精品解析：湖北省武汉市武汉二中广雅中学2024-2025学年九年级上学期9月考数学试题

九年级（上）数学限时作业9.15 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的相关概念是解题的关键．一元二次方程就是一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：∵是一般形式，常数项是， ∴二次项系数和一次项系数分别是和， 故选：C． 2. 抛物线与相同的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 有最低点 D. 对称轴是x轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质分析即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，有最低点； ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为y轴，有最高点． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， ， 配方得，即， 只有选项A符合题意； 故选：A． 4. 抛物线向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据二次函数的平移规则“左加右减”即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度， 所得新抛物线的函数解析式为， 故选：B． 5. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可． 【详解】解：每个支干长出x个小分支，根据题意得： ， 故选：A． 6. 已知一元二次方程的两根为、，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于的一元二次方程的根与系数关系：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ，， ， 故选：B． 7. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程中二次项系数不为零及根的判别式建立不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握根的判别式是解题的关键，注意不要忽略“一元二次方程二次项系数不为零”这一隐含条件． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是对参数和进行分类讨论．分当，时，当，时，当，时，当，时，四种情况讨论即可． 【详解】解：对于一次函数和二次函数的图象， ①当，时，一次函数图象过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ②当，时，一次函数的图象过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴左侧，没有选项符合； ③当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，选项B符合； ④当，时，一次函数的图象过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧，没有选项符合； 故选：B． 9. 已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象抛物线与轴及常函数直线的交点横坐标与一元二次方程根的关系．根据题意可知一元二次方程的根应为整数，通过抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为．可以画出大致图象判断出直线，观察图象当时，抛物线始终与轴相交于与．故自变量的取值范围为．所以可以取得整数，1，2共3个．由于与关于对称轴直线对称，所以与对应一条平行于轴的直线，，时对应一条平行于轴且过抛物线顶点的直线，从而确定时，的值应有2个． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，解得． 又抛物线与轴的一个交点为， 把代入得，， 解得：． ． 对称轴，最大值． 如图所示， 顶点坐标为， 令， 即， 解得或． 当时，抛物线始终与轴交于与， ． 即常函数直线，由， ， 由图象得当时，，其中为整数时，，1，2． 一元二次方程的整数解有3个． 又与关于直线轴对称， 当时，直线恰好过抛物线顶点， 所以值可以有2个． 故选：B． 10. 抛物线与直线交于A、B两点，抛物线上只有三个点到直线的距离为m，则m的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用，二元二次方程组，二元一次方程的根的判别式等知识．如图当直线与和直线平行，直线与抛物线只有一个交点，且直线与直线和直线的距离相等，此时，直线与直线和抛物线的交点满足条件．求出点的坐标，证明是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图当直线与和直线平行，直线与抛物线只有一个交点，且直线与直线和直线的距离相等，此时，直线与直线和抛物线的交点满足条件． 设直线与抛物线的交点为，作于． 由解得或， ∴，， ∴， ， 设直线的解析式为， 由，消去得到， 由题意，， 解得． 方程组的解为， ， ∵，且， ． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 若是关于x的二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可． 【详解】解：根据题意得， ，即， 故答案为：． 14. 已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系，则代数式的值等于_____． x … 0 … y … … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由表格可得时，据此求解即可． 【详解】解：∵时， ∴． 故答案为：． 15. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点，点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中一定正确的结论有_____（填写序号）． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据抛物线的对称性，求得图象也过点，据此可判断②错误；先求得关于直线的对称点为，时，随着的增大而增大，据此可判断③错误；方程有两根，可看作直线与抛物线有两个交点，根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 详解】解：①由题意可知：对称轴， ， ，故①正确； ②图象过点，对称轴为直线， 图象也过点，即当时，， ，即，故②错误； ③关于直线的对称点为， 由图可知：时，随着的增大而增大， 由于， ，故③错误； ④设，， 由于图象可知：直线与抛物线有两个交点， 方程的两根为和， ，故④正确； 综上，正确的只有①④， 故答案为：①④． 16. 已知抛物线在的范围内能使恒成立，则m的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．分三种情况：当时，当时，当时，讨论即可． 【详解】解：的对称轴为直线，开口向上， ①当时，即时， 要使在的范围内能使恒成立， 只需时的函数值大于等于，即， 解得：， 结合，得：； ②当时，即时， 要使在范围内能使恒成立， 只需时的函数值大于等于，即， 解得： 结合，得无解； ③当时，即时， 要使在的范围内能使恒成立， 只需时的函数值大于等于，即， 化简得：， 解得：， 结合，得无解； 综上，得， 故答案为：． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 用指定方法解方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键． （1）运用配方法即可解答． （2）运用一元二次方程求根公式解答即可． 【小问1详解】 解：， 配方得，即， 开方得， 解得， 即，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴， ∴，． 18. 已知二次函数的图象与x轴交于． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求自变量x的值． 【答案】（1）； （2）当时，自变量的值为或6 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将与坐标代入二次函数解析式求出与的值，即可确定出二次函数解析式； （2）把代入解析式解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：将，代入解析式得： ， 解得：，． 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得：，， 当时，自变量的值为或6． 19. 随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？ 【答案】该小区到2012年底电动自行车将达到216辆 【解析】 【分析】设年平均增长率为x，根据增长率相同可以得到2020年的拥有量为辆，2021年的为辆． 【详解】解：设2009年底到2011年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴180×（1+20%）＝216（辆）， 答：该小区到2012年底电动自行车将达到216辆． 【点睛】本题考查二次方程的实际应用，能够熟练通过增长率公式得到式子是解题关键． 20. 已知二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为负整数． （1）求函数解析式； （2）若是抛物线上的两点，且请画出函数图象，并结合函数图象直接写出实数a的取值范围是_____． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的对称性，以及利用二次函数图象解决二次函数与不等式的关系． （1）令，解关于x一元二次方程，求出二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标分别为3和，然后根据整数的整除性可确定负整数k值； (3)把代入抛物线的解析式即可求出，求得点关于对称轴的对称点为，再利用即可求出a的取值范围． 【小问1详解】 解：令，则， 解得：，， 根据题意得为整数，且为负整数， ∴整数， ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 把点代入得， 则点， 则点关于对称轴的对称点为， 由图象可知：当时，． 故答案为：． 21. 阅读下列材料：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．解决下面问题： 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根、， （1）求取值范围； （2）当时，设，试用含的代数式表示出； （3）在（2）的条件下，若，求出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）把方程变形成一般形式，再根据有两个不等实数根列出不等式，即可求出的范围； （2）由一元二次方程写出，，再代入即可得答案； （3）列出方程，解方程并检验即可得答案． 【小问1详解】 解：将变形得：， 有两个不等实数根， ，即， 解得：， 的取值范围是； 【小问2详解】 解：、是的两个实数根， ，， ； 【小问3详解】 解：由题意，得：， 化简得：， 解得或， 经检验，或是方程的解， 且， ． 22. 小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． （1）设垂直于墙的一边长为ym，求y与x之间的函数关系式； （2）设菜园的面积为，求S与x的函数关系式，并求出当时x的值； （3）请问菜园的最大面积能达到吗？如能，求出x的值；如不能，说明理由． 【答案】（1）； （2），当时，； （3）菜园的最大面积不能达到． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题． （1）根据“垂直于墙的长度”可得函数解析式； （2）根据矩形的面积公式列出总面积关于的函数解析式； （3）根据矩形的面积公式列出总面积关于的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得． 【小问1详解】 解：根据题意知，， 故与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 当时，， 解这个方程，得，， ， 当时，； 【小问3详解】 解：菜园的最大面积不能达到， 理由：， ， 当时，随的增大而增大． 当时，最大，此时． 菜园的最大面积不能达到． 23. 如图，中，，，D是的中点，E点在线段上运动，作等边． （1）如图1，在的上方，且F点恰好落在线段上，求的值； （2）如图2，在的下方，H在延长线上，，连接，求证：； （3）如图3，将绕D点旋转，连接，已知，直接写出的最小值为_____． 【答案】（1）3 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的“三线合一”得到，，进而得到，，从而有，同理在中，由得到，从而，即可求解； （2）连接，连接，取中点，连接，通过三角形的中位线定理结合等边三角形的性质证明，继而得到为等边三角形，再根据等边三角形的性质结合外角定理得到，即可求证； （3）以为边在下方作等边，连接，可证明，则，故，当且仅当点三点共线时取得最小值且为，而，故由勾股定理可求，即可求出最小值． 【小问1详解】 解：连接， ∵，点D是的中点， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接， ∵，点为中点， ∴， ∴， 连接，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：在中，， ∴， 以为边在下方作等边，连接， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当且仅当点三点共线时取得最小值且为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（在左边），与轴正半轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点在抛物线上，，求点的横坐标； （3）如图，是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，过点的直线l分别交抛物线于、两点，直线、分别交轴于、两点，求证：为定值，并求该定值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线解析式得出，结合得出，代入抛物线解析式即可求出，即可得； （2）过点作角平分线，交轴于点，在延长线上取点，使，连接，交于点，过点作轴于点，先在等腰中利用勾股定理求出和，再利用，得出和， 再利用，求出和，即可得出的坐标，则可得出直线解析式，再联立抛物线解析式，即可得的横坐标； （3）设直线解析式为，设，，联立直线和抛物线可求得，，设直线解析式为：，设直线解析式为：，将代入直线解析式可求得解析式为，则可得，同理：，求出，，代入即可求解． 【小问1详解】 解：当时，抛物线， 则， 则， ∴， ∴， 将代入， 得：， 解得：（舍），或， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作角平分线，交轴于点，在延长线上取点，使，连接，交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， 在中，， 即：， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即：， 解得：，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， 则直线解析式为， 联立抛物线解析式，得：， 解得：（舍）或， 故点的横坐标为； 【小问3详解】 解：由， 则抛物线顶点坐标为， ∵直线过点， ∴设直线解析式为， 设，，其中， 联立：， 整理得：， ∴，， ∵直线和直线都过点， ∴设直线解析式为：，设直线解析式为：， 将代入， 解得：， 则直线解析式为：， 当，得：， 解得：， 即， 同理：， ∴，， ∴， 将，代入， 得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象综合题，涉及二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与这些判定、性质的结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级（上）数学限时作业9.15 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 抛物线与相同的性质是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 有最低点 D. 对称轴是x轴 3. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A B. C. D. 4. 抛物线向左平移1个单位长度后得到新抛物线，新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程的两根为、，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 若关于一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为．若关于x的一元二次方程有整数根，则p的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 10. 抛物线与直线交于A、B两点，抛物线上只有三个点到直线的距离为m，则m的值是（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 12. 若是关于x的二次函数，则______． 13. 九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x名学生，则列出的方程化为一般式为_____． 14. 已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系，则代数式的值等于_____． x … 0 … y … … 15. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点、点，点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中一定正确的结论有_____（填写序号）． 16. 已知抛物线在的范围内能使恒成立，则m的取值范围为_____． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 用指定方法解方程： （1）；（配方法） （2）．（公式法） 18. 已知二次函数的图象与x轴交于． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求自变量x的值． 19. 随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？ 20. 已知二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为负整数． （1）求函数解析式； （2）若是抛物线上的两点，且请画出函数图象，并结合函数图象直接写出实数a的取值范围是_____． 21. 阅读下列材料：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．解决下面问题： 已知关于x一元二次方程有两个不等实数根、， （1）求的取值范围； （2）当时，设，试用含的代数式表示出； （3）在（2）的条件下，若，求出的值． 22. 小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． （1）设垂直于墙的一边长为ym，求y与x之间的函数关系式； （2）设菜园的面积为，求S与x的函数关系式，并求出当时x的值； （3）请问菜园的最大面积能达到吗？如能，求出x的值；如不能，说明理由． 23. 如图，中，，，D是的中点，E点在线段上运动，作等边． （1）如图1，在的上方，且F点恰好落在线段上，求的值； （2）如图2，在的下方，H在延长线上，，连接，求证：； （3）如图3，将绕D点旋转，连接，已知，直接写出的最小值为_____． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（在左边），与轴正半轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点在抛物线上，，求点的横坐标； （3）如图，是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，过点的直线l分别交抛物线于、两点，直线、分别交轴于、两点，求证：为定值，并求该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$