2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷

2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷 一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.若，且，则______. 2.______. 3.已知正实数a，b，c满足，则的最小值为______. 4.已知函数，当时，y有最大值5，则a的值为______. 5.已知中，BC上的一点D，，，则的最大值为______. 6.若点T为线段BC中点，，且，，，，则______. 7.如图，在中，G，E分别在AB，AC上，连结BE交AF于O，若，，G，O，C共线，的面积为11，则的面积为______. 8.已知整数x，y，z满足，则的最小值为______. 9.已知x，y，z是大于1的正整数，且为整数，则______. 10.已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若，，，则______. 二、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题8分 已知，矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的BP，AP分别交于D，C，的面积为 判断并证明直线CD与AB的关系. 求k的值. 若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点，求OM的最小值. 12.本小题8分 如图，在中，，D是垂心，O是外心，延长AD交BC于E，于 求证： 证明：B，O，D，C四点共圆. 若，求 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ，是方程的两个根， ， 故答案为 根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中x，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果． 本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到x，是方程的两个根，得到结果． 2.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 将改写为，改写为，…，再利用裂项相消法即可解决问题． 本题主要考查了数字变化的规律，能将改写为，改写为，…，及熟知裂项相消法是解题的关键． 3.【答案】18  【解析】解：构造图示的三个直角三角形， 即，，， 满足，，，，，， 则由勾股定理可知，即同理可得，， 所以可知当A，C，E，G四点共线时，最小， 即为AG长，当当A，C，E，G四点共线时， 在中 故答案为 本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，， 则由勾股定理可知，即同理可得，， 所以可知当A，C，E，G四点共线时，最小， 即为AG长， 本题主要考查二次根式最值问题，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键． 4.【答案】1或7  【解析】解：由题意，的对称轴是直线， 当时， 又当时，，当时，， ①当最大值为， 或不合题意； ②当最大值为， 或，均不合题意； ③当最大值为， 不合题意或 综上，或 故答案为：1或 依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解． 本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 5.【答案】  【解析】解：如图，以CD为边作等边三角形CDO，连接AO，过点O作于E， ， 设，则， ，， 点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动， 当AB与圆O相切时，有最大值， 此时：， 是等边三角形，， ， ， ， 又， ， ， 四边形AOEB是平行四边形， 又， 四边形AOEB是矩形， ， 故答案为： 由题意可得点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，则当AB与圆O相切时，有最大值，由“HL”可证，可得，可证四边形AOEB是矩形，可得，即可求解． 本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点A的运动轨迹是解题的关键． 6.【答案】3  【解析】解：如图，过T作延长DT交AB于 ， ， 为线段BC中点， ， 在和中， ， ≌， ， ， 面积， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 先画出图形，过T作延长DT交AB于由，得，再证明≌，得，，由面积，得，，， ，，，最后再计算即可． 本题考查了平行线的性质，利用中线倍长是解题关键． 7.【答案】30  【解析】解：梅涅劳斯定理：如图，， 证明：过A作交BC延长线于点M， 则，， ； 塞瓦定理：如图，， 证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出， 在中，COG是梅涅线，① 在中，BOE是梅涅线，② 根据梅涅劳斯定理，在中，COG是梅涅线， ， ，， ，， ， ， 根据塞瓦定理可得， ， ， 而， ， 故答案为： 根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出和，从而得出，再利用即可得解． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容，在初中竞赛、自招、强基等题目中，梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容． 8.【答案】118  【解析】解：， ， ，，， ， 即， 故答案为： 根据，得出，从而得出结论． 本题考查了因式分解的应用，关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质． 9.【答案】12  【解析】解：、y、z是大于1的正整数， 是分数， 为假分数， 为整数，且分子分母能互相约分， ， ①当，时，分子中定有7， 分母中有7才能进行约分， 当时， ，故符合题意， ， ②，时，分子中定有13， 分母中有13才能进行约分， 当时， 不是整数，故不符合题意， ③，时，分子中定有21， 分母中有21才能进行约分， 当时， 不是整数，故不符合题意， ………… 其余情况依次讨论均不符合题意 故答案为： 根据x、y、z的条件和三个分数的乘积为整数，得出x、y、z的值，进而求和． 本题考查了分式的混合运算，关键是根据已知条件分类讨论得到x、y、z的值． 10.【答案】  【解析】解：连接OA，OD，OC，作，设， 同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，， ， ， 是等边三角形， ，， ，CE是的切线， ，，， ， ， ， ， ， ∽， ， 同理可证：∽， 得出：， ， ，， ， 是直径， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， 连接OA，OD，OC，作，设，证是等边三角形，得出，证∽，∽，得出，得出CD是直径，再解直角三角形，求出m，即可． 本题考查切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 11.【答案】解：如图1， ，理由如下： 由题意得， ，， ，， ，， ， ， ， ∽， ， ； 如图2， 作于G， ， ， ， ， ，舍去， ； 如图2， 取点，， 则直线与直线AB关于O对称， 连接EO，并延长交于H，连接FH， 则， 是EF的中点， ， 当FH最小时，OM最小， 作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作， 则FH的最小值是的长， 直线AB的解析式为：， 设直线QR的解析式为：， 由整理得，， ， ，舍去， ， ， ，，， ， ， ，   【解析】可表示出，，从而得出，，进而表示出PD和PC，进而得出，进而证得∽，从而，从而得出； 作于G，可推出，进一步得出结果； 取点，，则直线与直线AB关于O对称，连接EO，并延长交于H，连接FH，则，可得出当FH最小时，OM最小，作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作，则FH的最小值是的长，可设直线QR的解析式为：，由整理得，，从而得出求得m的值，进一步得出结果． 本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程组之间的关系，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线． 12.【答案】解：根据题意，以O为圆心，OB为半径作圆O，延长BO交圆于点F，延长BD交AC于点M，连接OC，CD，AF，FC， 是直径， ，， 为垂心， ，，， ，， 是平行四边形， ， ，， ， ， 设半径为r，， ， 又， ； 为垂心， ，，， ， ， ， ，， 、C、D、O四点共圆； 设， ， ， 在直角中，，，， ，， ， 在直角中，， 即：， 在直角中，， 即：， ， ， 在中，， 即：， ， 或舍去，   【解析】由垂心，得到垂直关系，结合圆周角度数为，得到圆心角的度数，得到AFCD是平行四边形，从而得到结果； 先求出，再结合，，得到四点共圆； 设，用x表示出的各边，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果． 本题考查了圆的综合应用，涉及到直角三角形勾股定理的应用，圆周角、圆心角、平行四边形的性质的应用，关键是四点共圆的判断，因为共底边的两个三角形的底角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$