第二章 平面解析几何之抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系（考点串讲）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

串讲06 抛物线、 直线与圆锥曲线的位置关系 选择性必修第一册 人教B版(2019) 数学 期中考点大串讲 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.抛物线的定义 相等 定点F 定直线l 考点2.抛物线的标准方程 y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 考点3.抛物线的几何性质 y≥0 y≤0 x轴 y轴 O(0，0) e＝1 考点4.直线与圆锥曲线的位置关系 相交 相切 相离 相切 充要 考点5.直线与圆锥曲线的位置关系的判定 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 考点6.弦及弦长的概念 、弦长公式 以这两个公共点为端点的线段 线段的长 线段 02 典例透析 考点1.　抛物线的定义及其应用　 考点2.求抛物线的标准方程 考点2.求抛物线的标准方程 考点2.求抛物线的标准方程 考点3.利用抛物线的定义求轨迹方程　 考点3.利用抛物线的定义求轨迹方程　 考点4.抛物线的简单几何性质 考点5.由抛物线的几何性质求标准方程　 考点6.直线与圆锥曲线的公共点问题 考点7.直线与圆锥曲线相切问题　 考点8.弦长、焦点弦问题 考点8.弦长、焦点弦问题 考点8.弦长、焦点弦问题 考点9.中点弦问题 考点9.中点弦问题 考点9.中点弦问题 考点9.中点弦问题 03 考场练兵 5 3 知识点 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离eq \x(\s\up1(01))_______________的点的轨迹称为抛物线，其中eq \x(\s\up1(02))__________称为抛物线的焦点，eq \x(\s\up1(03))_______________称为抛物线的准线． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) x＝eq \f(p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) y＝－eq \f(p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 知识点　 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 eq \x(\s\up1(01))________________ eq \x(\s\up1(02))____________ eq \x(\s\up1(03))___________ eq \x(\s\up1(04))________________ eq \x(\s\up1(05))____________ eq \x(\s\up1(06))___________ eq \x(\s\up1(07))________________ eq \x(\s\up1(08))____________ eq \x(\s\up1(09))___________ eq \x(\s\up1(10))________________ eq \x(\s\up1(11))____________ eq \x(\s\up1(12))___________ y＝eq \f(p,2) y2＝2px(p>0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) x＝－eq \f(p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2) 知识点　 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形　　　　 性质 焦点 eq \x(\s\up1(01))____________ eq \x(\s\up1(02))___________ eq \x(\s\up1(03))__________ eq \x(\s\up1(04))____________ 准线 eq \x(\s\up1(05))____________ eq \x(\s\up1(06))___________ eq \x(\s\up1(07))__________ eq \x(\s\up1(08))____________ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R eq \x(\s\up1(09))_______，x∈R eq \x(\s\up1(10))________，x∈R 对称轴 eq \x(\s\up1(11))____________ eq \x(\s\up1(12))____________ 顶点 eq \x(\s\up1(13))____________ 离心率 eq \x(\s\up1(14))____________ 开口方向 向右 向左 向上 向下 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) 知识点 1．直线与椭圆的位置关系 当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆eq \x(\s\up1(01))________；当直线与椭圆有且只有一个公共点时，称直线与椭圆eq \x(\s\up1(02))________；当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆eq \x(\s\up1(03))________． 2．直线与圆锥曲线相切 一般地，给定直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实数解(即有两个相等的实数解)，则称直线与圆锥曲线eq \x(\s\up1(04))________． 直线与椭圆只有一个公共点是直线与该椭圆相切的eq \x(\s\up1(05))________条件． 知识点二 联立直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)的方程并消去一个未知数后，得到ax2＋bx＋c＝0． (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则eq \x(\s\up1(01))_______ ⇔直线与圆锥曲线C相交；eq \x(\s\up1(02))_______⇔直线与圆锥曲线C相切；eq \x(\s\up1(03))_______⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点．此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 知识点 一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则eq \x(\s\up1(01))_________________________称为圆锥曲线的一条弦，eq \x(\s\up1(02))_______________就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的eq \x(\s\up1(03))_______________． 知识点 设斜率为k的直线l与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \x(\s\up1(01))______________________________________或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \x(\s\up1(02)) ______________________________ (k≠0) eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2) (（x－1）2＋（y－2）2)【例题1】若点P(x，y)满足方程＝eq \f(|3x＋4y＋12|,5)，则点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析　等式左侧表示点P(x，y)与点(1，2)间的距离，等式右侧表示点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离，整个等式表示点P(x，y)到点(1，2)的距离和到直线3x＋4y＋12＝0的距离相等，且点(1，2)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D． 　 【例题2】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2，0)； (2)准线方程为y＝－1； (3)焦点到准线的距离是4； (4)过点(1，2)． 解　(1)∵焦点在x轴的负半轴上，且eq \f(p,2)＝2，∴p＝4， ∴抛物线的标准方程为y2＝－8x． (2)∵焦点在y轴的正半轴上，且eq \f(p,2)＝1， ∴p＝2， ∴抛物线的标准方程为x2＝4y． (3)由题意可得p＝4，抛物线的标准方程为y2＝8x或y2＝－8x或x2＝8y或x2＝－8y． (4)解法一：点(1，2)在第一象限，要分两种情形： 当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝2p1x(p1>0)，则22＝2p1·1，解得p1＝2，抛物线的标准方程为y2＝4x； 当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝2p2y(p2>0)，则12＝2p2·2，解得p2＝eq \f(1,4)，抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,2)y． 解法二：设抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点(1，2)代入，得m＝4，n＝eq \f(1,2)． 故抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝eq \f(1,2)y． 【例题3】　已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P与圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程． 解　解法一：设点P的坐标为(x，y)，圆P的半径为r，由题意知|AP|＝r＋1， 即eq \r(（x＋2）2＋y2)＝|x－1|＋1， 化简，整理得y2＝－8x，y2＝－4x－4(舍去)． ∴动圆的圆心P的轨迹方程为y2＝－8x． 解法二：设圆P的半径为r，如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q， 则|KQ|＝1，∴|PQ|＝r＋1， 又|AP|＝r＋1，∴|AP|＝|PQ|， 故点P到圆心A(－2，0)的距离与到定直线x＝2的距离相等， ∴点P的轨迹是以A(－2，0)为焦点，直线x＝2为准线的抛物线．∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4， ∴动圆的圆心P的轨迹方程为y2＝－8x． 　 【例题4】(多选)下列说法中正确的是(　　) A．抛物线关于顶点对称 B．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心 C．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同 D．抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的 (x2,4)【例题5】抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋eq \f(y2,9)＝1的短轴所在的直线，抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，求抛物线的标准方程及准线方程． 解　因为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1的短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 因为抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，所以eq \f(p,2)＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝－16x，准线方程分别为x＝－4或x＝4． 解　联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,2x2＋3y2＝6，)) 得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0， 因为Δ＝24(3k2－2)， 当Δ>0，即k>eq \f(\r(6),3)或k<－eq \f(\r(6),3)时，直线与椭圆有两个公共点； 当Δ＝0，即k＝±eq \f(\r(6),3)时，直线与椭圆只有一个公共点； 当Δ<0，即－eq \f(\r(6),3)<k<eq \f(\r(6),3)时，直线与椭圆没有公共点． 　 【例题6】　当k为何值时，直线y＝kx＋2与椭圆2x2＋3y2＝6有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ 　 (1,4)【例题7】(2024·九江一中高二月考)抛物线y＝x2过点(0，－2)的切线方程为(　　) A．x＝0 B．y＝±2x－2 C．y＝±x－2 D．y＝±eq \r(2)x－2 解析　由于x＝0不为y＝eq \f(1,4)x2的切线，故切线斜率存在．不妨设切线的斜率为k，故切线的方程为y＝kx－2，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,4)x2，,y＝kx－2，))得eq \f(1,4)x2－kx＋2＝0，故Δ＝k2－2＝0，解得k＝±eq \r(2)，故切线方程为y＝±eq \r(2)x－2．故选D． 　　 　 (x2,5)【例题8】已知斜率为2的直线经过椭圆＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则弦AB的长为________． 解析　因为直线l过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F1(1，0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0． 解法一：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,2x－y－2＝0，))得交点A(0，－2)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(4,3)))，所以|AB|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(5,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(4,3)))\s\up12(2))＝eq \r(\f(125,9))＝eq \f(5\r(5),3)． eq \f(5\r(5),3) 解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,2x－y－2＝0，)) 消去y得3x2－5x＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0，则x1＋x2＝eq \f(5,3)，x1x2＝0． 所以|AB|＝2,AB)eq \r(（1＋k）[（x1＋x2）2－4x1x2]) ＝eq \r(（1＋22）\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))\s\up12(2)－4×0)))＝eq \f(5\r(5),3)． 解法三：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，,2x－y－2＝0，))消去x得3y2＋2y－8＝0，因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0，则y1＋y2＝－eq \f(2,3)，y1y2＝－eq \f(8,3)， 所以|AB|＝2,AB)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k)))[（y1＋y2）2－4y1y2]) ＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3))))))＝eq \f(5\r(5),3)． 　　 (x2,16)【例题9】已知椭圆＋eq \f(y2,4)＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程． 解　解法一：(根与系数的关系法) 由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)． 将其代入椭圆的方程并整理， 得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两根，于是x1＋x2＝eq \f(8（2k2－k）,4k2＋1)． 又M为线段AB的中点， ∴eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(4（2k2－k）,4k2＋1)＝2，解得k＝－eq \f(1,2)． 故所求直线AB的方程为x＋2y－4＝0． 解法二：(点差法) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2． ∵M(2，1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2． 又A，B两点在椭圆上， 则xeq \o\al(2,1)＋4yeq \o\al(2,1)＝16，xeq \o\al(2,2)＋4yeq \o\al(2,2)＝16， 两式相减，得(xeq \o\al(2,1)－xeq \o\al(2,2))＋4(yeq \o\al(2,1)－yeq \o\al(2,2))＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0． ∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2,4（y1＋y2）)＝－eq \f(4,4×2)＝－eq \f(1,2)， 即kAB＝－eq \f(1,2)． 故所求直线AB的方程为x＋2y－4＝0． 解法三：[对称点法(或共线法)] 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)， 由于点M(2，1)为线段AB的中点， 则另一个交点为B(4－x，2－y)． ∵A，B两点都在椭圆上， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝16，　　　　　　　　　　①,（4－x）2＋4（2－y）2＝16.　　　　　②)) ①－②，整理得x＋2y－4＝0． 即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条， 故所求直线AB的方程为x＋2y－4＝0． 1．(2024·鞍山一中高二期中)抛物线y＝2x2的准线方程是(　　) A．x＝eq \f(1,8) B．x＝－eq \f(1,8) C．y＝eq \f(1,8) D．y＝－eq \f(1,8) 解析　因为y＝2x2可化为x2＝eq \f(1,2)y，所以准线方程为y＝－eq \f(1,8)．故选D． 2．(2024·北京顺义牛栏山一中高二期中)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6，则p＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 解析　记抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，作MN⊥l，垂足为N，由抛物线定义可知，|MN|＝|MF|，则3＋eq \f(p,2)＝6，解得p＝6．故选C． 3．已知点F是抛物线y＝eq \f(1,16)x2的焦点，点P是该抛物线上的动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是(　　) A．x2＝8y－16 B．x2＝2y－eq \f(1,16) C．x2＝y－eq \f(1,2) D．x2＝2y－2 解析　抛物线的方程可化为x2＝16y，焦点F(0，4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线的方程，得(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16．故选A． 4.(2024·菏泽高二期中)抛物线y＝eq \f(4,3)x2的焦点坐标为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0)) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,16))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,16)，0)) 解析　抛物线方程为x2＝eq \f(3,4)y，故焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,16)))．故选C． 5．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是(　　) A．(－m，－n) B．(m，－n) C．(－m，n) D．(－n，－m) 解析　由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上． 6．抛物线x＝8y2的通径长为(　　) A．8 B．4 C．eq \f(1,8) D．eq \f(1,4) 解析　抛物线x＝8y2，即y2＝eq \f(1,8)x，可得2p＝eq \f(1,8)，因此通径长为eq \f(1,8)．故选C． 7．(2024·北京东城汇文中学高二期中)直线l过抛物线y2＝2x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝3，则弦AB的长是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　抛物线y2＝2x的准线方程为x＝－eq \f(1,2)，因为直线l过抛物线y2＝2x的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋eq \f(1,2)＋x2＋eq \f(1,2)＝x1＋x2＋1＝3＋1＝4．故选C． 8．(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(　　) A．eq \f(2,3) B．eq \f(\r(2),3) C．－eq \f(\r(2),3) D．－eq \f(2,3) 解析　将直线与椭圆的方程联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0．因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2<m<2．设F1到AB的距离为d1，F2到AB的距离为d2，易知F1(－eq \r(2)，0)，F2(eq \r(2)，0)，则d1＝eq \f(|－\r(2)＋m|,\r(2))，d2＝eq \f(|\r(2)＋m|,\r(2))，eq \f(S△F1AB,S△F2AB)＝eq \f(\f(|－\r(2)＋m|,\r(2)),\f(|\r(2)＋m|,\r(2)))＝eq \f(|－\r(2)＋m|,|\r(2)＋m|)＝2，解得m＝－eq \f(\r(2),3)或m＝－3eq \r(2)(舍去)．故选C． 9．(2024·哈尔滨第三十二中高二期中)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝－4y D．x2＝－8y 解析　由题意，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，准线方程为y＝eq \f(p,2)，由抛物线的定义知，eq \f(p,2)－(－3)＝4，解得p＝2，故抛物线的方程为x2＝－4y．故选C． 10．(2024·洛阳洛宁县第一高级中学高二月考)图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB＝6，深度MO＝2，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若P是该抛物线上一点，点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，2))，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，因为AB＝6，MO＝2，所以点A(2，3)在抛物线上，所以9＝4p，故p＝eq \f(9,4)，所以抛物线的方程为y2＝eq \f(9,2)x，所以抛物线的焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，0))，准线方程为x＝－eq \f(9,8)，在方程y2＝eq \f(9,2)x中取x＝eq \f(15,8)可得y2＝eq \f(135,16)>4，所以点Q在抛物线内，过点P作PP′与准线垂直，P′为垂足，过点Q作QQ′与准线垂直，Q′为垂足，则|PF|＝|PP′|，所以|PF|＋|PQ|＝|PP′|＋|PQ|≥|QQ′|＝eq \f(15,8)＋eq \f(9,8)＝3，当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以|PF|＋|PQ|的最小值为3．故选B． 11．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(\r(2),4))) 解析　设抛物线的焦点为F，顶点为O，由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以点P的横坐标为eq \f(1,8)，代入抛物线的方程得y＝±eq \f(\r(2),4)，故点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))．故选B． 12．抛物线y＝eq \f(1,8)x2上一点A(x0，2)到其对称轴的距离为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析　抛物线的对称轴为y轴，把A(x0，2)代入y＝eq \f(1,8)x2，得xeq \o\al(2,0)＝16，即|x0|＝4，故点A到y轴的距离为4． 13．(2024·启东中学高二月考)如图是一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16 m时，拱顶距离水面4 m，当水面上升1 m后，桥洞内水面宽为(　　) A．4 m B．4eq \r(3) m C．8eq \r(3) m D．12 m 解析　以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，过原点且垂直于y轴的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知点(8，－4)在抛物线上，所以64＝－2p×(－4)，可得p＝8，所以抛物线的方程为x2＝－16y，当水面上升1 m后，即当y＝－3时，x2＝48，可得x＝±4eq \r(3)，因此，当水面上升1 m后，桥洞内水面宽为8eq \r(3) m．故选C． 14．(2024·上海长宁高二期中)已知抛物线y2＝4x与过焦点的一条直线交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为eq \f(3,2)，则|AB|＝________． 解析　由题意知抛物线的焦点F(1，0)，且直线AB的斜率不为0，设AB：x＝ty＋1，联立抛物线的方程得y2－4ty－4＝0，Δ>0，故yA＋yB＝4t，yAyB＝－4，所以xA＋xB＝t(yA＋yB)＋2＝2×eq \f(3,2)＝3，即t2＝eq \f(1,4)，则|AB|＝eq \r(1＋t2)·|yA－yB|＝eq \r(1＋t2)·eq \r(（yA＋yB）2－4yAyB)＝eq \f(\r(5),2)×eq \r(4＋16)＝5． 15．(2024·华南师大附中高二质检)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为D，且∠F1DF2＝120°，若第一象限的点A，B在C上，|AF2|＝2，|BF2|＝4，|AB|＝3，则直线AB的斜率为________． 解析　椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为D，且∠F1DF2＝120°，所以∠F1DO＝60°，由椭圆的几何性质可知|DF1|＝a，|OF1|＝c，椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝sin60°＝eq \f(\r(3),2)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0<x1<a，0<x2<a， －eq \f(\r(11),4) 16．若抛物线x2＝8y上一点P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标为________． 解析　抛物线x2＝8y的焦点为F(0，2)，准线方程为y＝－2，设P(x，y)，y>0，因为抛物线上一点P到焦点的距离为5，由抛物线的定义，得|PF|＝y－(－2)＝5，解得y＝3． 17．(2024·铜川阳光中学高二质检)已知点M(1，m)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，且|MF|＝2(F为焦点)，若P为C上的一个动点，设点Q的坐标为(3，0)，则|PQ|的最小值为________． 解析　已知点M(1，m)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，且|MF|＝2(F为焦点)，由定义知，1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)))＝2，得p＝2，∴抛物线C：y2＝4x．设P(x0，y0)(x0≥0)，由题意知yeq \o\al(2,0)＝4x0，则|PQ|2＝(x0－3)2＋yeq \o\al(2,0)＝(x0－3)2＋4x0＝(x0－1)2＋8≥8，∴当x0＝1时，|PQ|2取得最小值8，则|PQ|的最小值为2eq \r(2)． 2eq \r(2) 18．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程及|OM|的值． 解　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 则其焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2)， ∵M在抛物线上， ∴M到焦点的距离等于其到准线的距离， 即2,0)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(p,2)))\s\up12(2)＋y) ＝2＋eq \f(p,2)＝3， 解得p＝2，y0＝±2eq \r(2)， ∴抛物线的方程为y2＝4x． 点M(2，±2eq \r(2))，根据两点间距离公式有|OM|＝eq \r(22＋（±2\r(2)）2)＝2eq \r(3)． 19．已知A，B是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的两个动点(AB不垂直于x轴)，F为抛物线的焦点，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线经过定点Q(6，0)，求此抛物线的方程． 解　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq \f(p,2)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AF|＋|BF|＝8， ∴x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝8，即x1＋x2＝8－p． ∵Q(6，0)在线段AB的中垂线上， ∴|QA|＝|QB|， 即(x1－6)2＋yeq \o\al(2,1)＝(x2－6)2＋yeq \o\al(2,2)， 又yeq \o\al(2,1)＝2px1，yeq \o\al(2,2)＝2px2， ∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0． ∵AB与x轴不垂直， ∴x1≠x2， ∴x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0， 即p＝4． 从而抛物线的方程为y2＝8x． $$