧相等；正确表示出阴影的面积． 9．（2024•古浪县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E． （1）求证：BD＝DE； （2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求阴影部分弓形的面积． 【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB＝90°，根据等腰三角形的三线合一可知BD＝CD，再根据四点共圆可得∠DEC＝∠ABC，进而得到∠DEC＝∠ACB，则CD＝DE，以此即可证明BD＝DE； （2）易得△ABC为等边三角形，△AOE为等边三角形，则S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE，代入计算即可求解． 【解答】解：（1）如图，连接AD， ∵以腰AB为直径画半圆O， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 又∵△ABC为等腰三角形， ∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB， ∵A、B、D、E四点共圆， ∴∠DEC＝∠ABC， ∴∠DEC＝∠ACB， ∴CD＝DE， ∴BD＝DE； （2）如图，连接OE，过点O作OF⊥AC于点F， ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝1， ∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， 又∵OA＝OE， ∴△AOE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°，OA＝AE＝1，OF， ∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE． 【点评】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，解题关键是：（1）根据直径所对圆周角为90°得到BD＝CD，再根据四点共圆性质即可解决问题；（2）熟练掌握扇形的面积公式． 10．（2023秋•宁波期末）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧BE，AD⊥BC于点D，BE分别交AD，AC于F，G． （1）求证：FA＝FB； （2）若BD＝OD＝2，求阴影部分面积． 【分析】（1）根据BC是⊙O的直径，AD⊥BC，，推出∠AGB＝∠CAD，即可推得FA＝FB． （2）根据BD＝DO＝2，AD⊥BC，求出∠AOB＝60°，再根据，求出∠EOC＝60°，即可求出阴影部分面积． 【解答】（1）证明：∵A是弧BE的中点， ∴在⊙O中有∠ABE＝∠C． ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°． ∵AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠C， ∴∠ABE＝∠BAD， ∴FA＝FB． （2）解：连结AO，OE．过E点作EH⊥BC于H， ∵AD⊥BC，BD＝DO＝2， ∴△ABO是等边三角形，BO＝4， 又∵A是弧BE的中点， ∴∠AOB＝∠AOE＝60°， ∴∠EOC＝60°， ∴EH＝2， ∴阴影部分面积为4×224π． 【点评】本题主要考查扇形面积的计算，垂径定理，勾股定理，证明△ABO是等边三角形是解题关键． 题型四 利用等积转换法求阴影部分的面积 解题技巧提炼 通过对图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件. 有两种方法： （1）直接等面积转化法 （2）平移转化法 （3）对称转化法 （4）旋转转化法 1．（2024春•锦州期末）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C． D．8 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A′BC′，A′B＝AB＝4，得到△A′BA是等腰三角形，∠A′BA＝30°，然后得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A′BA+S△A′BC′﹣S△ABC，S△A′BC′＝S△ABC，最终得到阴影部分的面积． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′BC′， ∴△ABC≌△A′BC′， ∴A′B＝AB＝4， ∴△A′BA是等腰三角形，∠A′BA＝30°， 如图所示，过点A′作A′D⊥AB交AB与点D， ∴， ∴． 又∵S阴影＝S△A′BA+S△A′BC′﹣S△ABC，S△A′BC′＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A′BA＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了扇形面积的计算，运用面积的和差解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 2．（2023•孝义市三模）如图，AB为半圆O的直径，CD垂直平分半径OA，EF垂直平分半径OB，若AB＝4，则图中阴影部分的面积等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据图形可得，阴影部分的面积＝S半圆﹣2S扇形 ACO，根据扇形面积公式计算即可． 【解答】解：如图所示：连接OC， ∵CD垂直平分半径OA， ∴AC＝OC， ∵OC＝OA， ∴OA＝OC＝AC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴S阴影S⊙O﹣2S扇形ACO 2 4π﹣24π ＝2ππ π． 故选：B． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式是解题的关键． 3．（2023•锦州二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E是BC的中点，从而得出OE是△ABC的中位线，于是OE∥AB，根据同底等高得到△AOD和△AED的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD的面积即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：连接OE，OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， 即点E是BC的中点， ∵点O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴S△AOD＝S△AED， ∴S阴影＝S扇形OAD， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠AED＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了扇形的面积，圆周角定理，中位线定理，平行线间的距离相等，等腰三角形的三线合一，不规则图形的面积求法，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 4．（2023•朝天区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B．π C． D．2π 【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE＝DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可． 【解答】解：连接OD， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DECD（垂径定理）， 故S△OCE＝S△ODE， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠CDB＝30°， ∴∠COB＝60°（圆周角定理）， ∴OC＝2， 故S扇形OBD， 即阴影部分的面积为， 故选：A． 【点评】此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，另外要熟记扇形的面积公式． 5．（2023•大冶市模拟）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接OB， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB＝OC， ∴AB＝OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵OC∥AB， ∴S△AOB＝S△ABC， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB6π， 故答案为：6π． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 6．（2023秋•宝山区期末）如图，将一个直径AB等于12厘米的半圆绕着点A逆时针旋转60°后，点B落到了点C的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示． 求：（1）阴影部分的周长； （2）阴影部分的面积．（结果保留π） 【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC的长，利用弧长公式可求解； （2）由面积的和差关系可求解． 【解答】解：（1）阴影部分的周长是： 22π×6 ＝12π+4π ＝16π（厘米）， 答：阴影部分的周长为16π厘米； （2）∵阴影部分的面积是： S半圆+S扇形BAC﹣S半圆 ＝S扇形BAC， ∴阴影部分的面积24π（平方厘米）． 答：阴影部分的面积为24π平方厘米． 【点评】本题考查了旋转的性质，弧长公式，扇形面积公式，掌握计算公式是解题的关键． 7．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连接BC，CD． （1）求证：CD∥AB； （2）若AB＝8，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论； （2）连接OC，OD，根据所求的阴影部分面积与扇形BOD的面积及△BOD的关系即可求解． 【解答】（1）证明：∵， ∴∠ACD＝∠DBA， 又∵∠CAB＝∠DBA， ∴∠CAB＝∠ACD， ∴CD∥AB； （2）解：如图，连接OC，OD，OC交线段BD于点M． ∵∠ACD＝30°， ∴∠ACD＝∠CAB＝30°， ∴∠AOD＝∠COB＝60°， ∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°， ∴∠BOD＝120°，∠COD＝∠COB， ∵OB＝OD， ∴OM⊥BD，BD＝2BM， ∵AB＝8，∠DBA＝∠ACD＝30°， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，平行线的判定，掌握定理以及扇形面积公式是解题的关键． 8．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF． （1）求证：△AFO≌△CEB； （2）若BE＝4，CD＝8，求： ①⊙O的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据AAS即可判断； （2）①设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，在Rt△OCE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； ②根据S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD计算即可； 【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴， ∴∠A＝∠DCB， ∴OF⊥AC， ∴∠AFO＝∠CEB， ∵BE＝OF， ∴△AFO≌△CEB（AAS）． （2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴CECD＝4 设 OC＝r，则 OE＝r﹣4， ∴r2＝（r﹣4）2+（4）2 ∴r＝8． ②连接 OD． ∵在Rt△OEC中，OE＝4OC， ∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°， ∴∠COD＝120°， ∵△AFO≌△CEB， ∴S△AFO＝S△BCE， ∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD 4 π﹣16 【点评】本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 9．（2023秋•丰宁县校级期末）如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置． （1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积； （2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长． 【分析】（1）根据旋转的性质得到△APB≌△CEB，则BP＝BE，∠ABP＝∠EBC；以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图，易得扇形BFP的面积＝扇形BEQ，则图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，于是S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形PBE，然后根据扇形的面积公式计算即可； （2）连PE，利用△APB≌△CEB得到BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，易得△PBE为等腰直角三角形，则∠BEP＝45°，PE＝4，则∠PEC＝135°﹣45°＝90°，然后在Rt△PEC中根据勾股定理计算即可得到PC的长． 【解答】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置， ∴△APB≌△CEB， ∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC， 以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图， ∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ， ∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积， ∴S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形PBE ＝12π； （2）连PE， ∴△APB≌△CEB， ∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°， ∴△PBE为等腰直角三角形， ∴∠BEP＝45°，PE＝4， ∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°， ∴PC9． 【点评】本题考查了扇形的面积公式：S（其中n为扇形的圆心角的度数，R为半径）．也考查了正方形和旋转的性质． 10．（2024•沿河县一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过点O作OE⊥AC交⊙O于点F，垂足为E． （1）∠CAB的度数为 　 　； （2）求OE的长； （3）求阴影部分的面积． 【分析】（1）由圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝60°，由直角三角形的性质得到∠CAB＝90°﹣∠B＝30°； （2）由AB＝6，得到OA＝3，由直角三角形的性质得到OEOA； （3）由△OEC≌△FEA（SAS），得到阴影的面积＝扇形OCF的面积，求出扇形OCF的面积即可． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝∠D＝60° ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°． 故答案为：30°． （2）∵AB＝6， ∴OA＝OCAB＝3， ∵OF⊥AC， ∴∠AEO＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴OEOA＝1.5； （3）∵∠AEO＝90°，∠CAB＝30°， ∴∠AOE＝60°， ∵OF＝OA， ∴△OAF是等边三角形， ∴OE＝EF，∠AOF＝60°， ∵∠CEO＝∠AEF＝90°， ∴△OEC≌△FEA（SAS）， ∴阴影的面积＝扇形OCF的面积， ∵∠B＝60°，OC＝OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴∠COF＝180°﹣∠AOF﹣∠BOC＝60°， ∴扇形OCF的面积． ∴阴影的面积． 【点评】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，关键是证明阴影的面积＝扇形OCF的面积． 题型五 利用容斥原理求阴影部分的面积 解题技巧提炼 有的阴影部分是由两个基本图形互相重叠得到的.常用的方法是：两个基本图形的面积-被重叠图形的面积=组合图形的面积. 1．（2024•运城三模）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，P是AD的中点，以点B为圆心，BP的长为半径画弧，交BC于点E，以点C为圆心，CP的长为半径画弧，交BC于点F，若AB＝3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点P作PM⊥BC于点M，先得出，再得出，即可得出答案． 【解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于点M， 由题意可知，∠PBM＝45°， ∴BM＝PM＝AB＝3， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积． 故选：D． 【点评】此题主要考查了勾股定理，扇形面积求法以及矩形的性质，熟练掌握这些知识是解题关键． 2．（2023•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF计算即可． 【解答】解：S阴＝S△ACB+S扇形CBE﹣S扇形ABF 1 ， 故选：A． 【点评】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 3．（2023秋•潼南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，两弧分别交AB于点D、F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形BCE与扇形ACD的面积之和与Rt△ABC的面积之差． 【解答】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝2， ∴∠A＝60°，ACAB＝1，BCAB， ∴阴影部分的面积S＝S扇形BCE+S扇形ACD﹣S△ACB， 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积的计算、含30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2023秋•北碚区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AB为半径画弧，连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【分析】根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝1，∠B＝90°，∠DAC＝45°， ∴ACAB， ∴图中阴影部分的面积＝[]+（1×1）， 故答案为． 【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 5．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【分析】根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接BE， ∵AB为直径， ∴BE⊥AC， ∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∴BE＝AE＝CE， ∴S弓形AE＝S弓形BE， ∴图中阴影部分的面积＝S半圆（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF） π×22（）﹣（） ＝3π﹣6， 故答案为3π﹣6． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 6．（2023•射洪市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以C为圆心，CD长为半径画弧交CB的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 　 　． 【分析】根据扇形的面积公式和矩形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝∠C＝90°， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝4， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形FCD﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAE）（6×4）＝13π﹣24， 故答案为：13π﹣24． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 $$