精品解析：四川省巴中市2025届高三上学期“零诊”考试数学试题

巴中市普通高中2022级“零诊”考试 数学试题 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置． 2．答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效、在试题卷上答题无效． 3．考试结束后，考生将答题卡交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 44 B. 56 C. 68 D. 84 5. 设函数；若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象与直线有两个交点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象关于对称，下列结论中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 若在上单调递增，则 D. 的图象与直线有三个交点 11. 已知A，B为双曲线的左，右顶点，分别为双曲线C的左，右焦点．下列命题中正确的是（ ） A. 若R为双曲线C上一点，且，则 B. 到双曲线C的渐近线的距离为 C. 若P为双曲线C上非顶点的任意一点，则直线 的斜率之积为2 D. 双曲线C上存在不同两点关于点对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是____________． 13. 正四棱台高为2，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____． 14. 已知向量满足，则的取值范围为____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数n． 16. 在直三棱柱中，在上，且． （1）证明：； （2）当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值． 17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 18. 已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为， ①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：； ②设线段的垂直平分线交 轴于点，若的面积为4，求直线的方程． 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求 的值； （2）当时恒成立，求实数 的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中市普通高中2022级“零诊”考试 数学试题 （满分150分 120分钟完卷） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置． 2．答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效、在试题卷上答题无效． 3．考试结束后，考生将答题卡交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算和模的计算公式求解即可. 【详解】， 故. 故选：C 2. 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是“lm且ln”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合,再根据交集定义求解． 【详解】，又， 所以， 故选：B． 4. 已知是等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 44 B. 56 C. 68 D. 84 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和性质：，，成等差数列可求. 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 5. 设函数；若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数图象，判断函数单调性，结合解一元二次不等式，即得答案. 【详解】作出函数的图象，如图： 可知函数在R上为单调递增函数， 故由可得，即， 解得 或， 即实数a的取值范围是, 故选：A 6. 有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选出1个志愿者参加两天的服务，再从剩下的3人中抽取2人参加服务，再结合古典概型计算概率即可. 【详解】不妨设4名志愿者分别假设连续参加两天的社区服务，剩下的3人中抽取2人参加服务，共有种方法， 所以恰好有1人连续参与两天服务的总数为：种. 总的情况数为种. 故恰有1人连续参加两天服务的概率为. 故选：B. 7. 已知函数的图象与直线有两个交点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由直线过定点和函数图像的对称性结合即可； 【详解】由题意可得直线恒过点，且无论取何值，直线与函数都有两个交点， 所以分析函数的对称中心为， 所以 ，， 所以， 故选：C. 8. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合题意可得，根据椭圆定义整理可得，根据向量关系可得∥，且，同理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：， 设， 因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 即，可得， 所以椭圆C的离心率. 故选：B. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法 求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列性质可求出m的值，判断A；根据期望和方差公式计算判断B；利用期望和方差性质可判断CD. 【详解】由离散型随机变量X的分布列性质可得，A正确； ， ，B正确； 由于，故，C错误，D正确； 故选：ABD 10. 已知函数的图象关于对称，下列结论中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 若在上单调递增，则 D. 的图象与直线有三个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】先函数对称性求解，得到的解析式.A项，化简可知为奇函数；B项，代入解析式求值即可；C项，利用整体角求的单调递增区间，由可得范围；D项，利用导数可知直线恰为曲线在处的切线，进而可得公共点个数. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，即，解得， 所以， 验证：当时，，取最大值， 故的图象关于直线对称，满足题意； A项，，，由， 则是奇函数，故A正确； B项，由，故B错误； C项，， 由，解得， 当时，， 由在上单调递增，则， 解得，故C正确； D项，的图象与直线均过点， 由，则， 故直线即与曲线相切， 如图可知的图象与直线有且仅有一个公共点，故D错误. 故选：AC. 11. 已知A，B为双曲线的左，右顶点，分别为双曲线C的左，右焦点．下列命题中正确的是（ ） A. 若R为双曲线C上一点，且，则 B. 到双曲线C的渐近线的距离为 C. 若P为双曲线C上非顶点的任意一点，则直线 的斜率之积为2 D. 双曲线C上存在不同两点关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的定义、渐近线、斜率、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于双曲线，， A选项，根据双曲线的定义，由， 解得或，所以A选项错误. B选项，双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ， 到直线 的距离为，所以B选项正确. C选项，设，则， ，所以，C选项正确. D选项，设不同两点关于点对称， 则， 则，两式相减并化简得， 则，即，此时直线， 代入双曲线方程得，， 这与是双曲线上不同的两点矛盾，所以D选项错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：求解双曲线定义有关问题，一定要注意双曲线定义中的“绝对值”.在双曲线中，有关弦和中点的问题，可以考虑利用“点差法”来解决. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得展开式的通项为，令，运算求解即可. 【详解】因为的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数是. 故答案为：. 13. 正四棱台高为2，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 【详解】如图所示，，， 为外接球球心，设外接球半径为R， ， 由勾股定理得：，， 设 ，则，， 故，解得：， 故， 故球的表面积为. 故答案为： 14. 已知向量满足，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】不妨设,，利用向量的几何意义和坐标运算，确定点的轨迹为椭圆，然后利用椭圆的性质求解. 【详解】设,，， 则则, 故点的轨迹是以 为焦点，为中心，长轴长 的椭圆， 故短半轴：， 则. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的首项，且满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数n． 【答案】（1） 由得， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件进行化简，结合等比数列的知识求得正确答案. （2）先求得，然后利用分组求和法、数列的单调性来求得正确答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 数列是单调递增数列， 当时，， 当时，， 所以满足条件的最大整数为. 16. 在直三棱柱中，在上，且． （1）证明：； （2）当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1） 因为三棱柱是直三棱柱，且，所以两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系： 设 ，则，，，，. 所以，. 因为, 所以.故. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证垂直. （2）先根据已知四棱锥的体积求的长，再利用空间向量求二面角的三角函数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为梯形的面积： ， ，所以. 所以，，所以. 设平面的法向量为， 则 ，取. 取平面的法向量为：， 设平面与平面所成的二面角为 ， 则，所以. 17. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）证明：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） 因为，由正弦定理得， 所以， 所以， 而，则或， 即或 （舍去），故． （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得，进一步即可证明； （2）由题意首先求得的取值范围，进一步将目标式子转换为只含有的式子即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以的取值范围是， 由正弦定理可得：，则， 所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． 18. 已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为， ①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：； ②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程． 【答案】（1） （2）①设直线的方程为，， 则的中点，由（1）可知，， 联立方程组，消去可得 ， 所以 ， ， 所以， 又，所以，所以； ② 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义知P点轨迹是抛物线，方程为标准方程，求出焦参数可得； （2）①设直线的方程为，，可求得，进而可得，，联立直线与抛物线方程可得 ，进而可得，可证结论； ②求得的中点 ，进而可得线段的垂直平分线方程为，进而可得，结合已知可得，可求直线的方程. 【小问1详解】 依题意可得圆心到定点的距离等于到定直线的距离相等， 所以的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 又到直线的距离为 ，所心抛物线的方程为 ； 【小问2详解】 ①略 ②由①可得，代入，可得中点的横坐标为， 所以 ，又线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为， 令，可得，所以， 所以， 所以， 又的面积为4，所以，所以， 解得，所以直线的方程为，即 . 19. 设函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）当时恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 由（2）知时， ，即 ，从而 ， 所以，又 ， 所以 ， 此不等式中分别令 得 ， ， ， ， 将这个不等式相加得. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）求出导函数 ，并设 ，求得 ，由于 ，因此根据 ， 以及 分类讨论 是否恒成 立，从而得参数范围； （3）由（2）不等式变形得，再用代后变形及放缩得 ，然后令 后相加可证． 【小问1详解】 ， 由题意曲线在点处的切线方程为， 则 ，解得； 【小问2详解】 ，， ，令 （），则 ， 当 ，即时， ， 即是上的增函数， 因此 ， 是增函数，所以 ，不合题意，舍去； 当 即时， ， 即是上的减函数， 所以 ， 所以是上的减函数，从而 恒成立， 当 即时， ， 时， ， 在单调递增， 时， ， 在单调递减， 又 ，所以 时， 恒成立，即恒成立， 此时在 上单调递增，因此 ，与题意不合，舍去， 综上． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于第（3）小题，关键是利用（2）中不等式变形及不等式的性质得出 ，然后分别令 后相加得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $