常见的对称问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

常见的对称问题 湖南省衡阳市民办学校 高中数学教师欧阳文丰 导言： 1.了解对称问题； 2.熟悉常见的四种对称问题； 3.通过对称问题，加深对直线方程以及距离公式的理解和应用。 一、类型一：对关于点的对称 例题1、已知点A（-1，-2），B（2，1），且A关于B对称的点为C；求C的坐标。 Key:C(5,4). 方法小结：运用中点坐标公式即可。 针对训练： 1.若点A（4，0）与点B关于点（2，1）对称，则点B的坐标为（ ）. A.（0，4） B.（0，2） C.（-2，4) D.(4,-2) key：B. 例2　已知直线l：y＝3x＋3，求：点P(4,5)关于l的对称点的坐标； 解　设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)， 则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， ∴点P′的坐标为(－2,7). 二、类型二：点关于直线的对称 针对训练： 2.已知直线2x-y-5=0与直线x+3y+1=0交于点A，求点A关于直线x-y+4=0的对称点的坐标。 Key：（-5，6）. 方法小结：中点在对称轴上，过点与对称点的直线与对称轴互相垂直。 例题3.已知直线l：y＝3x＋3，求：直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程. 解法一　在直线l上取两点E(0,3)，F(－1,0)， 则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E′(6,1)，F′(7,4). 因为点E′，F′在所求直线上， 即3x－y－17＝0. 三、直线关于点的对称 解法二.由平面几何知识所求直线与已知直线平行，则可设3x-y＋t=0; 三、直线关于点的对称 例题3.已知直线l：y＝3x＋3，求：直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程. 针对训练： 3.直线2x+3y-6-0关于点（1，-1）对称的直线的方程为（ ） A.3x-2y+2=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 key：D 例4　已知直线l：y＝3x＋3，求：直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； 四、直线关于直线的对称 在直线y＝x－2上任取一点M(2,0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程. 例4　已知直线l：y＝3x＋3，求：直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； 四、直线关于直线的对称 解法二：　 针对训练： 4.求直线m:3x-2y-6-0关于直线l：2x-3y+1=0对称的直线n的方程. Key:9x-46y+102=0. 即解得 所以由两点式得所求直线方程为＝， 解法一　解方程组得 则点在所求直线上. 则 解得 点M′也在所求直线上. 由两点式得直线方程为＝， 　解方程组得 则点在所求直线上. $$