2025年中考数学高频考点专题练习——二次函数与特殊三角形问题

2025年中考数学高频考点专题练习 二次函数与特殊三角形问题 一、解答题 1．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝经过点A，且与y轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标； (3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图．抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标； (3)若点Q是对称轴上的点，且为直角三角形，求点Q的坐标． 4．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C． （1）求这条抛物线的表达式； （2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距； （3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标． 5．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A, B两点，交y轴于点C,抛物线的对称 轴交x轴于点D，直线BC经过B，C两点，已知A (-1， 0)，B (4，0) (1)求抛物线和直线BC的函数解析式； (2)点F是线段BC，上方抛物线上一个动点，过点F作x轴的垂线与直线BC相交于点E，交x轴于点M． ①当点F运动到什么位置时，线段FE有最大值，请求出线段FE的最大值及F点坐标; ②当点F运动到什么位置时，四边形CDBF有最大面积?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标； (3) 动点P为抛物线对称轴.上一个动点，当OPCD是以CD为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 6．抛物线W：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点P为x轴上一点，是否存在这样的点P，使得△BCP是以CP为腰的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴斜对称，其中一点叫做另一点关于x轴的斜对称点．如：点，关于x轴斜对称，在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)下列各点中，与点A关于x轴斜对称的点是________（只填序号）； ①，②，③，④． (2)若点A关于x轴的斜对称点B恰好落在直线上，的面积为3，求k的值； (3)抛物线上恰有两个点M、N与点A关于x轴斜对称，抛物线的顶点为D，且为等腰直角三角形，则b的值为________． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)设该抛物线的顶点为点H，求的面积； (3)若点M是线段上一动点，过点M的直线平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求长的最大值及点M的坐标； (4)在(3)的条件下：当取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．综合与探究 如图，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为（点在点的左侧），抛物线的顶点为点．抛物线的对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）点M是线段上一动点，连接并延长交轴交于点，当时，求点的坐标； （3）点是该抛物线上的一动点，设点的横坐标为，试判断是否存在这样的点，使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣x﹣2相交于A（﹣2，0），B（m，﹣6）两点，且抛物线经过点C （5，0）．点P是直线下方的抛物线上异于A、B的动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）连结PA、PB、BD，当S△ADBS△PAB时，求S△PAB； （3）是否存在点P，使得△PBE为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 11．综合与探究 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为　 ． （3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，二次函数的图像与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且的面积为6． (1)求A，B两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式； (3)如果点p在坐标轴上，且是等腰三角形，直接写出p点坐标． 13．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 14．已知抛物线l1：y＝ax2+bx+c的顶点为M（1，﹣4）．它与x轴交于点A、点B两点，其中点B的坐标为（3，0）． （1）求抛物线的表达式； （2）将抛物线l绕x轴上的一个动点旋转180°得新抛物线l′，点B和点M的对应点分别为点C和点N，当△BMN为直角三角形时，求新抛物线l′的表达式． 15．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$