2.7.2 抛物线的几何性质（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.7.2 抛物线的几何性质 题型一 由抛物线方程研究几何性质 1．（23-24高三下·山东·二模）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ） A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 2．如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知抛物线（）的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，若是边长为6的等边三角形，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 题型二 由几何性质求抛物线标准方程 1．（22-23高二上·安徽黄山·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高三上·浙江金华·模拟测试）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，点关于直线的对称点在上，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 抛物线的焦半径公式 1．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（    ） A．6 B． C．8 D． 2．（24-25高二上·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 4．（24-25高二上·河南·期中）如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为 米. 题型四 抛物线的焦点弦问题 1．（23-24高二上·广东茂名·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 3．（24-25高二上·吉林·期中）设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·月考）斜率为的直线过抛物线的焦点，若被拋物线截得弦长为8，则 . 题型五 抛物线中三角形面积问题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 . 2．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知抛物线为抛物线的焦点，经过的直线与抛物线交于两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为，等边的面积为．则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（23-24高二上·广东肇庆·期末）抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线（）的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上点M反射后，其反射光线过点，且，则△FMN的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知过点的直线交抛物线于两点，且为坐标原点，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高二下·山西·月考）焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北邢台·月考）（多选）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南京·期中）（多选）设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（    ） A． B．点的坐标为 C． D．直线的方程为 5．（23-24高二下·湖北武汉·月考）已知抛物线的焦点为，圆以为圆心，且过坐标原点.过作斜率为1的直线，与交于点，与圆交于点，其中点均在第一象限，，则 . 6．（23-24高二下·云南曲靖·月考）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，且，为坐标原点，直线交的准线于点，则与的面积之比为 ． 7．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）如图，A地在B地东偏北45°方向相距处，且B与相距4km.已知曲线形公路上任意一点到B地的距离等于到高铁线（近似看成直线）的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计） (1)试建立适当的直角坐标系求环形公路所在曲线的轨迹方程； (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7.2 抛物线的几何性质 题型一 由抛物线方程研究几何性质 1．（23-24高三下·山东·二模）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ） A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【解析】 如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或．故选：D. 2．如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy. 设抛物线的方程为，结合题意可知，该抛物线经过点， 则，解得， 故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为.故选：A. 3．（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称， 可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为.故选：D. 4．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知抛物线（）的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，若是边长为6的等边三角形，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【解析】由题知，，则．设准线与轴交于点，则． 又是边长为6的等边三角形，， 所以，，即．故选：A. 题型二 由几何性质求抛物线标准方程 1．（22-23高二上·安徽黄山·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，结合抛物线定义，可得，解得， 所以抛物线的方程为.故选：D. 2．已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设满足条件的点为， 则到的准线的距离为， 设，所以，解得或， 故所求方程为或．故选：C 3．（24-25高三上·浙江金华·模拟测试）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下： 由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：.故选：C. 4．已知抛物线，点关于直线的对称点在上，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，由于点关于直线的对称点为， 所以，解得， 由于点在上，所以，解得或， 由于，所以，则抛物线方程为故选：D 题型三 抛物线的焦半径公式 1．（23-24高二下·贵州遵义·期中）已知抛物线上的点到其准线的距离为4，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】因为点到C的准线的距离为4，所以，解得．故选：C 2．（24-25高二上·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 设，，， 是的重心，则， ，故选：A． 3．抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】设点的坐标为， ∵，∴，∴. 把代入方程，得， ∴.∴点P的坐标为.故选：B. 4．（24-25高二上·河南·期中）如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为 米. 【答案】725 【解析】以为坐标原点，过且与主塔AB平行的直线为轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设抛物线的方程为，则100，解得， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：725 题型四 抛物线的焦点弦问题 1．（23-24高二上·广东茂名·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题意，所以.故选：C. 2．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则.故选：B. 3．（24-25高二上·吉林·期中）设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，， 由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为， 联立与可得， 设，则， 故， 因此，当且仅当时取等号，故选：C 4．（23-24高二上·天津·月考）斜率为的直线过抛物线的焦点，若被拋物线截得弦长为8，则 . 【答案】 【解析】的焦点坐标为，直线：， 联立得，， 设直线过抛物线两交点为，故， 又拋物线截得弦长为8，所以，解得， 故答案为： 题型五 抛物线中三角形面积问题 1．（24-25高二上·福建福州·期中）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 . 【答案】 【解析】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 设， 因为，可得，则，即， 则的面积为． 故答案为：. 2．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知抛物线为抛物线的焦点，经过的直线与抛物线交于两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为，等边的面积为．则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】由， 过F作的垂线，垂足为C，设准线与横轴交点为D， 易知.故选：A 3．（23-24高二上·广西玉林·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】抛物线的焦点，准线，过点作，垂足为， 由，得，于是， 设，则，解得， 所以的面积.故选：B 4．（23-24高二上·广东肇庆·期末）抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线（）的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上点M反射后，其反射光线过点，且，则△FMN的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线的对称轴为轴，得轴， 设抛物线的准线与轴交于点，反向延长交抛物线的准线于点，则， 由抛物线的定义得，由，得， 因此为等边三角形，在直角中，，， 于是，从而， 所以的面积为.故选：A 1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知过点的直线交抛物线于两点，且为坐标原点，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】显然直线不垂直于轴，设直线方程为，， 由消去得，则， 由，得，解得或，则， 所以的面积为.故选：C 2．（23-24高二下·山西·月考）焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点作准线的垂线，垂足为，作轴的垂线，垂足为， 则由抛物线的定义可得，由， 在中，由正弦定理可知：，即， 则，， ，， 所以 故选：C. 3．（23-24高二下·河北邢台·月考）（多选）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可得，即，所以，故A正确，B错误； 设，联立直线与抛物线方程， 消去可得，则， 所以，故C正确； 又， 则， 故D错误；故选：AC. 4．（24-25高二上·江苏南京·期中）（多选）设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（    ） A． B．点的坐标为 C． D．直线的方程为 【答案】AC 【解析】由题意得，焦点为，准线为， 设的坐标为，由为的中点得，，即 由点到抛物线准线的距离为，得，解得，故A正确； 则抛物线为，，则，故， 所以的坐标为或，故B错误； 的面积为，故C正确； 由、M或知，直线的方程为 ，即，故D错误.故选：AC    5．（23-24高二下·湖北武汉·月考）已知抛物线的焦点为，圆以为圆心，且过坐标原点.过作斜率为1的直线，与交于点，与圆交于点，其中点均在第一象限，，则 . 【答案】2 【解析】根据题意设直线l的方程为联立可得 设圆的半径为，则， 又， 所以，解得. 故答案为：2 6．（23-24高二下·云南曲靖·月考）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，且，为坐标原点，直线交的准线于点，则与的面积之比为 ． 【答案】 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，因为， 所以，即，则，解得，不妨取， 则直线的方程为，即， 由，解得，所以， 又直线的方程为，令，可得，所以， 所以. 故答案为： 7．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）如图，A地在B地东偏北45°方向相距处，且B与相距4km.已知曲线形公路上任意一点到B地的距离等于到高铁线（近似看成直线）的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计） (1)试建立适当的直角坐标系求环形公路所在曲线的轨迹方程； (2)问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度. 【答案】(1)；(2)，位于A地正南方且与A地相距，所用电线最短长度为6km. 【解析】（1）如图， 取经过点B且垂直的直线为y轴，垂足为K， 并使原点与线段的中点重合，建立直角坐标系， 则，， 因为环形公路上任意一点到B地的距离等于到直线的距离， 所以所在的曲线是以为焦点以l为准线的抛物线. 设抛物线方程为，则. ∴环形公路所在曲线的轨迹方程为. （2）要使架设电线长度最短，即最小， 过M作，垂足为H， ∴， 当A、M、H三点共线时，即取得最小值， 此时，位于A地正南方且与A地相距，所用电线最短长度为6km. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$