第二章 平面解析几何知识归纳与题型突破（25类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

第二章 平面解析几何知识归纳与题型突破（题型清单） 知识点1.数轴上的基本公式 如果数轴上点A（x1），B（x2），线段AB的中点为M（x），则 (1)向量的坐标为x2-x1; (2)|AB|=||=|x2-x1|; (3)x=. 知识点2.平面直角坐标系中的基本公式 已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中的两点，M（x，y）是线段AB的中点，则 (1)=(x2-x1,y2-y1); (2)= (3)x=，y= 知识点3.坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题.这种解决问题的方法称为坐标法. 知识点4.直线的倾斜角 1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角. 2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为， 3.范围：[0,π) 知识点5.直线的斜率 1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为，则当时，称k=tan为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率不存在. 2.公式：已知点、，是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为，当时，直线l的斜率不存在. 知识点6.直线的方向向量 1.定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合 ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l 2.性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线. ②如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则=(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个方向向量. ③若为直线l的倾斜角，则（cos，sin）一定是直线l的一个方向向量. ④如果已知a=（u,v）为直线l的一个方向向量，则当u=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u0时，直线l的斜率是存在的，直线l的斜率k=,即tan=. 知识点7.直线的法向量 一般的，如果表示非零向量的v的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l，一条直线的方向向量与法向量互相垂直. 知识点8.直线的方程 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，而且以方程 F（x，y）=0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x,y)=0为直线l的方程，而直线l称为方程 F（x，y）=0的直线.此时，"直线l"也可说成"直线F（x，y）=0"，并且记作l：F（x，y）=0. 一、.直线的点斜式方程 1.经过点P（xo，yo）且斜率为k的直线方程为y-yo=k（x-x0）称为直线的点斜式方程. 2.经过点P（xo，yo）且斜率为0的直线方程为y=y0,经过点P（xo，yo）且斜率不存在的直线方程为 x=xo . 二、直线的斜截式方程 1.一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为（a，0），则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为（0，b），则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线方程为y=kx+b，称为直线的斜截式方程. 2.直线y=kx＋b中k的几何意义是直线的斜率,b的几何意义是直线的截距（即直线在y轴上的截距）. 三、直线的两点式方程 经过两点,(--)的直线方程为，这种形式的直线方程称为直线的两点式方程. 四、直线的截距式方程 直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0，则直线方程可写为,这种形式的方程称为直线的截距式方程，注意这里要求直线在x轴y轴上的截距都存在且不为0. 五、直线的一般式方程 1.所有的直线方程都是关于x，y的二元一次方程,关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. 2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)称为直线的一般式方程. 3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，则方程可以化为y=-x-,它表示的是斜率为-且截距为-的直线；如果B=0，则由A,B不同时为0可知A≠0,从而方程可以化为x=-,它表示的是斜率不存在且过点（-，0）的直线. 4.向量v=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个法向量. 知识点9.两条直线的相交、平行与重合 1.若直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论：①l1与l2相交：;②l1与l2平行：且;③l1与l2重合：且 2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理. 因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，则： ①l1与l2相交（只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1 ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2=A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数 A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。 3. 直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件C1=C2 知识点10.两条直线的垂直 1. 一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不为0）可得l1⊥l2，则=-1. 2. 设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因为v1=(A1,B1)是l1直线的一个法向量，v2=(A2,B2)是l2直线的一个法向量，所以l1⊥l2，则v1⊥v2，则A1A2+B1B2=0. 知识点11.两点间的距离 定义：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝ 知识点12.点到直线的距离 1.点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝ 2.点到特殊直线的距离公式 点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d＝|y0-a|,到y轴的距离d＝|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d＝|x0-b|. 知识点13.两条平行直线之间的距离 1.两条平行线之间的距离 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2.两条平行线之间的距离公式 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ 知识点14.圆的标准方程 一、圆的标准方程 1.圆的基本要素：圆心和半径 2.圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中C的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则点M在C上的充要条件是CM=r，即两边平方，得 +=，此式通常称为圆的标准方程． 二、由圆的标准方程判断点与圆位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 知识点15.圆的一般方程 1.当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为 r＝ . 2. 当D2＋E2－4F=0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点. 3.当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 注：由圆的一般方程判断点与圆位置关系 已知M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点在圆上 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0 点在圆内 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0 点在圆外 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0 判断二元二次方程Ax²＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆要" 两看"： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0； 二看它能否表示圆．此时判断D²＋E²- 4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数. 知识点16．直线与圆的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 图形 知识点17．圆的切线 (1)过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 知识点18.切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点19．圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. (2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点20.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为:外离、外切、相交、内切、内含。 一、圆与圆位置关系的判定 1.几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与 r1，r2的 关系 d＞ r1＋r2 d＝ r1＋r2 |r1－r2| ＜d＜ r1＋r2 d＝ |r1－r2| (r1≠r2) 0≤d＜ |r1－r2| (r1≠r2) 2.代数法 通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 注意：涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 注意：1.圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； 2.圆与圆相交，两圆有两个公共点； 3.圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切. 二、 两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线. 两圆的公切线有如图所示的五种情况： 位置关系 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 图示         公切线条数 4 3 2 1 0 1.外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； 2.外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； 3.相交时，有2条公切线，都是外公切线； 4.内切时，有1条公切线； 5.内含时，无公切线. 三、两圆相交时公共弦所在直线的方程： 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： 1.将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； 2.两圆圆心的连线垂直平分公共弦； 3.x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)． 知识点21．圆系方程 1.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； 2.过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)． 3.当λ=- 1时，变为（D1- D2）x+（E1- E2）+F1- F2=0表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆圆心连线垂直的直线. 知识点22.曲线的方程与方程的曲线的定义 一、曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y）=0之间具有如下关系： 1.曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解; 2.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上. 则称曲线C为方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0为曲线C的方程. 二、两曲线的交点 己知两条曲线C1和C2的方程分别为F（x，y）=0，G（x，y）=0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到. 三、点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程. 四、求动点M轨迹方程的一般步骤 1. 设动点M的坐标为（x，y）（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； 2. 写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； 3.化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. 知识点23．椭圆的定义及方程 一、椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． (2)焦点：两个定点F1，F2. (3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|. (4)半焦距：焦距的一半． 二.椭圆标准方程的推导： 1.怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1. 2.椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点 是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数. 图1 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 3.遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有 三、椭圆的标准方程对比 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 知识点24.椭圆的几何性质汇总 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1) 注：椭圆的离心率 1.定义：e＝. 2.离心率的范围为：(0,1). 2.公式拓展：e＝= 3.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆. 知识点25.双曲线的定义及方程 一、双曲线的定义 1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线. 2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 2. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 4. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二、.双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线。 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上。 三、椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 知识点26.双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 注：一、等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝. 注意：对双曲线的简单几何性质的几点认识 1.双曲线的焦点决定双曲线的位置； 2.双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然． 3.巧设双曲线方程：与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 二、双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上） 三、离心率相关问题 1.定义：e＝ 2.范围：(1，＋∞) 3.拓展：①②③ 知识点27．抛物线的定义 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意：1.定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 2.抛物线的定义用集合语言表示为：P＝{M||MF|＝d}(d为M到直线l的距离)． 3.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)； 一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． 4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点28.抛物线的几何性质 类型 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 题型1直线的倾斜角与斜率 例题：（22-23高二上·全国·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先求斜率，再求倾斜角. 【详解】 直线的斜率为，又倾斜角范围为，故倾斜角为． 故选：A 巩固训练 1．（22-23高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据的图象，得出倾斜角θ的取值范围. 【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围， 可以得出倾斜角θ的取值范围为． 故答案为： 2．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 3．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 【详解】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 题型2直线的方程 例题：【多选】（23-24高二上·江苏淮安·期中）关于直线，以下结论正确的有（    ） A．时，直线在两坐标轴上的截距相等 B．直线必过第二象限 C．时，直线不过第四象限 D．时，直线过第二、三、四象限 【答案】ACD 【分析】求出直线的纵截距和横截距即可判断A，通过特例法判断B，由直线恒过定点，结合斜率、纵截距的符号即可判断C、D. 【详解】对于A，时，l的方程化为，令得直线的纵截距为， 令得直线的横截距为，即直线在两坐标轴上的截距相等，正确； 对于B，当时，，直线不过第二象限，错误； 对于C，时，将l的方程化为， 所以不论a为何值，直线l恒过定点，令得直线的纵截距为， 且直线斜率，所以直线不过第四象限，正确；    对于D，时，直线l的斜率，令得直线的纵截距为， 直线l恒过定点，所以直线过第二、三、四象限，正确.    故选：ACD 巩固训练 1．【多选】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．直线m斜率为 B．直线m横截距为1 C．直线m纵截距为 D．点不在直线m上 【答案】AC 【分析】A选项，变形为，得到斜率；B选项，令求出横截距；C选项，令求出纵截距；D选项，代入检验即可. 【详解】A选项，变形为，故直线m斜率为，A正确； B选项，中令得，，故直线m横截距为-1，B错误； C选项，中令得，，故直线m纵截距为，C正确； D选项，当时，，故点在直线m上，D错误. 故选：AC 2．【多选】（23-24高二上·浙江金华·期中）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，则 或.分类讨论，代点计算即可. 【详解】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，即，则或. 当 时，则直线设为，将代入，解得， 此时直线方程为：，即.故A正确； 当 时，则直线设为，即，将代入， 解得，此时直线方程为：，即.故B正确； 当 时，则直线设为，即，将代入， 解得，此时直线方程为：，即.故D正确； 故选：ABD． 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】 根据题意假设直线的截距式方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】 依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即. 故答案为：. 4．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)△AOB面积的最小值为4，此时的直线方程. 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，点到直线的距离的最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值及参数值． 【详解】（1）直线方程为， 可化为， 令，解得，所以直线恒过定点. 设定点为，当变化时，与该直线垂直时，点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，为 （2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且， 可设直线方程为可得与轴､轴的负半轴交于，两点，∴，，解得. ∴， 当且仅当时取等号，面积的最小值为4， 此时直线的方程为：，即：. 5．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为，的斜率为b，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，D错误. 故选：B. 题型3直线的平行垂直问题 例题：（20-21高二上·四川泸州·期中）若直线与直线平行，则实数等于（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用一般式方程判定直线平行的条件进行求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得. 故选：B. 巩固训练 1．（22-23高三下·云南曲靖·阶段练习）若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据直线垂直的充要条件可得a，b关系，然后由基本不等式可解. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，即， 由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为： 2．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 3．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）过点，且与直线垂直的直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出直线方程，然后代入点求解出参数值，由此方程可求. 【详解】设与直线垂直的直线的方程为， 代入点，所以，所以， 所以， 故选：B. 题型4两直线的交点问题 例题：（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及已知直线的斜率可求直线的斜率，进而可求直线的方程； （2）先设，进而表示的坐标，再由点在直线及中点坐标公式可求． 【详解】（1）设边上的高为， ，且直线的方程为，故斜率为， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即；    （2）设，则， 由题意得， 解得，，． 巩固训练 1．（20-21高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和讨论，当时求出交点，根据交点位于第一象限列不等式组求解可得. 【详解】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：A 2．（22-23高二上·全国·课后作业）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（    ） A．20 B． C．12 D．4 【答案】A 【分析】 由直线与互相垂直，利用一般式的垂直公式可求得，再将垂足代入两直线方程可求出，继而可求. 【详解】因为直线与互相垂直 所以，解的， 所以直线为， 又垂足为，可得，解得， 则垂足为，又其在上， 可得，解得. 所以， 故选：A. 3．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程. 【详解】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为. 故答案为： 4．（22-23高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可； （2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标. 【详解】（1）因为、， 所以边所在直线的方程为，整理得； （2）点到直线的距离， 又，因为， 所以有，即， 又点的坐标满足， 因此有或， 解得或， 所以点的坐标为或． 5．（23-24高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【详解】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 题型5两点间的距离问题 例题：（20-21高一下·江苏盐城·阶段练习）已知三顶点为、、，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由向量的坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状. 【详解】由已知，，， ∴，即， ∴是直角三角形. 故选：B. 巩固训练 1．（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由直线的两点式可得直线的方程，再由点到直线的距离公式可求出边上的高，再由两点间距离公式可得，再结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由两点式可得直线的方程为，即为， 再由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离， 且两点间的距离为， 所以的面积为. 故答案为： 2．（23-24高二上·广东江门·期中）的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线方程； (2)AC边上的中线所在直线方程及中线的长度． 【答案】(1) (2)；中线的长度为5. 【分析】（1）先求的斜率，进而可得边上的高的斜率，结合斜截式即可求解； （2）先求出边上的中点的坐标，再利用两点式求出边上的中线所在直线方程；再利用两点间的距离公式求得边上的中线的长度的值． 【详解】（1）设边上的高所在直线的斜率为， ，则， 由斜截式知边上的高所在直线方程为：， 即边上的高所在直线方程为：. （2）的三个顶点，，， 故边上的中点，边上的中线所在直线方程为， 即. 边上的中线的长度. 3．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 题型6点到直线的距离 例题：【多选】（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知、、，则（    ） A．直线的方程为 B．点到直线的距离为 C．为等腰直角三角形 D．的面积为 【答案】ABC 【分析】利用截距式方程可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；利用斜率关系以及两点间的距离公式可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程为，整理得，A对； 对于B选项，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，B对； 对于C选项，，，则， 所以，又，， 所以，所以为等腰直角三角形，C对； 对于D选项，的面积为，D错误. 故选：ABC. 巩固训练 1．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【分析】求解直线的倾斜角判断A，B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D. 【详解】对于，直线的斜率为，倾斜角为，A错误； 对于，直线的倾斜角为的倾斜角为，两直线不垂直，B错误； 对于，点到直线的距离为，C错误； 对于，设与直线平行的直线方程为，因为它过， 所以 过与直线平行的直线方程是，D正确， 故选：D． 2．（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程确定定点，根据时点线距离最大，求出直线的斜率，进而可得直线的斜率，进而写出直线的方程. 【详解】由直线的方程整理可得：， 可得直线恒过定点，所以， 当 时，到直线的距离最大， 可得直线的斜率为，即， 所以直线的方程为， 即． 故选：． 3．（21-22高二上·山西太原·阶段练习）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C． 题型7两平行线间的距离 例题：（23-24高二上·天津南开·期中）已知直线与直线． (1)当m为何值时，与相交； (2)当m为何值时，与平行，并求与的距离； (3)当m为何值时，与垂直． 【答案】(1)且 (2)， (3)或 【分析】（1）利用两直线相交的充要条件，运算得解； （2）利用两直线平行的充要条件及两平行线间距离公式，运算得解； （3）利用两直线垂直的充要条件，运算得解. 【详解】（1）由直线与相交，则，解得且. （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离为. （3）由直线与垂直，则，解得或. 巩固训练 1．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 2．【多选】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 【答案】BC 【分析】根据平行关系求出，两平行线间的距离求出可得答案. 【详解】由题意知，解得，所以：， 又：，即， 所以，解得或， 所以或． 故选：BC． 题型8直线的对称问题 例题：（2020高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可； （2）在直线上任取一点，利用（1）的做法求得对称点，再求出与的交点，由经过，两点，利用点斜式即可求得直线的方程； （3）任取上一点，求得其对称点，代入直线的方程即可求得直线的方程. 【详解】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.    巩固训练 1．【多选】（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 【答案】AC 【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由解得，所以交点坐标为，A选项正确. 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为， 所以B选项错误. 由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点， 所以直线关于原点O对称的直线方程为， 所以C选项正确. 点关于直线的对称点是； 点关于直线的对称点是， 所以直线关于直线对称的直线方程为， 即，所以D选项错误. 故选：AC 2．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案. 【详解】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 故答案为： 3．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)入射光线的方程，反射光线的方程 【分析】（1）根据题意，求得点关于直线的对称点为，得到反射光线的方程，联立方程组，即可求得交点坐标； （2）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求得入射和反射光线的方程. 【详解】（1）解：设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 则反射光线所在的直线的方程，即， 又由，解得， 即直线与直线的交点为. （2）解：由点，可得， 所以入射光线所在的直线的方程为，即， 反射光线所在直线的的方程，即. 5．（20-21高二上·上海浦东新·阶段练习）已知直线与. （1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； （2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）的中点的运动轨迹为与、平行且在它们中间的直线得其斜率，再求两直线在y轴中点的坐标可得答案.   （2）设的直线方程，分别于、联立，解得交点坐标，再利用两点之间的距离公式可得斜率，然后根据点斜式方程求得答案. 【详解】（1）因为、两点分别在直线、上运动， 所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线， 设其方程为， 、与y轴的交点分别为、，两点的中点为， 且中点在直线，所以，所以， 的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为. （2）过点且与x轴垂直的直线方程为， 与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意， 所以设的斜率为，直线方程为， 由直线与 即，交点为为， 由直线与 即，交点为 所以两交点之间的距离为， 解得，或， 所求直线方程为，或， 即或. 【点睛】本题考查两条直线的位置关系，两条平行直线之间的距离的问题. 6．（23-24高二上·福建三明·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ． 【答案】 【分析】结合两点间线段最短，只需求其中一个点关于直线的对称点，再求对称点与另一点的距离即可. 【详解】    由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为， 则，解得即． 将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又， 所以直线的方程为， 设将军在河边饮马的地点为， 则即为与的交点， ，解得， 所以． 故答案为： 题型9求圆的方程 例题：（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 巩固训练 1．（20-21高二上·山东泰安·阶段练习）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程. 【详解】圆经过点和，，AB中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程是． 联立方程组，解得． 所以，圆心坐标为，半径， 所以，此圆的标准方程是． 故答案为：. 2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 【答案】1 【分析】设出圆的一般方程，带入，，坐标，求出圆的方程，再带入点求出答案. 【详解】设过，，的圆的方程为，， 则， 解得， 所以过，，的圆的方程为， 又点在此圆上， 所以， 即， 所以， 故答案为：1 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出以为直径的圆的方程可得正确的选项. 【详解】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 题型10点与圆的位置关系 例题：（23-24高二下·全国·随堂练习）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解. 【详解】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 巩固训练 1．（23-24高二下·全国·课堂例题）若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由点A在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 又由圆的一般方程，可得， 即，即或， 所以实数的范围为，例如符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 2．（24-25高三上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先求出“点在圆内”的充要条件，对比即可得解. 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 题型11直线与圆的位置关系 例题：（22-23高二上·宁夏银川·阶段练习）直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 巩固训练 1．【多选】（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：BC 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案. 【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象， 当直线与曲线相切时， 则圆心到直线的距离为， 可得（正根舍去）， 当直线过时，， 如图，直线与曲线恰有1个交点，则或. 故选：D. 题型12圆的切线问题 例题：（23-24高二上·天津武清·期末）已知圆C过两点，， 且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作圆C的切线，求切线方程. 【答案】(1)（或标准形式） (2)或 【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案； （2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案． 【详解】（1）根据题意，因为圆过两点，， 设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即 又因为圆心在直线上，联立，解得， 所以圆心，半径，故圆的方程为； （2）圆的圆心为，半径， 当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切； 当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为， 即（*）， 由圆心C到切线的距离， 即，可得， 将代入（*），得切线方程为，即， 综上，所求切线方程为或. 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据条件得到点在圆上，从而得到切线的斜率为，即可求出结果. 【详解】因为圆的圆心为，， 易知点在圆上，又，所以切线的斜率为， 故切线方程为，即. 故答案为：. 2．（2024·陕西西安·模拟预测）直线与曲线和圆都相切，则 ． 【答案】 【分析】由直线与抛物线相切求出，再利用点到直线的距离求出. 【详解】直线与曲线相切，则消去y得， 于是，而，解得， 则直线与圆相切，所以. 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】过圆外一点的切点弦方程为，得到答案. 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为，化简得：. 故答案为： 4．（23-24高二下·广西·阶段练习）已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出切点弦所过的定点，再利用数量积的运算律，借助圆上的点到定点距离的最值特征求出最大值即可. 【详解】设点，圆圆心，半径， 显然切点在以线段为直径的圆上， 此圆方程为， 整理得，与圆的方程相减得直线的方程， 直线的方程为，即， 由，解得，即直线恒过定点， 连接交于，由切线长定理得，且是线段的中点， ， 显然，当且仅当与重合，且是延长线与圆的交点， 即点共线，且圆心在线段上时取等号，此时， 所以. 故答案为： 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 题型13圆的弦长问题 例题：（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 巩固训练 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：C 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案. 【详解】由，则圆的标准方程为，如下图： 图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点， 易知为所有经过坐标原点的弦中最短弦，. 故选：B. 3．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【分析】利用弦长公式求得，进而求得三角形的面积. 【详解】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 4．【多选】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D. 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 题型14圆与圆的位置关系 例题：（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 【答案】外离 【分析】由圆和圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，再求圆心距，比较与半径和，半径差的绝对值的大小，可得结论. 【详解】设圆的半径为，圆的半径为，则 圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，，， 所以， 所以圆和圆外离. 故答案为：外离. 巩固训练 1．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与圆的位置关系问题，再求解参数即可. 【详解】到原点的距离为的点的轨迹为圆：， 因此圆C：上总存在两个点到原点的距离均为， 转化为圆：与圆C：有两个交点， 因为两圆的圆心和半径分别为，，，， 所以，故，解得或， 故实数a的取值范围是，故A正确. 故选：A 题型15圆的公共弦问题 例题：（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 巩固训练 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）已知圆与圆交于、两点. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求公共弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆方程相减即可得； （2）可借助弦长公式计算，亦可通过计算出交点坐标，利用两点距离公式解决. 【详解】（1）由题意，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以，两圆相交， 两圆公共弦所在直线的方程为即，． （2）法一：到直线的距离， 所以公共弦长为． 法二：由得或， 故公共弦长为． 题型16圆的公切线问题 例题：（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 巩固训练 1．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 2．（2016高一·全国·课后作业）圆的方程为，圆的圆心. (1)若圆与外切，求的方程，并求公切线方程； (2)若圆与圆交于，两点，且，求圆的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】 （1）通过圆心距对于半径和，求出圆的半径，即可求出圆的方程，两圆方程相减，即得两圆内公切线的方程． （2）利用圆心距与写出的故选求出，圆到直线的距离，然后求出所求圆的半径，即可求出圆的方程． 【详解】（1） 解：圆的方程为，圆心坐标，半径为：2， 圆的圆心． 圆心距为：，圆与圆外切， 所求圆的半径为：， 圆的方程， 两圆方程相减，即得两圆内公切线的方程为． （2） 解：圆与圆交于、两点，且． 所以圆到的距离为：， 当圆到的距离为：，圆的半径为：． 圆的方程：． 当圆到的距离为：，圆的半径为：． 圆的方程：． 综上：圆的方程：或． 3．（22-23高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 【答案】(1)两圆相交，，； (2). 【分析】（1）根据圆心距判断圆的位置关系，再由两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，由几何法求出弦长； （2）根据公切线的性质，利用圆心距、半径差、公切线构成的直角三角形求解. 【详解】（1）圆A：，圆：， 两圆心距， ∵， ∴两圆相交， 将两圆方程左、右两边分别对应相减得：， 此即为过两圆交点的直线方程. 设两交点分别为、，则垂直平分线段， ∵A到的距离， ∴. （2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形. ∴， ∴. 题型17圆的最值问题 例题：【多选】（23-24高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据定点的求解可判定A,根据等量关系列方程可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，根据三点共线即可求解D. 【详解】对A,直线，，所以直线过定点，A正确； 对B，设，因为动点满足 ，所以 ，整理可得， 即，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 动点的轨迹方程为圆，B正确； 对于 C，当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大，且最大值为，C错误； 对于D，由，得，所以， 又因为点在圆内，点在圆外， 所以，当且仅当为线段与圆的交点时取等号． 故选：ABD      巩固训练 1．【多选】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】 根据题意，求出 直线过定点为，得到M轨迹是以PQ为直径的圆，分析可得点到直线的最大距离即，可得正确；分析的轨迹和轨迹方程，结合点与圆的位置关系可得，错误，综合可得答案. 【详解】 已知， 则，故直线过定点，正确； 设的坐标为，则点到直线的最大距离即，正确； 过点作直线直线：的垂线，垂足为，则恒成立，故的轨迹是以为直径的圆， 而，，则该圆的圆心为，半径，故的轨迹方程为， 又由，则，故N在圆外，故的最大值为，最小值为，故,错误． 故选：． 2．【多选】（23-24高二上·福建福州·期中）已知点是圆C：上的点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离最大值为5 B．的最大值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】求出圆心、半径，根据几何意义转化为圆心与直线或点的距离以及连线的斜率求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆心，半径. 对于A项，圆心到直线的距离， 所以，到直线的距离最大值为，故A项错误； 对于B项，设，当与圆相切时，斜率取得最大值或最小值. 直线方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，整理可得，解得， 所以，的最大值为，故B项正确； 对于C项，圆心到的距离为， 所以，圆上点到的距离的最小值为， 即， 所以，，故C项正确； 对于D项，设直线方程为，即， 当直线与方程相切时，有最大值或最小值， 则，所以. 所以，的最小值为， 即的最小值为，故D项错误. 故选：BC. 题型18圆锥曲线的标准方程 例题：（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 巩固训练 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，得到答案. 【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为， 故，解得，抛物线的标准方程为． 故选：D． 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆方程的特征得到不等式，求出实数k的取值范围. 【详解】，解得， 故实数k的取值范围是. 故答案为： 题型19圆锥曲线定义及应用 例题：【多选】（2024·山东济南·一模）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】由题，利用离心率公式、椭圆的定义和基本不等式即可一一判断． 【详解】椭圆，则 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BD． 巩固训练 1．（23-24高二下·广西桂林·期中）已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（    ） A． B．20 C． D．16 【答案】B 【分析】根据条件求得，，，进而得到周长为． 【详解】解：因为，，所以， 故的周长为． 故选：B． 2．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线定义可知，结合图形可的，然后可得所求. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知，， 由图知，当MN与抛物线C的准线垂直时，取得最小值， 此时点纵坐标为4，代入抛物线方程可得， 则的面积为． 故选：D 题型20圆锥曲线的离心率 例题：（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据中位线定理、椭圆定义求得，再结合即可列方程求解. 【详解】 设C的右焦点为，因为，所以，所以，所以， 设， 因为，所以， 所以 ，解得. 故选：C. 巩固训练 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设出直线的方程，与渐近线的方程联立，求出的坐标，由为的中点，，得为的中点，求出的坐标，代入双曲线的方程求解即可. 【详解】令，由对称性，不妨设直线的方程为， 由，解得，，即点的坐标为， 由为的中点，，得为的中点，则点的坐标为， 代入双曲线的方程，有， 即，， 解得，所以双曲线的离心率为． 故选：A 2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可得，取的中点，连接，由面积可得，利用余弦定理结合双曲线离心率分析求解. 【详解】由题意可知：，可得， 取的中点，连接，可知， 因为，可得， 则， 可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 3．（23-24高二上·河北邢台·期中）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率的范围计算a的范围即可. 【详解】 由题意得，得． 故选：C. 题型21直线与圆锥曲线的位置关系 例题：（21-22高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案. 【详解】将直线l：变形为l：， 由得，于是直线l过定点， 而，于是点在椭圆C：内部， 因此直线l：与椭圆C：相交． 故选：A．    巩固训练 1．（22-23高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，画出曲线和直线图像，根据图像得到答案. 【详解】当时，曲线，即，双曲线右半部分； 一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行； 当时，曲线，即，椭圆的左半部分； 画出曲线和直线的图像，如图所示：    根据图像知有个公共点. 故选：B 2．【多选】（22-23高三上·福建泉州·开学考试）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的焦点到渐近线的距离为1 D．直线与只有一个交点 【答案】ACD 【分析】由双曲线的渐近线，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程可判断A；求出离心率可判断B；求出焦点到渐近线的距离可判断C；联立直线与双曲线方程解方程组可判断D． 【详解】由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，解得，则双曲线的方程为，故A正确； 由，得，则双曲线的离心率为，故B错误； 双曲线的焦点坐标，焦点到渐近线的距离为，故C正确； 联立方程，解得，，则直线与只有一个交点，故D正确. 故选：ACD. 3．【多选】（23-24高二上·陕西·期中）过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 由已知当直线与抛物线对称轴平行时成立，当直线与抛物线对称轴不平行时，设点斜式，联立方程，利用判别式确定方程只有一个解时的斜率，即可得解. 【详解】由已知抛物线方程为，其对称轴为， 当直线与抛物线对称轴平行时，直线方程为，此时与抛物线只有一个交点成立， 当直线与抛物线对称轴不平行时，可知直线斜率存在， 设直线方程为， 联立直线与抛物线，得， 由直线与抛物线只有一个交点，可知， 解得或， 所以直线方程为或，即，或， 综上所述：直线方程为或，或， 故选：ABC. 题型22圆锥曲线的弦长和中点弦问题 例题：【多选】（22-23高二上·湖北·期中）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标为、 B．椭圆的长轴长为 C．直线的方程为 D． 【答案】BCD 【分析】根据椭圆方程可直接判断A、B的正误，设直线为，，，且，联立椭圆方程应用韦达定理即可求k值，写出直线方程，进而应用弦长公式可求，即可判断C、D的正误. 【详解】A：由椭圆方程知，焦点在轴上，，故焦点坐标为，错误； B：，即椭圆C的长轴长为，正确； C：由椭圆的对称性，直线的斜率不为0，故可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则， ∴，可得，即直线为，正确； D：由C知：，，则，正确. 故选：BCD. 巩固训练 1．（23-24高三上·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点的横坐标，进而求出弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，    设，则， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用点差法计算即可. 【详解】设， 则有， 化简得， 即. 故选：B 3．【多选】（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，则（    ） A．椭圆方程为 B．椭圆方程 C．过焦点且长度为的弦有条 D．过焦点且长度为的弦只有一条 【答案】BC 【分析】根据题意和椭圆的性质求出椭圆的标准方程，即可判断AB；设直线方程，联立椭圆方程，利用代数法求出弦长即可判断C；结合椭圆长轴的定义即可判断D. 【详解】因为过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为， 所以，且，得， 则，解得 因此椭圆的方程为，因此A错误，B正确； 因为过焦点且长度为的弦所在直线的斜率显然存在，且不为， 所以设直线的方程为，直线与椭圆交于，， 则． 由，得， ，，， 则， 由，得，即， 即直线的方程为，因此C正确； 因为椭圆的长轴长为，而， 所以过焦点且长度为的弦不存在，因此D错误． 故选：BC． 题型23圆锥曲线的面积问题 例题：（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知抛物线与直线交于两点，点在抛物线上，且为直角三角形，则面积的最小值为 ． 【答案】1 【分析】根据已知设，由垂直关系有，可得求a的范围且，即可求三角形面积最小值. 【详解】设，    则． 因为为直角三角形， 所以，即． 因为，所以． 所以． 故答案为：1 巩固训练 1．（23-24高二上·云南文山·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若为椭圆上的一点（不在轴上），则面积的最大值是（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据椭圆上的点的纵坐标的取值范围求解即可. 【详解】椭圆, 椭圆左、右焦点分别为，， 故, 为椭圆上的一点，设，则且， . 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线，直线与交于A，两点，是射线上异于A，的动点，圆与圆分别是和的外接圆（为坐标原点），则圆与圆面积的比值为（   ） A．小于1 B．等于1 C．大于1 D．与点的位置有关 【答案】B 【分析】求出的坐标，由对称性可得，，设，的外接圆半径为，由正弦定理得到，，故，故面积比值为1. 【详解】由题意得，抛物线的焦点坐标为， 将代入中，，不妨令， 由对称性可知两点关于轴对称，，， 设，的外接圆半径为， 当点在点上方时，， 当点在点上方时，， 同理， 因为，所以， 所以圆圆面积的比值为1.    故选：B 题型24圆锥曲线的轨迹问题 例题：（22-23高二·全国·单元测试）若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案. 【详解】等式左侧表示点与点间的距离， 等式右侧表示到直线的距离， 整个等式表示点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上， 所以点轨迹为抛物线. 故选：D. 巩固训练 1．（23-24高二上·北京东城·期中）曲线是平面直角坐标系内与两个定点和的距离之积等于4的点的轨迹，则（    ） ①曲线过原点； ②曲线关于原点对称； ③若点在曲线上，则的面积不大于2； ④曲线与曲线有且仅有两个交点． 其中正确命题的序号为（    ） A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到曲线的方程为，结合曲线的对称性的判定方法，可①不正确，②正确；结合三角形的面积公式，可判定③正确；联立方程组，求得交点坐标，可判定④正确. 【详解】设轨迹上的任意一点，则， 所以，化简得， ①中，把代入上述方程，可得，此式不成立，所以曲线不过原点，所以①不正确； ②中，把代换上述方程中的，其方程不变，所以曲线关坐标于原点对称，所以②正确； ③中，若点在曲线上，则的面积为，所以③正确； ④中，由曲线，可得，解得， 代入曲线，整理得，解得（舍去），所以， 解得，可得曲线与曲线有且仅有两个公共点，所以④正确. 故选：B. 2．（22-23高二下·上海崇明·期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，设A，B的坐标，设M的坐标，由题意可得N的坐标，求出3个向量，由向量的关系求出M的轨迹方程. 【详解】解：建立以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴的直角坐标系， 设，，， 设M的坐标为，由题意可得， 则，，， 所以，， 由，可得， 整理可得：，所以，， 故动点M的轨迹是双曲线.    故选：D. 题型25圆锥曲线的定点、定值问题 例题：（23-24高二下·福建厦门·期中）已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)在轴上存在点，使得为定值，证明见解析． 【分析】（1）根据已知求出即得椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点也满足前面的结论，即得解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为, 由题意可得,解得， ， 所以椭圆的标准方程为． （2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆的方程，可得， 设，则． 设，则 ， 若为定值， 则，解得． 此时点的坐标为． ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得 不妨设， 若，则，，． 综上，在轴上存在点，使得为定值． 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 巩固训练 1．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知为抛物线：的焦点，第一象限内的点在上，点的纵坐标等于横坐标的4倍，且. (1)求的方程； (2)若斜率存在的直线与交于异于的，两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为16，证明：过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意设，列方程可求得，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合直线的斜率之积为16，进行化简可得的关系式，即可证明结论. 【详解】（1）由题意，可设， 由题意得，解得， 所以的方程为. （2）易知的斜率不为0， 设    由得， 则. 所以 ，得， 故，即， ，故直线过定点. 2．（23-24高三上·广东广州·期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】(1)根据离心率公式、焦距以及之间的关系，列出等式即可求得； (2)设出直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到根的表达式，设出直线的方程。得到点的坐标，同理可求得点坐标，再根据向量的坐标运算进行求解即可. 【详解】（1）依题意知：， 解之得：，，， 所以椭圆C的方程为. （2）由于B，D异于A，故设直线的方程为， 联立得： 设，，则 因为，，所以设直线的方程为， 联立得：，同理有 因为，所以， 所以 所以，即.    【点睛】关键点点睛：将直线和椭圆方程联立利用韦达定理求出相关点的坐标，进而可表达出向量，，再根据向量积的值可得结果. 3．（22-23高二下·江西·期中）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，，过的直线交曲线于A，两点，交曲线于，交曲线于，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨迹的方程； （2）根据条件可得直线AM和BM的方程，与椭圆C方程联立，利用韦达定理法结合斜率公式计算即得. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 因为，则，可知圆内含于圆， 设动圆的半径为， 若动圆与圆内切，且与圆外切，    则，可得， 所以动圆的圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆， 设其方程为，其中，， 则，， 所以轨迹的方程为. （2）设 ，    则有 ， 则直线AM的方程为： ，直线AB的方程为，则 ， 联立方程 ， 解得： ， 又点 在椭圆C上， ， 代入上式化简得：  ， ； 同理可得： ， 所以 ， 即 ，为定值. 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 平面解析几何知识归纳与题型突破（题型清单） 知识点1.数轴上的基本公式 如果数轴上点A（x1），B（x2），线段AB的中点为M（x），则 (1)向量的坐标为x2-x1; (2)|AB|=||=|x2-x1|; (3)x=. 知识点2.平面直角坐标系中的基本公式 已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中的两点，M（x，y）是线段AB的中点，则 (1)=(x2-x1,y2-y1); (2)= (3)x=，y= 知识点3.坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题.这种解决问题的方法称为坐标法. 知识点4.直线的倾斜角 1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为， 3.范围：[0,π) 知识点5.直线的斜率 1.定义：一般的，如果直线l的倾斜角为，则当时，称k=tan为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率不存在. 2.公式：已知点、，是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为，当时，直线l的斜率不存在. 知识点6.直线的方向向量 1.定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合 ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a//l 2.性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线. ②如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则=(x2-x1,y2-y1)是直线l的一个方向向量. ③若为直线l的倾斜角，则（cos，sin）一定是直线l的一个方向向量. ④如果已知a=（u,v）为直线l的一个方向向量，则当u=0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u0时，直线l的斜率是存在的，直线l的斜率k=,即tan=. 知识点7.直线的法向量 一般的，如果表示非零向量的v的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l，一条直线的方向向量与法向量互相垂直. 知识点8.直线的方程 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，而且以方程 F（x，y）=0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x,y)=0为直线l的方程，而直线l称为方程 F（x，y）=0的直线.此时，"直线l"也可说成"直线F（x，y）=0"，并且记作l：F（x，y）=0. 一、.直线的点斜式方程 1.经过点P（xo，yo）且斜率为k的直线方程为y-yo=k（x-x0）称为直线的点斜式方程. 2.经过点P（xo，yo）且斜率为0的直线方程为y=y0,经过点P（xo，yo）且斜率不存在的直线方程为 x=xo . 二、直线的斜截式方程 1.一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为（a，0），则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为（0，b），则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线方程为y=kx+b，称为直线的斜截式方程. 2.直线y=kx＋b中k的几何意义是直线的斜率,b的几何意义是直线的截距（即直线在y轴上的截距）. 三、直线的两点式方程 经过两点,(--)的直线方程为，这种形式的直线方程称为直线的两点式方程. 四、直线的截距式方程 直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0，则直线方程可写为,这种形式的方程称为直线的截距式方程，注意这里要求直线在x轴y轴上的截距都存在且不为0. 五、直线的一般式方程 1.所有的直线方程都是关于x，y的二元一次方程,关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. 2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)称为直线的一般式方程. 3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，则方程可以化为y=-x-,它表示的是斜率为-且截距为-的直线；如果B=0，则由A,B不同时为0可知A≠0,从而方程可以化为x=-,它表示的是斜率不存在且过点（-，0）的直线. 4.向量v=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个法向量. 知识点9.两条直线的相交、平行与重合 1.若直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论：①l1与l2相交：;②l1与l2平行：且;③l1与l2重合：且 2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理. 因为v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，则： ①l1与l2相交（只有一个交点）的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1 ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2=A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数 A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2。 3. 直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件C1=C2 知识点10.两条直线的垂直 1. 一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2,（k1，k2存在且不为0）可得l1⊥l2，则=-1. 2. 设直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,因为v1=(A1,B1)是l1直线的一个法向量，v2=(A2,B2)是l2直线的一个法向量，所以l1⊥l2，则v1⊥v2，则A1A2+B1B2=0. 知识点11.两点间的距离 定义：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝ 知识点12.点到直线的距离 1.点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝ 2.点到特殊直线的距离公式 点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d＝|y0-a|,到y轴的距离d＝|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d＝|x0-b|. 知识点13.两条平行直线之间的距离 1.两条平行线之间的距离 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2.两条平行线之间的距离公式两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ 知识点14.圆的标准方程 一、圆的标准方程 1.圆的基本要素：圆心和半径 2.圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中C的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则点M在C上的充要条件是CM=r，即两边平方，得 +=，此式通常称为圆的标准方程． 二、由圆的标准方程判断点与圆位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 │MA│<r⇔点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 知识点15.圆的一般方程 1.当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为 r＝ . 2. 当D2＋E2－4F=0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点. 3.当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 注：由圆的一般方程判断点与圆位置关系 已知M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点在圆上 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0 点在圆内 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0 点在圆外 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0 判断二元二次方程Ax²＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆要" 两看"： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0； 二看它能否表示圆．此时判断D²＋E²- 4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数. 知识点16．直线与圆的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 图形 知识点17．圆的切线 (1)过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 知识点18.切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 注意：过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点19．圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. (2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点20.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为:外离、外切、相交、内切、内含。 一、圆与圆位置关系的判定 1.几何法 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与 r1，r2的 关系 d＞ r1＋r2 d＝ r1＋r2 |r1－r2| ＜d＜ r1＋r2 d＝ |r1－r2| (r1≠r2) 0≤d＜ |r1－r2| (r1≠r2) 2.代数法 通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 注意：涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 注意：1.圆与圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； 2.圆与圆相交，两圆有两个公共点； 3.圆与圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切. 二、 两圆的公切线 两圆的公切线是指与两圆都相切的直线，可分为外公切线和内公切线. 两圆的公切线有如图所示的五种情况： 位置关系 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 图示         公切线条数 4 3 2 1 0 1.外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； 2.外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； 3.相交时，有2条公切线，都是外公切线； 4.内切时，有1条公切线； 5.内含时，无公切线. 三、两圆相交时公共弦所在直线的方程： 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： 1.将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； 2.两圆圆心的连线垂直平分公共弦； 3.x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)． 知识点21．圆系方程 1.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； 2.过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)． 3.当λ=- 1时，变为（D1- D2）x+（E1- E2）+F1- F2=0表示过两圆的交点的直线（当两圆是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆圆心连线垂直的直线. 知识点22.曲线的方程与方程的曲线的定义 一、曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y）=0之间具有如下关系： 1.曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解; 2.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上. 则称曲线C为方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0为曲线C的方程. 二、两曲线的交点 己知两条曲线C1和C2的方程分别为F（x，y）=0，G（x，y）=0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到. 三、点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程. 四、求动点M轨迹方程的一般步骤 1. 设动点M的坐标为（x，y）（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； 2. 写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； 3.化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. 知识点23．椭圆的定义及方程 一、椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． (2)焦点：两个定点F1，F2. (3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|. (4)半焦距：焦距的一半． 二.椭圆标准方程的推导： 1.怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1. 2.椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点 是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数. 图1 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 3.遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有 三、椭圆的标准方程对比 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 知识点24.椭圆的几何性质汇总 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长＝，短轴长＝ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 离心率 e＝(0<e<1) 注：椭圆的离心率 1.定义：e＝. 2.离心率的范围为：(0,1). 2.公式拓展：e＝= 3.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆. 知识点25.双曲线的定义及方程 一、双曲线的定义 1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线. 2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 2. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 4. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 二、.双曲线的标准方程 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程Ax2+By2=C可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线。 当时，双曲线的焦点在x轴上； 当时，双曲线的焦点在y轴上。 三、椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据|MF1|+|MF2|=2a 根据|MF1|－|MF2|=±2a a＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 知识点26.双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 性质 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈ 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长： 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 注：一、等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝. 注意：对双曲线的简单几何性质的几点认识 1.双曲线的焦点决定双曲线的位置； 2.双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然． 3.巧设双曲线方程：与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 二、双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上） 三、离心率相关问题 1.定义：e＝ 2.范围：(1，＋∞) 3.拓展：①②③ 知识点27．抛物线的定义 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意：1.定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 2.抛物线的定义用集合语言表示为：P＝{M||MF|＝d}(d为M到直线l的距离)． 3.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)； 一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． 4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点28.抛物线的几何性质 类型 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 题型1直线的倾斜角与斜率 例题：（22-23高二上·全国·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23高二上·天津武清·阶段练习）若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 2．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 3．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 题型2直线的方程 例题：【多选】（23-24高二上·江苏淮安·期中）关于直线，以下结论正确的有（    ） A．时，直线在两坐标轴上的截距相等 B．直线必过第二象限 C．时，直线不过第四象限 D．时，直线过第二、三、四象限 巩固训练 1．【多选】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．直线m斜率为 B．直线m横截距为1 C．直线m纵截距为 D．点不在直线m上 2．【多选】（23-24高二上·浙江金华·期中）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 4．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 5．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 题型3直线的平行垂直问题 例题：（20-21高二上·四川泸州·期中）若直线与直线平行，则实数等于（     ） A． B． C．或 D． 巩固训练 1．（22-23高三下·云南曲靖·阶段练习）若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为 . 2．（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 3．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）过点，且与直线垂直的直线的方程（    ） A． B． C． D． 题型4两直线的交点问题 例题：（22-23高二上·安徽马鞍山·期中）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 巩固训练 1．（20-21高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·全国·课后作业）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（    ） A．20 B． C．12 D．4 3．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 4．（22-23高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 5．（23-24高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 题型5两点间的距离问题 例题：（20-21高一下·江苏盐城·阶段练习）已知三顶点为、、，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 巩固训练 1．（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 2．（23-24高二上·广东江门·期中）的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线方程； (2)AC边上的中线所在直线方程及中线的长度． 3．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型6点到直线的距离 例题：【多选】（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知、、，则（    ） A．直线的方程为 B．点到直线的距离为 C．为等腰直角三角形 D．的面积为 巩固训练 1．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是 D．过与直线平行的直线方程是 2．（23-24高二上·北京海淀·期中）点到直线的距离最大时，直线的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·山西太原·阶段练习）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 题型7两平行线间的距离 例题：（23-24高二上·天津南开·期中）已知直线与直线． (1)当m为何值时，与相交； (2)当m为何值时，与平行，并求与的距离； (3)当m为何值时，与垂直． 巩固训练 1．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 2．【多选】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 题型8直线的对称问题 例题：（2020高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 巩固训练 1．【多选】（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 2．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 3．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求： (1)入射光线与直线l的交点． (2)入射光线与反射光线所在直线的方程． 5．（20-21高二上·上海浦东新·阶段练习）已知直线与. （1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离； （2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程. 6．（23-24高二上·福建三明·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ． 题型9求圆的方程 例题：（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 巩固训练 1．（20-21高二上·山东泰安·阶段练习）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ． 2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型10点与圆的位置关系 例题：（23-24高二下·全国·随堂练习）对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 巩固训练 1．（23-24高二下·全国·课堂例题）若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为 . 2．（24-25高三上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型11直线与圆的位置关系 例题：（22-23高二上·宁夏银川·阶段练习）直线与圆的位置关系是 . 巩固训练 1．【多选】（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 题型12圆的切线问题 例题：（23-24高二上·天津武清·期末）已知圆C过两点，， 且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作圆C的切线，求切线方程. 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为 . 2．（2024·陕西西安·模拟预测）直线与曲线和圆都相切，则 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线的方程为 . 4．（23-24高二下·广西·阶段练习）已知点M在直线上，点P在圆上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 ． 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 题型13圆的弦长问题 例题：（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 巩固训练 1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 4．【多选】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 题型14圆与圆的位置关系 例题：（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 巩固训练 1．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型15圆的公共弦问题 例题：（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期中）已知圆与圆交于、两点. (1)求两圆公共弦所在直线的方程； (2)求公共弦的弦长. 题型16圆的公切线问题例题：（22-23高二上·四川内江·期中）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 1．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2016高一·全国·课后作业）圆的方程为，圆的圆心. (1)若圆与外切，求的方程，并求公切线方程； (2)若圆与圆交于，两点，且，求圆的方程. 3．（22-23高二上·广东云浮·期中）已知圆A的方程为，圆的方程为. (1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由. (2)求两圆的公切线长. 题型17圆的最值问题 例题：【多选】（23-24高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线，则（     ） A．直线过定点 B．动点的轨迹方程为 C．动点到直线的距离的最大值为 D．若点的坐标为，则的最小值为 巩固训练 1．【多选】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知，点到直线：的垂足为，，，则（    ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．的最大值为 D．的最小值为 2．【多选】（23-24高二上·福建福州·期中）已知点是圆C：上的点，则下列说法正确的是（    ） A．到直线的距离最大值为5 B．的最大值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 题型18圆锥曲线的标准方程 例题：（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 题型19圆锥曲线定义及应用 例题：【多选】（2024·山东济南·一模）已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 巩固训练 1．（23-24高二下·广西桂林·期中）已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（    ） A． B．20 C． D．16 2．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知抛物线C：的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（   ） A．7 B．5 C． D． 题型20圆锥曲线的离心率 例题：（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高二下·浙江·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与的一条渐近线平行，交的另一条渐近线于点，若，则的离心率为（    ）    A． B． C．2 D． 2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北邢台·期中）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型21直线与圆锥曲线的位置关系 例题：（21-22高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 巩固训练 1．（22-23高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．【多选】（22-23高三上·福建泉州·开学考试）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．的离心率为 C．的焦点到渐近线的距离为1 D．直线与只有一个交点 3．【多选】（23-24高二上·陕西·期中）过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 题型22圆锥曲线的弦长和中点弦问题 例题：【多选】（22-23高二上·湖北·期中）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标为、 B．椭圆的长轴长为 C．直线的方程为 D． 巩固训练 1．（23-24高三上·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 2．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(    ) A．3 B．6 C．8 D．12 3．【多选】（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）过椭圆的焦点，且垂直于长轴的弦长为，则（    ） A．椭圆方程为 B．椭圆方程 C．过焦点且长度为的弦有条 D．过焦点且长度为的弦只有一条 题型23圆锥曲线的面积问题 例题：（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知抛物线与直线交于两点，点在抛物线上，且为直角三角形，则面积的最小值为 ． 巩固训练 1．（23-24高二上·云南文山·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若为椭圆上的一点（不在轴上），则面积的最大值是（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 2．（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线，直线与交于A，两点，是射线上异于A，的动点，圆与圆分别是和的外接圆（为坐标原点），则圆与圆面积的比值为（   ） A．小于1 B．等于1 C．大于1 D．与点的位置有关 题型24圆锥曲线的轨迹问题 例题：（22-23高二·全国·单元测试）若点满足方程，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 巩固训练 1．（23-24高二上·北京东城·期中）曲线是平面直角坐标系内与两个定点和的距离之积等于4的点的轨迹，则（    ） ①曲线过原点； ②曲线关于原点对称； ③若点在曲线上，则的面积不大于2； ④曲线与曲线有且仅有两个交点． 其中正确命题的序号为（    ） A．①② B．②③④ C．③④ D．①②④ 2．（22-23高二下·上海崇明·期末）已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 题型25圆锥曲线的定点、定值问题 例题：（23-24高二下·福建厦门·期中）已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 巩固训练 1．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知为抛物线：的焦点，第一象限内的点在上，点的纵坐标等于横坐标的4倍，且. (1)求的方程； (2)若斜率存在的直线与交于异于的，两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为16，证明：过定点. 2．（23-24高三上·广东广州·期中）已知椭圆C：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 3．（22-23高二下·江西·期中）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，，过的直线交曲线于A，两点，交曲线于，交曲线于，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$