2024年印度尼西亚数学奥林匹克竞赛试题

第一天 题1.求以下方住组的所有正实数解(a,)。 Va+6=6 a-5+0-6=4 题2.对三元正些t血(a,b.d),其中a<b<c,如米存在三个非零垫tp,,r满足方化aPUe= 1,副称为玫令三元组。 例如，(2,3.12)是一个致命三元如，日为22.3.(12)1=1。 正整北N被称为致命的，如果存在一个致今三元组(a.b,c)满足N=a+b+c (@)证明16不是玫命的。 )证明所有大于16L不是6的垫数倍的些数都是致命的。 题3.三角形ABC以O为外心，H为垂心。 钱AH和B分别和O(ADC)再次扣交于点D和E. 设A和B'分别是三角利AHE和BHD的外心。 如果A,D',O,Ⅱ不共线，证明O过线段A'D的中点。 题4.甲乙两人在白板上按照以下规玩游戏：他们从板上两个不同的正整数开始。从甲 开始，每一步，每个玩家轮流改变板上的纸字，要么从P和Q变成2P-Q和2Q-P,要么 从P和Q变成5P-4Q和5Q-4P。如果玩家写下的数字不是正北，阴戏结来。该玩家枚室布 为价家，对手被宣布为赢家。阴戏开始时，板上的两个数宇是2024和A。如果已知甲在第一 步不会信，确定A的最大可能值，使得乙有必肚策略。 第二天 题5.身个整数都祉拾好以下三种桶色之一着色：红色、蓝色或橙色，并且使用了所有三种 极色：者色还调足以下仕眉： 1.一个红色段字和一个径色数字的和产生一个直色数宇， 2一个便色数字和一个直色数字的和产生一个径色数字： 且.一个压色量字和一个红色数字的和产生一个红色载字。 (a)江明0地1必须有不同的复色。 )确定所有可能的些数着色，这些春色也满足上还性质。 题6.值议44…A是一个至少有3条边的多边影，且对于每个，∠A≤180（换句话说. 多边形是凸的我边段少于n).对于年个1≤，假议是LAAA+1的最小可能值，其中瓶不 是也不是i+1。(这里.我们定义A1=A.)证明 01+0g+…+0m≤1809 并确定所有等号成立的情形。 题7.假议P）=+au--1+…+a1r+g,其中ag.a,,0u-是实数，对于n之1 (尖系北的次单项式多项式)。如果对于所有实数红，，不等式 3(P(r)+P)2P(x+ 成立，确定P(202)的且小可能值。 题8.设n22是一个正整数。值设a1,,,an是不同的处数，对于k=L,2,,n,令 s贴=∏-al, 数 即是所有形式为k一a的项的乘机，其中i∈L,2,nL十k,我到最大的正处数山， 使得对于任何选择的a,2,,0n,/都能整除，们，，n的最小公倍数。