2024年美国数学奥林匹克竞赛试题

2024年美国数学奥林匹克试题解析 2024年USAMO试题质量较高,有根好的训练价值,其中第1、4、5题难度 不大,适合作为联赛训练题;第6题有一定难度,适合作为冬令营的较难题:第 2、3题兼具思维难度和复杂度,很好地考察了学生的思维能力和处理细节的能力 可作为冬令营、甚至集训队级别的训练题,笔者水平有限,本文若有不当之处,敬 请批评指正. I. 试题 1. 求所有的整数n>3.使得若n!的所有因数为1-d.<d.<...<d=n 则d-d<d-d<.<d--1 2. 设S..S.....Soo是有限整数集.交集非空.已知对(S.S....Sae]的 任意非空子集7.T中集合的交集的元素个数是T中集合个数的倍数.求至少属 于50个集合的元素的个数的最小可能值 3. 设n是正整数,称多边形的一个三角剖分是n-平衡的,如果其三角形可以 染为m种颜色,使得每种颜色的三角形的面积之和相等,求所有的正整数n.使得 正n边形有一个m-平衡的三角剖分 4. 设m.n是正整数.一个圆形项链有mn颗珠子,每颗均是红色或蓝色.已 知无论如何将项链切成m段连续的n颗珠子,各段中红色珠子的个数均互不相 同.求有序数对(n.n)的所有可能值 5. 设D是锐角△ABC内一点.满足 DAC=ACB且zBDC=90*4 乙BAC.点E在射线BD上.满足AE一EC.设M是BC的中点.求证:AB与 △BEM的外接圆相切 1 6. 给定整数n2和le(1.2...n.称1.2..n的子集族A..A (允许相同)是1-大的,如果对任意1<i<k有)Al1.求最大的实数c.使得对 任意正整数i.任意非负实数r1....r.以及(1.2,n】的任意1-大的子集族 A.....A.均有 #4#()# II. 解答与评注 题1求所有的整数n3.使得若nl的所有因数为1-d<d<...< n期 d-d-d.-d- 解(谢一骏)所求n只能为3和4 一方面,当n-3时,31的所有正因数为1.2.3.6.且2-1<3-2<6-3.满 足条件。 当n=4时,4的所有正因数为1.2.3.4.6.8.12.24.且 $ -13-$4-3 6 -4$-66 1-8 24- -$$ 满足条件。 因此n-3.4满足条件 下证:当n5时,这样的n不满足条件 假设存在n>5.满足题设条件 设n!的全部正因数为1-d<d<..<d=nl.由1Ial2ln....n 知d=1.d-2...d.=n均为n!的因数 。{ 取Nqn.使得对任意re{1.2.q}均有d=r.但d1=+ (12. 这样的。必定存在,假设不存在这样的a.则对任意re(1.2.....nl).均有 d.=r.但由于nl-1与nl互质,且n!-1与nl均大于1.故必有nl-1n.即 n!-1不是n!的因数,矛盾! 注意到,若m是n!的因数,则是也是al的因数,因此。,,也是nl 的因数,_<是<,且它们在n!的因数从小到大的排序中排在相邻的三个 位置上。 下i证: (-)式等价于 ddd-d” d.d d.-·d. 0)-1) (-1)>+1 -ql-2->0 2+<ql 21 。 1. 事实上,由1→2n→5.知<、<.因此 故()成立,但由条件有 ###}# n _ 与(-)矛盾!故假设不成立. 因此只有n=3.n=4满足条件 口 评注本题主要的思路是从简单情形(n一3.4.5时)出发,进而对一般的n发 现规律,即()式 从“跨度”的角度来看,d,-d.-l→2.d-d-1-1. “跨度”出现“突变”时 容易发现问题,导出矛盾 题2设S.S...So是有限整数集,交集非空.已知对[S,S...,Soo] 的任意非空子集T.T中集合的交集的元素个数是T中集合个数的倍数,求至少 属于50个集合的元素的个数的最小可能值 解(林帅)所求为50C.下面给出证明 记100]=(1.2.100对/c1001z设 ()()# 下证:teZ.(1c100j.Iz).即证: 对100-171归纳 当100-1-0时[11-100→【-[100]→t命题成立 设$100-17-k-1时命题成立,100-$7-k时.(1<k<99).由归纳假设 知对27.-41.七乙有 ### # =+ # _a -=o(mod1). 故E乙。 由数学归纳法知命题成立. 设至少属于50个集合的元素的个数为N.则 行# ### =C17t 500. 当N-50C0。时的构造如下:令 t=1(1100].I.|50).t=100{-100].49). 完 a-l-e乙 _ 且$50时,ar=$1-100-=2-100.故可对/C[100 1&.取集合 A.使 Al=a.且对IJCl00.AnA=② 令$=U A(i-1.2..100).则对1C[100].I. o C=a i0 故这样的S.S.....So满足要求.且N-50C 综上,所求为50C0 口 评注 本题考查了关于集合包含关系的求和计算方式,利用条件的整除关系构 造出正整数t.并用t直接表示出N.从而完成本题 题3设m是正整数,称多边形的一个三角剖分是m一平衡的,如果其三角形 可以染为m种颜色,使得每种颜色的三角形的面积之和相等,求所有的正整数” 使得正n边形有一个m一平衡的三角剖分 解(陈谢)当n=1时,所有不小于3的正整数n均满足要求,下设m>2 一方面,正n边形的m-平衡三角剖分至少有n个三角形,即n-2>m.从 而n>n 5 设正n边形中心为O.项点按递时针依次排列为Ai.A...A.设-” 以O为原点建立复平面,不妨设A.A...A.在单位圆上.A三= 1.2....,n).对1<j<k<n. 一 SoA.= 为sin的代数整数倍,故对1<j<k<1n.存在1.52.E{-1.1.使 SA.AA.=tS△oAA.+S△oAA.+S△oAA 也为sin2的代数整数倍 又对于n一平衡的三角剖分,每种颜色的三角形面积和为 为sin的代数整数倍,从而为代数整数.又。.故是EZ,进而mn 另一方面.m>2时.我们说明n=ml(fEZ/>2)满足要求 将AAA-A.剖分为△AAA△AAA.△AA-A-.对1 (<m.将满足k三t(modm)的△AAA:染为第t色.下证: 2 n ### 6 由于 SaA.AA.." 只需证明: 一) 当1-2时。 ## 当1>3时.注意到!条直线AA+.(k=t(modm)围成一个边心距为 cos的正1边形. 不妨设这个正1边形的项点为平G=0. 1...1-1). 记x-A.e则 _ 又因为 = 即证. 综上.m=1时,所求的n为不小于3的正整数,m→2时,所求的n为m的 倍数,其中n>m. 评注本题通过考虑代数整数,避免对三角形面积进行计算量大且难以利用的 具体计算,是一道很有启发性的好题 题4设m.n是正整数,一个圆形项链有mn颗珠子,每颗均是红色或蓝色 己知无论如何将项链切成m段连续的n颗珠子,各段中红色珠子的个数均互不相 同,求有序数对(n.n)的所有可能值 解(杨劲愈)首先证明:m<n+1 对于任意一段的a颗珠子,其中的红珠数量只可能为0.1.....n中的某一个 7 数字,故对于m>n+2.由抽屉原理,m段的n颗珠子必有两段有相同的红色珠 子个数,矛盾!故n<n+1. 下面给出构造:用R表示红珠,B表示蓝珠,考虑如下项链 __-1 1-m题 1-1 ---BBBBBBR... BB--BRR.R---- 段 下验证该构造可行:记该项链排列为S(m.n).用B表示蓝珠.R表示红珠,用 2.表示从左至右的第;颗珠子(1<i<nn).如图所示 ---(B-B)(B--BBROB-BRBR)....(B.-BRR -B)---- n-n --2 n+1-m个B m-1个R 只需验证m=n+1的情况即可. 事实上,注意到当n<n+1时,删去z1.ra+1,z2r+l...rn-1)n+1.即删去m 个B.从而得到S(m.n-1).故若S(m.n-1)满足条件.此时只需给每一段添上 B.知S(m.n)也满足条件. 当m=n+1时,有n种分段方式,下面一一验证 分段方式1:从x:开始,各段R个数为0.1.2....n-3.n-2.n-1.n 分段方式2从x开始.各段R个数为0.1.2..n-3.n-2.n.n-1: 分段方式3从x开始,各段R个数为0.1.2....n-3.n-1.n.n-2 分段方式n:从x开始各段R个数为0.2.3...n-2.n-1n1. 故对1<kn.分段方式 k:0.1.2.n-k.n-k+2n-k+3.nn-k+1. 故S(n+1.n)时成立.完成验证 综上,所求的数对为所有满足m<n+1的有序正整数对(m.n) 口 评注 本题考查抽展原理,构造时应特别注意珠子颜色顺序,事实上,构造是 比较自然的,验证构造才是本题的难点 题5 设D是锐角△ABC内一点.满足 DAC=乙ACB且/BDC= 90*+乙BAC.点E在射线BD上.满足AE-EC.设M是BC的中点,求证 AB与△BE/的外接罔相切 证明(刘凯峰)设直线AB交(BDC)于另一点T.△ABC的外心为O.连 接OA、OB、OC、OE、OM、CT、DT、EM 8 由于 且 TAC= BAC= BOM.故△ATC△OBM 又OA=OC.EA=FC 从而 EO1AC.故 EOM= ACB 因为 BOE= BOM-乙 EOM= BAC- ACB.而 DAT= BAC- DAC= BAC- ACB 因此 DA7'=/BOE ① 又因为(OBC- OBD=/BTD.即 乙OBE=/ATD ② 由①②知,D.E在△ATC~△OBM中为相似对应点,那么乙EMB= DCT.又 ABD= DCT,进而 ABD- BME,即 ABE= BME 于是,直线AB切(BME)于B点.得证 □ 评注本题的难点在于如何利用题目中的角度关系,乙BDC=90+乙BAC意 味着乙BAC+(180*-BDC)-90”。从而想到取出AB与(BDC)的另一交点 为T.进而引出D.E之间的对应关系.其中,构造出点D是比较有技巧性的,类似 的手法普出现在2014年IMO的第3题 9 题6给定整数n2和l(1.2.n.称(1.2,n的子族A..A (允许相同)是l一大的,如果对任意1<i<k有lAl二1.求最大的实数c.使得对 任意正整数天任意非负实数1...n,以及(1.2..,n的任意l-大的子集 A...A.均有 ##A#)# 二__ 解(陈测)e的最大直为+-1 [1.1E A(1<isk.15tsn),则 一方面,记C= 10.tA. #(#)#分(#) 一_ #(2)#)(((一) #))# 故。一+_满足要求。 另一方面,取k=C.Ai.A.A.为(1.2..,n的全体1元子集,x;=1 (i-1.2...)则 ##A#(#). #&AlA