精品解析：人教版2023-2024学年八年级数学下册期末模拟卷

2023-2024学年人教版八年级数学下册期末模拟卷 一、选择题 1. 下列式子没有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 五箱梨质量（单位：千克）分别为：18，20，21，18，19，则这五箱梨质量的中位数和众数分是（ ） A. 20和18 B. 20和19 C. 18和18 D. 19和18 4. 为了增强学生对新型冠状病毒的认识与防控能力，某学校组织了“抗击疫情，我们在行动”学生手抄报比赛活动．其中九年级五个班收集的作品数量（单位：幅）分别为：42，48，45，46，49，则这组数据的平均数是（ ） A. 44幅 B. 45幅 C. 46幅 D. 47幅 5. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 9，40，41 C. 2，3， D. ，2， 7. 如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（　　） A. AD=CF B. BF=CF C. AF=CD D. DE=EF 8. 如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交于点E，F，交于点O，连接．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（ ） A. 点O为的对称中心 B. 平分 C. D. 四边形为菱形 9. 如图，点是线段的中点，点在上．分别以为边，在同侧作正方形和正方形，连接和．设，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 一家电信公司提供两种手机月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式的通话费用y(元)与通话时间x(min)之间的函数关系如图所示．小红根据图象得出下列结论：①l1描述的是无月租费的收费方式；②l2描述的是有月租费的收费方式；③当每月的通话时间为500min时，选择有月租费的收费方式省钱．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. 当________时，代数式 有最小值． 12. 甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”) 13. 将函数y＝2x+1的图象向上平移2个单位，所得的函数图象的解析式为_____． 14. 一次函数的图象上有两点、，则与的大小关系是____． 15. 如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是____________． 16. 若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为_______________． 17. 如图，Rt△ABC中，四边形DBFE、GFIH都是正方形，已知AD＝1cm，DB＝3cm，则图中阴影部分面积为________cm2． 18. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为______________． 三、解答题 19. 化简和计算： （1）已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示． 化简： （2）已知直角三角形的两条直角边分别为 ，，求它的面积和周长 20. 如图，小亮将升旗的绳子拉到杆底端，绳子末刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面．请你求出杆的高度（滑轮上方的高度忽略不计，解题时请在图中标注字母） 21. 为切实做好校内“午餐托管”工作，某学校食堂为参加“午餐托管”的学生提供了四种价格的午餐供其选择四种价格分别是A：6元；B：7元；C：8元；D：10元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据给制成了如下两幅尚不完整的统计图．根据图中信息解决下列问题： （1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图； （2）被抽查学生购买午餐费用众数为__________元，中位数为____________元； （3）若该校参加“午餐托管”学生有2000人，请估计购买10元午餐的学生有多少人？ 22. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为的中点，延长至G，使，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由． 23. 电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法．若某户居民每月应交电费（元）与用电量（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题： （1）分别求出当和时，与的函数关系式； （2）若该用户某月用了度电，则应缴费多少元？ （3）若该用户某月缴费元时，则该用户该月用了多少度电？ 24. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E． （1）发现：如图1，连接CE，则△BCE的形状是_______________，∠CDB=____________°； （2）探索：如图2，点P为线段AC上一个动点，当点P在CD之间运动时，连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ，即△BPQ是等边三角形； 思路：在线段BD上截取点H，使DH=DP，得等边△DPH，由∠DPQ=∠HPB，PD=PH，∠QDP=∠BHP，易证△PDQ≌△PHB（ASA），得PQ=PB，即△BPQ是等边三角形． 试判断线段DQ、DP、AD之间的关系，并说明理由； （3）类比：如图3，当点P在AD之间运动时连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ． ①试判断△BPQ的形状，并说明理由； ②若AD=2，设AP=x，DQ=y，请直接写出y与x之间的函数关系式． 25. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A，B两点坐标； （2）求的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式； （3）求当t为何值时，并求此时M点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版八年级数学下册期末模拟卷 一、选择题 1. 下列式子没有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案． 【详解】解：A、被开方数是负数，该式子无意义，故本选项正确； B、被开方数是，该式子有意义，故本选项错误； C、，被开方数是正数，该式子有意义，故本选项错误； D、，被开方数是正数，该式子有意义，故本选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐一判定即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能进行加减，原选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 3. 五箱梨的质量（单位：千克）分别为：18，20，21，18，19，则这五箱梨质量的中位数和众数分是（ ） A. 20和18 B. 20和19 C. 18和18 D. 19和18 【答案】D 【解析】 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】解：从小到大排列此数据为：18、18、19、20、21，数据18出现了三次最多，所以18为众数；19处在第3位是中位数． ∴本题这组数据的中位数是19，众数是18． 故选：D． 【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 4. 为了增强学生对新型冠状病毒的认识与防控能力，某学校组织了“抗击疫情，我们在行动”学生手抄报比赛活动．其中九年级五个班收集的作品数量（单位：幅）分别为：42，48，45，46，49，则这组数据的平均数是（ ） A. 44幅 B. 45幅 C. 46幅 D. 47幅 【答案】C 【解析】 【分析】根据求平均数公式直接求解即可． 【详解】解：∵九年级五个班收集的作品数量（单位：幅）分别为：42，48，45，46，49， ∴这组数据的平均数是：(幅)， 故选：C 【点睛】本题考查了直接利用平均数公式来求平均数，熟练掌握公式是解题的关键． 5. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：A、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，故不合题意； B、，，则经过一、三、四象限，经过一、三象限，故不合题意； C、若，，则经过一、二、三象限，经过二、四象限，故符合题意； D、若，，则经过二、三、四象限，经过一、三象限，故不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 6. 在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 9，40，41 C. 2，3， D. ，2， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理判定三角形是否是直角三角形． 【详解】解：A、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； C、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、，根据勾股定理，不是直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（　　） A. AD=CF B. BF=CF C. AF=CD D. DE=EF 【答案】B 【解析】 【详解】∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠B=∠D，AB∥CD．∵BF∥CD，∴∠F=∠FCD，∠FAE=∠D．∵AE=ED，∴△AEF≌△DEC．∴AF=CD，EF=CE．∵∠FCD=∠D，∴CE=DE．∴DE=EF．故C、D都成立；∵∠B=∠D=∠F，则CF=BC=AD．故A成立．没有条件证明BF=CF． 8. 如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交于点E，F，交于点O，连接．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（ ） A. 点O为的对称中心 B. 平分 C. D. 四边形为菱形 【答案】B 【解析】 【分析】由作图知，是线段的垂直平分线，利用平行四边形的性质可判断选项A；根据菱形的判定定理可判断选项C；根据菱形的性质得到，可判断选项D；不一定平分，选项B不正确． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，即点O为的对称中心，故选项A正确，不符合题意； ∵四边形平行四边形， ∴，∴， ∵是线段的垂直平分线，∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故选项D正确，不符合题意； ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； 不一定平分，故选项B不正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 如图，点是线段的中点，点在上．分别以为边，在同侧作正方形和正方形，连接和．设，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得到，再根据题意得到的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴,， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴, 故选． 【点睛】本题考查了正方形性质，中点的定义，正方形的面积和三角形的面积，掌握正方形的性质是解题的关键． 10. 一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式的通话费用y(元)与通话时间x(min)之间的函数关系如图所示．小红根据图象得出下列结论：①l1描述的是无月租费的收费方式；②l2描述的是有月租费的收费方式；③当每月的通话时间为500min时，选择有月租费的收费方式省钱．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】解：①l1描述的是无月租费的收费方式，说法正确； ②l2描述的是有月租费的收费方式，说法正确； ③当每月的通话时间为500分钟时，选择有月租费的收费方式省钱，说法正确． 故选D． 【点睛】本题考查函数的图象，利用数形结合思想解题是关键． 二、填空题 11. 当________时，代数式 有最小值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的非负性，根据二次根式的非负性分析求解即可 【详解】解：， ∴， ∴当，，即时，代数式 有最小值为． 故答案为： 12. 甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”) 【答案】甲 【解析】 【详解】由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小， 则S2甲<S2乙，即两人的成绩更加稳定的是甲． 故答案为甲． 13. 将函数y＝2x+1的图象向上平移2个单位，所得的函数图象的解析式为_____． 【答案】y＝2x+3． 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移时“上加、下减”的原则进行解答即可． 【详解】由“上加下减”的原则可知， 将函数y＝2x+1的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为y＝2x+3． 故答案为y＝2x+3． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 14. 一次函数的图象上有两点、，则与的大小关系是____． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题意求出，的值，再比较其大小即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 【详解】解：点，在一次函数的图象上， ，． ， ． 故答案为：． 15. 如图，，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得出，然后根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：，正方形和正方形的面积分别是289和225， ， ， 以为直径的半圆的面积是， 故答案为： 16. 若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为_______________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了非负数和勾股定理的逆定理．熟练掌握平方的非负性，绝对值的非负性，算术平方根的非负性质．勾股定理的逆定理判定直角三角形，是解决问题的关键． 由平方，绝对值，算术平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形即可． 【详解】∵，且，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个三角形是直角三角形，边a是斜边． 故答案为：直角三角形． 17. 如图，Rt△ABC中，四边形DBFE、GFIH都正方形，已知AD＝1cm，DB＝3cm，则图中阴影部分面积为________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】连接BE，由，即可求解； 【详解】解：如图，连接, ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴正方形GFIH的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，应用等面积法进行求解是解题的关键． 18. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接 ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题 19. 化简和计算： （1）已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示． 化简： （2）已知直角三角形的两条直角边分别为 ，，求它的面积和周长 【答案】（1） （2）面积为，周长为 【解析】 【分析】本题主要考查了实数和数轴，直角三角形．解题关键是熟练掌握数轴上点表示的数性质，二次根式的性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积公式． （1）根据数轴判断a、b的大小性质，再由二次根式性质和绝对值性质化简； （2）根据两直角边计算三角形面积和斜边长，再计算周长． 【小问1详解】 解：由数轴知，，， ∴． ∴ ； 【小问2详解】 ∵直角三角形的两条直角边分别为 ，， ∴面积：， 斜边长：， ∴周长：． 故这个直角三角形的面积为，周长为． 20. 如图，小亮将升旗的绳子拉到杆底端，绳子末刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面．请你求出杆的高度（滑轮上方的高度忽略不计，解题时请在图中标注字母） 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于D，设旗杆高度为x米，则米，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于D， 设旗杆高度为x米， 由题意知，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 在中，， 即， 解得：； 答：旗杆高度为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定，作辅助线构造直角三角形是关键． 21. 为切实做好校内“午餐托管”工作，某学校食堂为参加“午餐托管”的学生提供了四种价格的午餐供其选择四种价格分别是A：6元；B：7元；C：8元；D：10元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据给制成了如下两幅尚不完整的统计图．根据图中信息解决下列问题： （1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图； （2）被抽查学生购买午餐费用的众数为__________元，中位数为____________元； （3）若该校参加“午餐托管”的学生有2000人，请估计购买10元午餐的学生有多少人？ 【答案】（1）50人，补全条形统计图见详解 （2）8，8 （3）280 【解析】 【分析】此题主要考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）根据6元的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，然后用总人数乘以7元的人数所占的百分比，求出7元的人数，从而补全统计图； （2）根据众数和中位数定义即可得出答案； （3）用该校的总人数乘以购买10元午餐的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：被抽查的学生人数有：（人， 7元的人数有：（人， 补全统计图如下： 【小问2详解】 出现了19次，出现的次数最多， 众数是8元； 共有50个数，中位数是低25、26个数的平均数， 中位数是：（元； 故答案为：8，8； 【小问3详解】 根据题意得： （人， 答：估计购买10元午餐的学生有280人． 22. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为的中点，延长至G，使，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）当与满足时，四边形是矩形 【解析】 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据是平行四边形得出，即可得，结合点分别为的中点，得出，即可证明； （2）当与满足时，四边形是矩形．根据是平行四边形得出，结合，得出，根据等腰三角形性质得出，即可得，，再根据是的中点，得出，故，根据，得出，得出，即可证明． 【小问1详解】 证明：平行四边形的对角线与相交于点， ， ， ∵点分别为的中点 ， ， 在和中 ， ； 【小问2详解】 解：当与满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵平行四边形的对角线与相交于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 23. 电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法．若某户居民每月应交电费（元）与用电量（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题： （1）分别求出当和时，与的函数关系式； （2）若该用户某月用了度电，则应缴费多少元？ （3）若该用户某月缴费元时，则该用户该月用了多少度电？ 【答案】（1）当时，；当时， （2）应缴费元 （3）该用户该月用了度电 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的应用，通过一次函数的图象获取有用的信息是解答本题的关键． （1）当时，设与的函数关系式是，把代入求解，得到与的函数关系式，当时，设与的函数关系式是，把，代入求解，即得答案； （2）当时，代入计算即得答案； （3）因为该用户某月缴费105元，所以该用户该月用电量超过100度，将代入计算即得答案， ． 【小问1详解】 当时， 设与的函数关系式是， 则有， 解得， 与的函数关系式是； 当时， 设与的函数关系式是， 则有， 解得， 与的函数关系式； 【小问2详解】 当时，（元）， 该用户某月用了度电，应缴费元； 【小问3详解】 该用户某月缴费元， 该用户该月用电量超过度， 将代入， 得， 解得， 该用户该月用了度电． 24. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E． （1）发现：如图1，连接CE，则△BCE的形状是_______________，∠CDB=____________°； （2）探索：如图2，点P为线段AC上一个动点，当点P在CD之间运动时，连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ，即△BPQ是等边三角形； 思路：在线段BD上截取点H，使DH=DP，得等边△DPH，由∠DPQ=∠HPB，PD=PH，∠QDP=∠BHP，易证△PDQ≌△PHB（ASA），得PQ=PB，即△BPQ等边三角形． 试判断线段DQ、DP、AD之间的关系，并说明理由； （3）类比：如图3，当点P在AD之间运动时连接BP，作∠BPQ=60°，PQ交射线DE于Q，连接BQ． ①试判断△BPQ的形状，并说明理由； ②若AD=2，设AP=x，DQ=y，请直接写出y与x之间的函数关系式． 【答案】（1）等边三角形，60； （2）AD=DQ+DP，见解析； （3）①△BPQ是等边三角形，见解析；② y=-x+4 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求得∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求得∠ABD=∠CBD=∠A=30°，则AD=BD，根据等腰三角形的性质证得AE=BE，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BE，根据等边三角形的判定即可得出结论； （2）根据思路和全等三角形的性质得出BH=DQ，结合AD=BD，BD=DH+BH即可解答； （3）延长BD至F，使DF=PD，连接PF，可证得△PDF是等边三角形，则有PF=PD，∠F=∠PDF=∠DPF=60°，进而可得∠F=∠PDQ=60°，证明∠BPF=∠QPD，利用ASA证明△PBF≌△PQD，得出PB=PQ，BF=DQ，结合∠BPQ=60°和AD=BD即可得出①②的结论． 【小问1详解】 解：如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°， ∴∠ABD=∠A，∠CDB=90°－∠CBD=60°， ∴AD=BD，又DE⊥AB， ∴AE=BE=AB，又∠ACB=90°， ∴CE=AB=BE，又∠ABC=60°， ∴△BCE是等边三角形， 故答案为：等边三角形，60； 【小问2详解】 解：AD=DQ+DP，理由为： 在线段BD上截取点H，使DH=DP，如图2， ∵∠CDB=60°， ∴△DPH为等边三角形， ∴DP=PH，∠DPH=∠DHP=60°，又∠BPQ=60°， ∴∠DPQ+∠QPH=∠HPB+∠QPH=60°，∠BHP=120°， ∴∠DPQ=∠HPB， ∵∠A=30°，DE⊥AB， ∴∠QDP=∠A+∠AED=30°+90°=120°， ∴∠QDP=∠BHP， 在△PDQ≌△PHB中， ∴△PDQ≌△PHB（ASA）， ∴DQ=BH，PQ=PB， ∵AD=BD，∠BPQ=60°， ∴△BPQ为等边三角形，AD=BD=BH+DH=DQ+DP， 即AD=DQ+DP； 【小问3详解】 解：①△BPQ为等边三角形，理由为： 延长BD至F，使DF=DP，连接PF，设DQ和BP相交于O，如图3， ∵∠PDF=∠CDB=60°， ∴△PDF为等边三角形， ∴PF=DP，∠F=∠PDF=∠DPF=60°， ∵∠A=30°，DE⊥AB， ∴∠PDQ=90°－∠A=60°， ∴∠F=∠PDQ=60°， ∵∠DPF+∠DPB =∠BPQ+∠DPB，又∠BPQ=60°， ∴∠BPF=∠QPD， 在△PBF和△PQD中， ， ∴△PBF≌△PQD（ASA）， ∴PB=PQ，BF=DQ，又∠BPQ=60°， ∴△BPQ为等边三角形； ②∵ DF=DP，BF=DQ，AD=BD， ∴DQ=BF=BD+DF=AD+DP， ∵AD=2， AP=x，DQ=y， ∴y=2+2－x，即y=－x+4． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系和运用，利用类比的方法解决问题是解答的关键． 25. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A，B两点的坐标； （2）求的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式； （3）求当t为何值时，并求此时M点的坐标． 【答案】（1）， （2）当时，；当时， （3）秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是． 【解析】 【分析】（1）由直线l的函数解析式，令y＝0求A点坐标，x＝0求B点坐标； （2）分情况求出OM，由面积公式S＝×OM×OC求出S与t之间的函数关系式； （3）若△COM≌△AOB，则OM＝OB，分情况求出AM，可算出t值，并得到M点坐标． 【小问1详解】 解：对于直线， 当时，；当时，， 则A，B两点的坐标分别为，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 当时，， ∴； 当t＝2时，无法组成三角形； 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：分为两种情况： ①当M在OA上时， ∵， ∴， ∴， ∴t＝2÷2＝1秒，； ②当M在AO的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴t＝6÷2＝3秒，； 即秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，三角形面积计算，全等三角形的性质等，正确分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$