四川省成都市武侯区西川实验学校2023-2024学年九年级（上）月考数学试卷（12月份）

2023-2024学年四川省成都市武侯区西川实验学校九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的俯视图是(    ) A. B. C. D. 2.下列函数中，y是x的反比例函数的是(    ) A. B. C. D. 3.若关于x的方程有一个根为则另一个根为(    ) A. B. 2 C. 4 D. 4.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是，，点D在x轴上，则顶点B的坐标是(    ) A. B. C. D. 6.如图，小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为(    ) A. B. C. D. 7.图1中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是(    ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 8.如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若，，则的周长为(    ) A. 10 B. C. D. 14 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.若，则______. 10.若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是______. 11.已知，两点都在反比例函数的图象上，且，则______填“>”“<”或“=” 12.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为______. 13.如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为______. 14.若a，b是方程的两个实数根，则的值为______. 15.如图，在线段AB上找到一个点C，且，满足AC：：AB，设，则线段______ 16.如图，平行于y轴的直尺部分与反比例函数的图象交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是______. 17.如图，矩形ABCD中，，，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于，若，连接CF，则CF的长为______. 18.旋转型相似可以帮助我们解决许多问题： 如图1，已知∽其中，，M为BC的中点，当时，若，则AE的最大值为______用含a的代数式表示； 如图2，在中，D是BC中点，，P在直线AC上，则的最大值是______. 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，轴，且点B的纵坐标为1，双曲线经过点 求a的值及双曲线的解析式； 经过点B的直线与双曲线的另一个交点为点C，且的面积为 ①求直线BC的解析式； ②过点B作轴交直线于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题12分 计算：； 解方程： 21.本小题8分 2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲并直播，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，生动演示了四个实验：太空“冰雪”实验；液桥演示实验；C，水油分离实验；太空抛物实验.某校九年级数学兴趣小组要了解“九年级学生对这四个实验中最感兴趣的是哪一个”，随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题： 请补全条形统计图； 扇形统计图中D所对应的圆心角的度数为______； 李老师计划从小明、小王、小刚三位学生中随机抽取两人参加学校的水油分离模拟实验，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中小王，小刚两人的概率. 22.本小题8分 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF：：3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得，边DF离地面的距离为，求树高 23.本小题10分 如图，在梯形ABCD中，，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且 求证：； 点G在底边BC上，，，联结AG，如果与的面积相等，求FC的长. 24.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，直线经过点， 求m和n的值； 将点B向上平移到x轴上，得到点C，将点A向下平移一个单位得到点D，记线段BC与AD组成的图形为 ①直接写出点C，D的坐标； ②若双曲线与图形G恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围. 25.本小题8分 最近，山东淄博凭借烧烤爆红网络，无数“撸串”爱好者纷纷涌入淄博，甲、乙两个旅行团计划自驾游淄博.两个旅行团计划同一天出发，沿着不同的路线旅行至相同目的地.甲旅行团走A路线，全程1600千米，乙旅行团走B路线，全程2000千米，由于B路线高速公路较多，乙旅行团平均每天行驶路程是甲旅行团的倍，结果甲旅行团旅行天数比乙旅行团多1天. 求甲、乙两个旅行团计划旅行多少天. 甲、乙两旅行团开始各有20人参团，甲旅行团计划每人每天的平均花费为500元，而甲旅行团实际又加入了a人，经统计，甲旅行团每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙旅行团人数不变，每人每天的平均花费始终为400元.若两个旅行团旅行天数与各自原计划天数一致，且甲旅行团的总花费比乙旅行团总花费多16000元，求a的值. 26.本小题12分 如图，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点C、D作，，垂足分别为点E、 求证：； 连接CF，如果，求的值； 连接AF，如果，求n的值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：这个“堑堵”的俯视图如下： 故选： 找到从几何体的上面看所得到的图形即可． 本题考查了简单组合体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 2.【答案】D  【解析】解：A、该函数不是反比例函数，故本选项不合题意； B、该函数是正比例函数，故本选项不合题意； C、该函数是正比例函数，故本选项不合题意； D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意． 故选： 根据反比例函数的定义回答即可． 本题考查了反比例函数的定义，关键是注意反比例函数的一般形式是 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系．解决本题亦可把一个根代入，求出m，解关于x的方程，得另一个根． 先设出方程的另一个根，根据两根的积与系数的关系，得方程求解即可． 【解答】 解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系， ， 故选： 4.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD∽四边形EFGH， ， ，， 故选： 直接利用相似多边形的性质得出，再利用四边形内角和定理得出答案． 此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角度数是解题关键． 5.【答案】C  【解析】解：连接AC，BD，交于点E， 四边形ABCD是菱形， ，，， ，C的坐标分别是，， ， 故选： 连接AC，BD，交于点E，根据菱形的性质可知点E的坐标为，根据E的坐标确定B的坐标即可． 本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用．菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 6.【答案】A  【解析】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积为 故选： 用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 7.【答案】A  【解析】解：如图所示：两个三角形的位似中心是：点 故选： 直接利用位似图形的性质进而连接对应点得出位似中心即可． 此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 8.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是矩形，，， ，， 点O是AC的中点，E为AD的中点， ，， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得， 四边形ABCD是矩形， ， 点O是AC的中点， 周长为 故选： 易知OE是中位线，则，在中，利用勾股定理求得BE的长，在中，利用勾股定理求得AC的长，根据矩形性质可求BO，从而求出周长． 本题考查了矩形的性质以及中位线定理，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 9.【答案】  【解析】解：， ， 故答案为： 先根据内项之积等于外项之积得到，然后根据分比性质求解． 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键． 10.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得 故答案为： 根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根． 11.【答案】<  【解析】解：反比例函数中，， 反比例函数的图象在第二、四象限． ， 在第二象限，在第四象限． ， 故答案为： 根据反比例函数的图象在第二、四象限，利用，即可求得，的关系． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，利用双曲线所在的象限确定函数值的符号是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是正方形， ，， ， 由平移变换的性质可知， ， 故答案为： 利用正方形的性质以及勾股定理求出BD，求出小正方形的对角线的长即可． 本题考查利用平移设计图案，正方形的性质，勾股定理，平移变换等知识，解题关键是掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 13.【答案】10  【解析】解：由题意得：， ， ， ， ， ， 故答案为： 根据题意得BE平分，再根据平行线的性质求解． 本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键． 14.【答案】4  【解析】解：，b是方程的两个实数根， ，， 故答案为： 利用根与系数的关系，可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：设， ：：AB， ：：1， ， 故答案为： 根据图示得出AC的长即可． 此题考查比例线段，关键是根据比例线段得出方程解答． 16.【答案】  【解析】解：直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且， 则B的坐标为，则D的坐标为 ， ， 又， ， ， ， 的坐标为 故答案为： 根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，，即可求得A的坐标，C的坐标，关键是根据面积列出关于m的方程，求出m，即可求得C的坐标． 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积． 17.【答案】或  【解析】解：当点E在BC上时，如图，作于M， ， ， ，， ≌， ，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，， ，， 在中，， 当点E在CD上时，作于H，于M， 同理可得，≌， ，， ，， ， ， ， 在中，， 故答案为：或 分点E在BC上或在CD上，如图，作于M，利用AAS证明≌，得，，再利用勾股定理解决问题． 本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． 18.【答案】  2  【解析】解：如图1，连接AE，过点E作，交AB的延长线于F， 则， ， ， ， ， 四边形BDEF是矩形， ， 在中，， ， 在中，； 故答案为：； 点P在直线AC上， 当点P与点C重合时，为最大值， 故答案为： 根据相似直角三角形的性质，即可求出AE与BE的关系，则可求出AE的最大值； 根据点P在直线AC上运动，可得：当点P与点C重合时，取得最大值． 本题考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理等，难度较小，是一道基础题． 19.【答案】解：点在直线上， ，解得， 则， 轴，且点B的纵坐标为1， 点B的坐标为 双曲线经过点， ， 反比例函数的解析式为； ①设， ，， ， 解得， 点C的坐标为， 设直线BC的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线BC的解析式为； ②当时，，解得，则， 直线为直线向下平移1个单位得到， 直线BC与x轴的夹角为， 而轴， ， 当为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形， 若，则点P在BD的垂直平分线上，P点的横坐标为，当时，，此时， 若，则轴，P点的横坐标为，当时，，此时， 综上所述，满足条件的P点坐标为或  【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和正方形的判定方法． 根据一次函数图象上点的坐标特征可得到，解得，则，再确定点B的坐标为，然后把B点坐标代入中求出m的值即可得到反比例函数的解析式； ①设，根据三角形面积公式得到，解得，则点C的坐标为，再利用待定系数法求直线BC的解析式； ②先确定，根据直线BC解析式的特征可得直线BC与x轴的夹角为，而轴，于是得到，根据正方形的判定方法，只有为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：若，则点P在BD的垂直平分线上，易得此时；若，利用轴，易得此时 20.【答案】解：原式 ； ， ， ， 或， ，  【解析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项计算乘方，即可得到结果； 方程利用因式分解法即可求出解． 此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及实数的运算，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 21.【答案】  【解析】解：被调查的总人数为人， 实验人数为人， 补全图形如下： 扇形统计图中D所对应的圆心角的度数为， 故答案为：； 将小明、小王、小刚三位学生分别记作A、B、C，列表如下： A B C A B C 由表知，共有6种等可能结果，其中恰好抽中小王，小刚两人的有2种结果， 恰好抽中小王，小刚两人的概率为 先求出被调查的总人数，再求出B实验人数，从而补全图形； 用乘以D对应人数所占比例即可； 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 22.【答案】解：，， ∽， ， ， ， 答：树高  【解析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似，求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 23.【答案】证明：， ：：AC， ， ， ∽， ， ； 根据题意可得，， ， ∽， ， 和面积相等， ， 解得  【解析】根据题意可证明，∽，所以，则； 根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论． 本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题关键． 24.【答案】解：直线经过点， ， 解得：， 直线经过点， ， 解得：； ①点C的坐标为，点D的坐标为； ②当双曲线经过点A时，， 当双曲线经过点D时，， 当双曲线经过点B时，， 当或时，双曲线与图形G恰有一个公共点．  【解析】把点B的坐标代入一次函数解析式，求出m，进而求出n； ①根据平移的性质、点的坐标解答； ②分别求出经过点A、B、D的双曲线的解析式，根据题意判断即可． 本题考查的是反比例函数和一次函数，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 25.【答案】解：设乙旅行团计划旅行x天，则甲旅行团计划旅行天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：甲旅行团计划旅行4天，乙旅行团计划旅行3天； 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：a的值为  【解析】设乙旅行团计划旅行x天，则甲旅行团计划旅行天，利用平均每天行驶路程=总路程旅行时间，结合乙旅行团平均每天行驶路程是甲旅行团的倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙旅行团计划旅行的时间，再将其代入中，即可求出甲旅行团计划旅行的时间； 根据甲旅行团的总花费比乙旅行团总花费多16000元，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26.【答案】证明：如图1， 作于G， ， ， ， 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ≌， ， ，，， ， 四边形EFDG是矩形， ， ； 解：如图2， 设，设，， 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由得：， 也是等腰直角三角形， ， ， ， 同理可证：， ， ； 解：如图3，连接AF，CF， 四边形ABCD是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点A、B、C、F共圆， ， ， ， ，， ， 即：， ， ， 由得：是等腰直角三角形， ， ， 是PD的垂直平分线， ，   【解析】作于G，证明≌，进一步命题得证； 设，设，，通过角的运算推出，进而计算出EG，CG，EF，DG，进一步求得结果； 连接AF，CF，证得，再证得AF平分，进一步求得结果． 本题考查了正方形性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是通过角的转化，发现特殊角． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$