第一章 空间向量与立体几何知识归纳与题型突破（13类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何知识归纳与题型突破（题型清单） 知识点1.空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 知识点2.几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． 注意： 1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空 间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的 相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习; 2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同; 3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决; 4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性. 知识点3.空间向量的加法、减法与数乘运算 名称 运算法则 特点 图示 加法运算 三角形法则 收尾相接收尾连（通过平移） 平行四边形法则 起点相同（共起点）（通过平移） 减法运算 平行四边形法则 起点相同连终点，被减向量定指向。 数乘运算 实数的作用：正负定方向，数值定模比 知识点4.空间向量的加法和数乘的运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： （3）数乘运算律：①λ(μ)＝(λμ)；②(λ＋μ)＝λ＋μv；③λ(＋)＝λ＋λ； 知识点5.共线向量及共线向量定理 1.共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理 对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa. 知识点6.空间向量的线性运算的理解 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同； (ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 知识点7.空间两个向量的夹角 1. 夹角 定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。 图示   表示 　〈a,b〉. 范围 [0,π] 2.空间两个向量的关系 （1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同; （2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向相反; （3）若〈a,b〉=,则向量a,b互相垂直，记作a⊥b 知识点8.空间两个向量的数量积 1. 空间向量的数量积的定义 定义 已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作    a·b    .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定 零向量与任意向量的数量积为　0    2.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b= b·a     结合律 (λa)·b=⑩  λ(a·b)    ,λ∈R 分配律 a·(b+c)=   a·b+a·c   3.空间向量数量积的性质 ①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔  a·b=0    ; ②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|= ③若为a,b的夹角，则 ④|a·b|≤|a||b| 4.与数量积有关的2个易错点 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零. ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立. 知识点9.向量的投影 （1）向量在向量上的投影向量 ①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b （2）向量在平面上的投影向量 ①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量. ②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n 知识点10.共面向量及共面向量定理 1.一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。 知识点11.空间四点共面的条件 已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面. 注意： （1） 共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量. （2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了. 知识点12.空间向量的基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3 基底和基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量. 知识点13.正交基底和单位正交基底 正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底 单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示 推论: 设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得++. 知识点14.空间直角坐标系 1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。 其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 知识点15.空间直角坐标系中点的坐标 定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。 在空间直角坐标系O-xyx中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a=a1i＋a2j＋a3x，有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（a1，a2，a3）. 知识点16.空间向量的坐标运算 1.空间向量的坐标运算 （1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则 ①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2） ②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2） ③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R). ④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； ⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； ⑥|a|＝＝； ⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝． (2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的 坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 2.空间向量平行、垂直的坐标表示 （1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R). (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 3.空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 知识点17.平面的法向量 1.平面的法线 与平面垂直的直线叫作平面的法线。 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向来刻画平面的“方向”。 2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量. 注意： （1） 平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. （2）一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 3.平面法向量的性质 （1）如果直线垂直于平面α，则直线l的任意一个方向都是平面α的一个法向量. （2）如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行 （3）如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即 n=0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 知识点18.直线与平面、平面与平面的位置关系 1.如果v是直线I的一个方向向量，n是平面α的一个法向量 （1） （2） 2.如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量： （1）α1α2； （2）α1//α2,或α1与α2重合 3三垂线定理及其逆定理 （1）射影 已知空间中的平面α以及点A，过点A作α的垂线，设I与α相交于点A ，则A' 就是点A在平面α内的射影（称为投影）．空间中，图形F上，在平面内的所有点，所组成的集合F' 称为图形F在平面α 内的射影。 （2）三垂线定理 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。 （3）三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直 则它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 知识点19.异面直线所成的角 1. 向量求法：若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=    . 2.范围：（0,] 知识点20.直线与平面的夹角 1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°. 2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°. 3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角） 注：1.线线角、线面角的关系式：如图，AB⊥α，则图形之间的关系式 2.最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 4.用空间向量求直线与平面的夹角 1.定义：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有=. 2.范围：[0,] 知识点21．二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，二面角的范围为[0，π]． (3)二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α­l­β的平面角． （4）用空间向量求二面角的大小 定义：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ 图形 关系 θ＝φ θ＝π－φ 计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ 知识点22.两点间的距离 1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）， |AB|= 2用向量表示 两点间距离=(,,),|AB|= 知识点23.点到直线的距离 定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d== 设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=||sin<,e> 知识点24.点到平面的距离 定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d= 知识点25.相互平行的直线与平面之间 1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离， 2.公式：如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． 知识点26.相互平行的平面与平面之间的距离 1.定义：当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． 2.公垂线段：一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的 公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长. 3.公式：如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝． 题型1空间向量的有关概念理解 例题：【多选】（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 巩固训练 1．【多选】（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 3．（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 题型2空间向量的线性运算 例题：（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知四面体，是的中点，连接，则＝（ ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 3．【多选】（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型3空间向量的线性表示 例题：（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高二上·四川凉山·期中）在平行六面体中，，点P在线段上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2016高二·全国·课后作业）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（   ）    A． B． C． D． 题型4空间向量的基本定理及应用 例题：【多选】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 巩固训练 1．【多选】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·江苏常州·期中）如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 4．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 题型5空间向量的共线问题 例题：（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 巩固训练 1．（2023高一·全国·单元测试）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 2．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 3．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 4．【多选】（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 题型6空间向量的共面问题 例题：（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 巩固训练 1．【多选】（23-24高二上·河南开封·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 3．（19-20高二·全国·课后作业）已知是不共面向量，，，，若，、三个向量共面，则实数 ． 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 题型7空间向量的数量积问题 例题：（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 2．（20-21高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 3．【多选】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 5．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知 ，则 与 夹角的余弦值为 . 6．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 8．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 9．（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 题型8 空间向量的坐标运算 例题：（21-22高二上·山西忻州·阶段练习）已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 ． 巩固训练 1．【多选】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知四边形是平行四边形，，，，则（    ） A．点的坐标是 B． C． D．四边形的面积是 2．（22-23高二上·河南郑州·期中）在空间直角坐标系中，，，，，点满足. (1)求点的坐标（用表示）； (2)若，求的值． 3．（23-24高二上·上海·期中）如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ． 题型9空间向量的对称问题 例题：【多选】（23-24高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于原点O的对称点的坐标为 B．点关于y轴的对称点的坐标为 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．点到平面的距离为1 巩固训练 1．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 2．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是 4．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（    ） A．点P关于坐标原点对称点的坐标为 B．点P在x轴上的射影点的坐标为 C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为 D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为 题型10利用空间向量证明平行垂直 例题：（23-24高二下·江苏徐州·期中）在正方体中，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知，分别是平面的法向量，若，则 ． 2．（21-22高二上·广东湛江·期中）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，过A点的截面分别交于点E，F，G，且，．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）． ①平面； ②平面； ③平面； ④若，点A，B，C，D，E，F，G在同一球面上； ⑤若，则四棱锥的体积为． 3．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 4．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面； 5．（23-24高二上·安徽宿州·期中）如图所示，三棱柱中，分别是上的点，且，．用空间向量解决如下问题：    (1)若，证明：； (2)证明：平面． 6．（23-24高二上·浙江·期中）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 题型11利用空间向量计算空间角 例题：（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 巩固训练 1．（23-24高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 2．（23-24高三上·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 3．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 4．（23-24高三下·上海·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 5．（23-24高三上·河南·期中）如图，在三棱锥中，，,，，于点. (1)证明：平面； (2)若点满足，求二面角的余弦值． 题型12利用空间向量计算空间距离 例题：．（23-24高三上·天津·期中）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 巩固训练 1．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 2．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 3．（22-23高二上·广东佛山·期中）如图，在长方体中，，，求： (1)点到直线BD的距离； (2)点到平面的距离； (3)异面直线之间的距离. 题型13利用空间向量探究动点存在 例题：（23-24高二上·湖北孝感·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？说明理由. 巩固训练 1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点． (1)求证：平面； (2)平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 2．（22-23高三上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 3．（23-24高二上·北京·期中）如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 4．（2023·天津和平·三模）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.    (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离； (3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何知识归纳与题型突破（题型清单） 知识点1.空间向量 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||． ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…． 知识点2.几类特殊的向量 (1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行． 注意： 1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空 间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的 相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习; 2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同; 3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决; 4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性. 知识点3.空间向量的加法、减法与数乘运算 名称 运算法则 特点 图示 加法运算 三角形法则 收尾相接收尾连（通过平移） 平行四边形法则 起点相同（共起点）（通过平移） 减法运算 平行四边形法则 起点相同连终点，被减向量定指向。 数乘运算 实数的作用：正负定方向，数值定模比 知识点4.空间向量的加法和数乘的运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： （3）数乘运算律：①λ(μ)＝(λμ)；②(λ＋μ)＝λ＋μv；③λ(＋)＝λ＋λ； 知识点5.共线向量及共线向量定理 1.共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线. 2.共线向量定理 对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa. 知识点6.空间向量的线性运算的理解 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． 　 图1　　　　　　　　图2 (1)如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b． (2)如图2，＋＋＝． 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． (3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同； (ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反． ②当λ＝0或a＝0时，λa＝0． 知识点7.空间两个向量的夹角 1. 夹角 定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。 图示   表示 　〈a,b〉. 范围 [0,π] 2.空间两个向量的关系 （1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同; （2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向相反; （3）若〈a,b〉=,则向量a,b互相垂直，记作a⊥b 知识点8.空间两个向量的数量积 1. 空间向量的数量积的定义 定义 已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉  叫做a,b的数量积,记作    a·b    .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定 零向量与任意向量的数量积为　0    2.空间向量数量积的运算律 交换律 a·b= b·a     结合律 (λa)·b=⑩  λ(a·b)    ,λ∈R 分配律 a·(b+c)=   a·b+a·c   3.空间向量数量积的性质 ①若a,b为非零向量,则a⊥b⇔  a·b=0    ; ②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|= ③若为a,b的夹角，则 ④|a·b|≤|a||b| 4.与数量积有关的2个易错点 ①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零. ②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立. 知识点9.向量的投影 （1）向量在向量上的投影向量 ①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b （2）向量在平面上的投影向量 ①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量. ②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n 知识点10.共面向量及共面向量定理 1.一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。 知识点11.空间四点共面的条件 已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面. 注意： （1） 共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量. （2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了. 知识点12.空间向量的基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3 基底和基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量. 知识点13.正交基底和单位正交基底 正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底 单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示 推论: 设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得++. 知识点14.空间直角坐标系 1.定义：如图，在空间选定一点0和一个单位正交基底{i，j，k}以0为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴，这是我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz。 其中点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 知识点15.空间直角坐标系中点的坐标 定义：对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即通过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R，点P， Q， R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组（x，y，z）叫作A点的坐标，记为A（x，y，z）。其中x，y，z分别叫作点A的横坐标，纵坐标，竖坐标。 在空间直角坐标系O-xyx中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a=a1i＋a2j＋a3x，有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（a1，a2，a3）. 知识点16.空间向量的坐标运算 1.空间向量的坐标运算 （1）设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），则 ①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2） ②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2） ③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R). ④若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； ⑤a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； ⑥|a|＝＝； ⑦当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝＝． (2)设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一个向量的 坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 2.空间向量平行、垂直的坐标表示 （1）已知空间向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，则a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R). (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0． 3.空间向量坐标的应用 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离OP＝． (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离P1P2＝． 知识点17.平面的法向量 1.平面的法线 与平面垂直的直线叫作平面的法线。 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向来刻画平面的“方向”。 2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量. 注意： （1） 平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. （2）一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 3.平面法向量的性质 （1）如果直线垂直于平面α，则直线l的任意一个方向都是平面α的一个法向量. （2）如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行 （3）如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即 n=0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 知识点18.直线与平面、平面与平面的位置关系 1.如果v是直线I的一个方向向量，n是平面α的一个法向量 （1） （2） 2.如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量： （1）α1α2； （2）α1//α2,或α1与α2重合 3三垂线定理及其逆定理 （1）射影 已知空间中的平面α以及点A，过点A作α的垂线，设I与α相交于点A ，则A' 就是点A在平面α内的射影（称为投影）．空间中，图形F上，在平面内的所有点，所组成的集合F' 称为图形F在平面α 内的射影。 （2）三垂线定理 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。 （3）三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直 则它也和这条斜线在平面内的射影垂直. 知识点19.异面直线所成的角 1. 向量求法：若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=    . 2.范围：（0,] 知识点20.直线与平面的夹角 1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°. 2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°. 3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角） 注：1.线线角、线面角的关系式：如图，AB⊥α，则图形之间的关系式 2.最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 4.用空间向量求直线与平面的夹角 1.定义：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有=. 2.范围：[0,] 知识点21．二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，二面角的范围为[0，π]． (3)二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α­l­β的平面角． （4）用空间向量求二面角的大小 定义：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 条件 平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ 图形 关系 θ＝φ θ＝π－φ 计算 cos θ＝cos φ cos θ＝－cos φ 知识点22.两点间的距离 1.两点间距离A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）， |AB|= 2用向量表示 两点间距离=(,,),|AB|= 知识点23.点到直线的距离 定义：若P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则点P到直线l的距离为d== 设e是直线l的方向向量，则点P到直线l的距离为d=||sin<,e> 知识点24.点到平面的距离 定义：若P是平面α外一点，PQ⊥α，垂足为Q，A 为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，点P到平面α的距离d= 知识点25.相互平行的直线与平面之间 1.定义：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离， 2.公式：如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝． 知识点26.相互平行的平面与平面之间的距离 1.定义：当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． 2.公垂线段：一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的 公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段．显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长. 3.公式：如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝． 题型1空间向量的有关概念理解 例题：【多选】（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【分析】根据相等向量的有关概念判断． 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 巩固训练 1．【多选】（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（    ） A．设，是两个空间向量，则 B．若空间向量，满足，则 C．若空间向量，，满足，，则 D．在正方体中，必有 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：，故A为真命题； 对于选项B：根据向量的定义可知，，但向量的方向无法确定， 所以不一定成立，故B为假命题； 对于选项C：根据向量相等的定义可知：若，，则，故C真命题； 对于选项D：在正方体中，，且方向相同， 所以，故D为真命题. 故选：ACD. 2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 3．（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可. 【详解】    如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 4．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可； （2）根据相等向量的定义写出即可； （3）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 题型2空间向量的线性运算 例题：（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知四面体，是的中点，连接，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件作出图形，利用线段中点的向量表达式及向量加法法则即可求解. 【详解】如图，四面体，是的中点，    因为是的中点，所以 所以. 故选：A. 巩固训练 1．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：A. 3．【多选】（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解. 【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形， ，A正确，B错误； ，D正确，C错误. 故选：AD 题型3空间向量的线性表示 例题：（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助空间向量的线性运算计算即可得. 【详解】 ，故A、B错误； ，故C错误、D正确. 故选：D. 巩固训练 1．（23-24高二上·四川凉山·期中）在平行六面体中，，点P在线段上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，作图，结合几何性质，利用向量的运算，可得答案. 【详解】 在平行六面体中，四边形为平行四边形，且， 易知，同理，由且，则， . 故选：A. 2．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C 3．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐一对各项计算判断即可得出结果. 【详解】空间四边形中，，，点是线段的中点， ， ，所以选项D正确； 对于选项A，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B错误； 对于选项C，，所以选项C正确， 故选：CD. 4．（2016高二·全国·课后作业）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】连接BD，E为PD的中点，    ． 故选：C． 题型4空间向量的基本定理及应用 例题：【多选】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【答案】BCD 【分析】根据空间向量组成基底的条件逐项判断即可. 【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C项，若、、不能构成空间的一组基底，则、、共面， 又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C正确； 对于D项，若，，共面， 则，可知，，共面， 与为空间向量的一组基底相矛盾，故，，可以构成空间向量的一组基底. 故选：BCD. 巩固训练 1．【多选】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，所以、、共面，这组向量不能做基底； 对于B选项，假设，，共面， 则存在、使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 对于C选项，假设，，共面， 则存在、，使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，所以假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 选项D，因为，则，，共面，这组向量不能做基底. 故选：BC. 2．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理结合向量的线性运算，用基底表示即可. 【详解】连接，如图， 因为是的中点，所以 . 故选：B 3．（21-22高二上·江苏常州·期中）如图，在空间四边形中，是的重心，若，则 . 【答案】1 【分析】结合是的重心，根据向量的线性运算，代入即可得出． 【详解】D为AB中点，连接OD，CD，有， 是的重心，则G在CD上，且， 即，则有， 所以， 可得，则有. 故答案为：1 4．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 【答案】 【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案. 【详解】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 题型5空间向量的共线问题 例题：（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【分析】根据空间共线向量可得，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 巩固训练 1．（2023高一·全国·单元测试）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 2．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 3．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 4．【多选】（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 题型6空间向量的共面问题 例题：（23-24高二下·江苏宿迁·期中）下列命题正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面 C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面 【答案】A 【分析】根据题意，由已知条件结合空间向量共面定理，以及向量共线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由空间向量的加法运算可知，故A正确； 空间中任意两个向量都共面，故B错误； 若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误； 若，且，则、、、四点共面，故D错误； 故选：A 巩固训练 1．【多选】（23-24高二上·河南开封·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面基本定理进行求解判断即可． 【详解】对于A，因为，故三个向量共面，故A符合题意； 对于B，假设，，共面， 则，使得， 故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面； 故B不符合题意； 对于C，，故三个向量共面，故C符合题意； 对于D，，故三个向量共面，故D题意符合． 故选：ACD． 2．（22-23高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到共面，进而得到四点共面，即可求解. 【详解】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 3．（19-20高二·全国·课后作业）已知是不共面向量，，，，若，、三个向量共面，则实数 ． 【答案】 【分析】由题意可得存在实数，满足，然后建立方程即可求解． 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数，满足， 即， 所以，解得， 故答案为：． 4．（23-24高二上·四川成都·期中）已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 题型7空间向量的数量积问题 例题：（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 巩固训练 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，求出、的坐标，再利用空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】因为，所以，， 则. 故选：D 2．（20-21高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【详解】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B 3．【多选】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用空间向量的线性运算，得到，再利用模长公式、空间向量的运算律及数量积的定义，得到，可判断出选项A和B的正误；又，从而得到，可判断出选项C和D的正误. 【详解】因为点是的中点，是上的一点，且， 所以 ， 故， 又，且 ， 所以，故A正确，B错误， 又，所以 ，故C正确，D错误. 故选：AC． 4．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 5．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知 ，则 与 夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】由空间向量的数量积公式求解即可． 【详解】， . 故答案为： 6．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求结论. 【详解】因为 所以， . 故选：B. 7．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 8．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【详解】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 故选：A. 9．（23-24高二下·江苏淮安·期中）平行六面体 中，，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出. 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B 题型8 空间向量的坐标运算 例题：（21-22高二上·山西忻州·阶段练习）已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算法则求解即可. 【详解】， ，得， ， 即点的坐标为. 故答案为：. 巩固训练 1．【多选】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知四边形是平行四边形，，，，则（    ） A．点的坐标是 B． C． D．四边形的面积是 【答案】ABD 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：ABD 2．（22-23高二上·河南郑州·期中）在空间直角坐标系中，，，，，点满足. (1)求点的坐标（用表示）； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可得点的坐标； （2）利用的坐标表示可得答案. 【详解】（1）因为，，所以， 因为， 所以， 所以点的坐标为； （2）因为，，， 所以，即，解得. 3．（23-24高二上·上海·期中）如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知先求坐标，再结合图形可得坐标，进而求得答案. 【详解】在长方体中，，为坐标原点，则， 因此，所以. 故答案为： 题型9空间向量的对称问题 例题：【多选】（23-24高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（    ） A．点关于原点O的对称点的坐标为 B．点关于y轴的对称点的坐标为 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．点到平面的距离为1 【答案】ABD 【分析】由点关于原点、坐标轴、坐标平面对称点的坐标变换特征以及点到坐标平面距离的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于A，点关于原点O的对称点的坐标为，故A正确； 对于B，点关于y轴的对称点的坐标为，故B正确； 对于C，点关于平面对称的点的坐标是，故C错误； 对于D，点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD. 巩固训练 1．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 【答案】(1)，. (2)，，. 【分析】（1）根据空间点的投影特点即可得到坐标； （2）根据空间点关于面、线和点对称的特点即可得到坐标. 【详解】（1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，. （2）点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为，，. 2．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间点关于面的对称点的坐标关系求解. 【详解】由空间直角坐标系中任一点关于平面的对称点为， 可得点关于平面的对称点的坐标为. 故选： B． 3．（23-24高二上·上海徐汇·期中）已知，则的中点关于平面的对称点的坐标是 【答案】 【分析】先求出中点坐标，然后根据关于平面的对称点的特征即可得解. 【详解】由，得的中点坐标为， 所以的中点关于平面的对称点的坐标是. 故答案为：. 4．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（    ） A．点P关于坐标原点对称点的坐标为 B．点P在x轴上的射影点的坐标为 C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为 D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为 【答案】C 【分析】利用空间直角坐标系中点的对称性特征可判断. 【详解】点关于原点的对称点为.故选项A正确； 点在x轴上的射影即为过点作x轴的垂线所得垂足，其坐标为.故选项B正确； 点关于Oyz平面的对称点与点横标互为相反数，纵坐标与竖坐标保持不变.故选项C错误； 点在平面Oyz上的射影即为过点作平面Oyz的垂线所得垂足，其坐标为.故选项D正确. 故选：C. 题型10利用空间向量证明平行垂直 例题：（23-24高二下·江苏徐州·期中）在正方体中，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量计算其数量积即可得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则有、、、、 、、、， 故、、、、 、、， 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：C. 巩固训练 1．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知，分别是平面的法向量，若，则 ． 【答案】 【分析】根据法向量垂直即可求解. 【详解】因为，所以，所以，解得． 故答案为： 2．（21-22高二上·广东湛江·期中）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，过A点的截面分别交于点E，F，G，且，．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）． ①平面； ②平面； ③平面； ④若，点A，B，C，D，E，F，G在同一球面上； ⑤若，则四棱锥的体积为． 【答案】①②④ 【分析】对于①，通过证明得到，即可判断；对于②，只需分别证明，，即可判断；对于③，利用反证法推翻命题即可判断；对于④⑤，建立适当的空间直角坐标系即可说明. 【详解】对于①，因为平面，平面，， 又因为，所以， 所以直角三角形全等于直角三角形， 因为，，所以， 又因为，所以直角三角形全等于直角三角形， 所以，所以， ∴，又平面，平面， ∴平面，∴①正确； 对于②，因为，，平面， 所以平面，同理平面， 又平面，平面， 所以，， 因为，，平面， 所以平面， 而平面，从而，同理， 又，平面， 所以平面，∴②正确； 对于③，由②可知，平面，而平面，所以， ∴与必相交（否则若，注意到，所以，又，而同一条直线不可能同时垂直两条相交直线，故矛盾）， 假设平面，由平面，与相交，平面， 可得平面平面，显然矛盾，∴③错误； 对于④，若，则， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，而平面， 所以， 由题意点分别是的中点，且， 所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 因为三点共线，所以设， 所以，所以， 而，且由③可知， 所以，解得，符合题意， 所以， 所以， ∴点A，B，C，D，E，F，G在同一球面上，∴④正确； 对于⑤，连接，取的中点M，连接，则， 因为平面，所以平面， 而，，，， 由已知可得， 所以，，，， 所以，即， 根据对称性可知，四边形的面积为， ∴四棱锥的体积，∴⑤错误． 故答案为：①②④． 【点睛】关键点点睛：判断④⑤的关键在于，适当利用空间向量这一工具，由此即可顺利得解. 3．（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明共面，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面， 平面平面， 又是正方形，所以，平面，    所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则， 所以，故共面． 又平面，所以平面； （2） 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 4．（2023高三·全国·专题练习）如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论. 【详解】由题意，以点为坐标原点，，,分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 故， ， 即， 又平面， 故平面. 5．（23-24高二上·安徽宿州·期中）如图所示，三棱柱中，分别是上的点，且，．用空间向量解决如下问题：    (1)若，证明：； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意分解向量，结合已知条件证明即可； （2）由向量共面基本定理证明存在，使得即可. 【详解】（1）由题意，且， 所以 ， 所以，即. （2）由题意 ， 这表明了共面，而面， 所以平面. 6．（23-24高二上·浙江·期中）已知正三棱台中，，，、分别为、的中点.    (1)求该正三棱台的表面积； (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将正三棱台补成正三棱锥，分析可知正三棱锥是棱长为的正四面体，结合三角形的面积公式可求得正三棱台的表面积； （2）设点在底面的射影为点，则为正的中心，取的中点，连接，则，以点、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）解：将正三棱台补成正三棱锥，如图所示： 因为，且，则、分别为、的中点， 则，，故是边长为的等边三角形， 由此可知，、都是边长为的等边三角形， 易知是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形， 故正三棱台的表面积为. （2）解：设点在底面的射影为点，则为正的中心， 取的中点，连接，则， ，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、、、 、， 则，，， 所以，，，所以，，， 因为，、平面，故平面. 题型11利用空间向量计算空间角 例题：（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 (1)与所成角的余弦值； (2)与平面所成角的正弦值； (3)直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用向量法求异面直线所成的角的余弦值； （2）代入向量法求线面角的正弦值； （3）假设存在点，分别求平面和平面的法向量，利用法向量表示二面角的余弦值. 【详解】（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直， 且平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系 则 ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为; （2）平面BCD的法向量， 所以， 则与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在，设， 设平面CDP的法向量， ，取，则，， 则， 所以或 则点P存在 所以或. 巩固训练 1．（23-24高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以，， 为基底表示出，，再利用向量的数量积即可证明； （2）以，， 为基底表示出，再利用向量的模即可求解； （3）利用向量的数量积即可求解. 【详解】（1）如图所示：以，， 为基底， 则由题意得：， 又， ， ，， ， 即 故 ； （2）由(1)知， 即 ， 故的长为； （3）， ， ； ； ； 即， 由题意可知直线与AC所成角为锐角， 故直线与AC所成角的余弦值为. 2．（23-24高三上·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先作出两平面的交线，再根据线面平行的判断定理，即可证明； （2）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，代入向量所成角的余弦值公式，即可求解. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接交于点，连接， 则平面和平面交线为，即 因为为直三棱柱，所以为平行四边形， 所以为中点，为中点，所以， 又平面平面， 所以平面，即平面. （2）直三棱柱中，，所以两两垂直. 以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，则， 所以 解得，所以线段长为. 3．（23-24高二上·广东广州·期中）如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果； 【详解】（1）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，    则, ，， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，得， 因为，所以平面； （2） ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为： ． 4．（23-24高三下·上海·期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线线垂直可得平面，进而可证平面平面； （2）过作，垂足为， 【详解】（1）因为为等边三角形，为线段的中点，所以，又， 因为四边形为直角梯形，，所以是平面上的两条相交直线， 所以平面，平面，所以平面平面； （2）因为四边形为直角梯形，，， 所以，过作，垂足为， 由，得，所以，， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又，设直线与平面所成角为， 则，解得，即. 5．（23-24高三上·河南·期中）如图，在三棱锥中，，,，，于点. (1)证明：平面； (2)若点满足，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件，证明CO⊥AB，CO⊥PO，根据线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用，得出点Q的坐标，求得两个平面所在的法向量即可求解． 【详解】（1）因为是公共边， 所以， 因为，所以，且， 设，则，所以， 解得，故， 在中，因为，所以， 又因为， 所以平面. （2）如图所示，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则， ，设， 则， 因为，所以，解得， 故， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 易知平面的一个法向量为， 因为， 所以二面角的余弦值为. 题型12利用空间向量计算空间距离 例题：．（23-24高三上·天津·期中）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法可得结果. （3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【详解】（1）令，连接， 由四边形为矩形，得为中点，又为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 由轴平面，得平面的法向量， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）知：，则，而平面的法向量， 所以点到平面的距离. 巩固训练 1．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 2．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 3．（22-23高二上·广东佛山·期中）如图，在长方体中，，，求： (1)点到直线BD的距离； (2)点到平面的距离； (3)异面直线之间的距离. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 (1)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和向量的坐标，再求在上的投影向量的大小，结合勾股定理求点到直线BD的距离；(2)求平面的法向量，再求向量在向量上的投影的大小即可；(3)证明平面，利用向量方法求点到平面的距离即可. 【详解】（1） 以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，， 所以，，所以在上的投影向量的大小为，又，所以点到直线BD的距离； （2）由(1) ，，， 设平面的法向量，则，所以， 取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为； （3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以异面直线之间的距离与点到平面的距离相等，设平面的法向量，因为，则，所以， 取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；故异面直线之间的距离为. 题型13利用空间向量探究动点存在 例题：（23-24高二上·湖北孝感·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题意和勾股定理可得，利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）由面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，进而建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出该面面角； （3）假设存在这样的点Q，则存在使得.利用线面平行和空间向量的坐标表示建立关于的方程，解得，即可下结论. 【详解】（1）在中， 所以，即. 又因为，在平面中，， 所以平面. （2）因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，由平面，得. 由（2）知，且已知， 故以A为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，.    所以 因为为中点，所以. 由知，. 设平面的法向量为， 则即 令，则.于是. 由（1）知平面，所以平面的法向量为. 所以， 由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为； （3）设是线段上一点，则存在使得. 因为， 所以. 因为平面，所以平面，当且仅当， 即. 即.解得. 因为， 所以线段上不存在使得平面. 巩固训练 1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，点为的中点． (1)求证：平面； (2)平面内是否存在点，使平面？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明出平面； （2）设是平面内一点，由平面得出，可求得、的值，进而可确定点的坐标. 【详解】（1）底面，，． 以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 由于． 所以，，，，，， 易知，平面的一个法向量为， 又，，则. 又平面，平面； （2）存在满足要求，理由如下： 设是平面内一点， 则，，， 若平面，则，，即. 因此，在平面内存在点，使平面． 2．（22-23高三上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点. (1)若，求证：平面； (2)若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，在线段上是否存在点，使得点到直线的距离为，若存在请指出点的位置，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点 【分析】（1）过点作，交于点，连接，通过证明四边形为平行四边形得出，然后利用线面平行的判定定理即可得出结论； （2）证明出平面，过点作交于点，并以点为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角的余弦值为，求出的值，再利用空间中点到直线的距离公式即可得出结论. 【详解】（1）（1）过点作，交于点，连接， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， 所以四边形为平行四边形，则， ∵平面，平面， ∴平面； （2）由异面直线与成角，即， ∵，，∴平面， ∵，过点作交于点， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为，、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 可得平面的一个法向量为， 由于二面角的余弦值为， 则，解得， 则， 假设线段上存在点，使得点到直线的距离为， 设， ∴， 则， ∴，， ∴点到直线的距离为， 解得或， 所以线段上存在点，为靠近或靠近的三等分点时，使得点到直线的距离为. 3．（23-24高二上·北京·期中）如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点． (1)求证：∥平面； (2)求：二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点D，连接DN、，证明四边形为平行四边形，得，从而可得证线面平行； （2）分别以为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）用空间向量法求点面距，从而得出结论． 【详解】（1）取中点D，连接DN、， ∵D、N分别为、∴且， ∵与平行且相等，M为中点，∴与平行且相等， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面  平面， ∴平面； （2）∵直三棱柱∴平面ABC又CB、平面ABC， ∴、， ∵即， ∴、CB、CA两两垂直，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴  ， 则  ， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令则， 设二面角的平面角为， 则， 由图知为钝角，∴； （3）设，， ∵， ∴， ∴    ， 设平面MBC的法向量为， 则，即， 令则 ∴P点到平面MBC的距离为， 解得，又∴． 4．（2023·天津和平·三模）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.    (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离； (3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 【答案】(1)详见解析； (2)； (3)存在点，此时. 【分析】（1）建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直,即可证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系后，用点到平面的距离公式即可求解； （3）假设存在，列出方程求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.    因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则 ，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 因为， 所以，所以， 又因为平面， 所以∥平面； （2）解：由（1）知，， 所以点到平面的距离为； （3）解：假设边上存在点满足条件，， 则， 设直线与平面所成角为， 由题意可得， 化简得，则或（舍去）， 即存在点符合题意，此时. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$