第二章 平面解析几何之双曲线及其方程（考点串讲）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

串讲05 双曲线及其方程 选择性必修第一册 人教B版(2019) 数学 期中考点大串讲 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.双曲线的定义 < ||PF1|－|PF2||＝2a 焦点 焦距 考点2.双曲线的标准方程 (±c，0) (0，±c) 考点3.双曲线的几何性质 考点4.双曲线的几何性质 (±c，0) (0，±c) |F1F2|＝2c c2＝a2＋b2 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 关于x轴、y轴和原点对称 (±a，0) (0，±a) 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 考点5.等轴双曲线 实轴长与虚轴长相等 x2－y2＝λ(λ≠0) y＝±x 考点6.对双曲线的几何性质的五点认识 考点6.对双曲线的几何性质的五点认识 02 典例透析 考点1. 　双曲线的定义　 考点2.求双曲线的标准方程 考点3.双曲线的定义及标准方程的应用 考点3.双曲线的定义及标准方程的应用 考点4.双曲线的图象及其性质 考点4.双曲线的图象及其性质 考点4.双曲线的图象及其性质 考点5.利用双曲线的定义求轨迹方程 考点5.利用双曲线的定义求轨迹方程 考点5.利用双曲线的定义求轨迹方程 考点6.　双曲线的几何性质　 考点7.由双曲线的几何性质求标准方程　 考点7.由双曲线的几何性质求标准方程　 考点7.由双曲线的几何性质求标准方程　 考点8.　双曲线的离心率问题　 考点9.双曲线的渐近线问题 考点9.双曲线的渐近线问题 03 考场练兵 1或5 知识点　 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2aeq \x(\s\up1(01))_____|F1F2|，则平面上满足eq \x(\s\up1(02))____________________的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的eq \x(\s\up1(03))_____，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的eq \x(\s\up1(04))_______． 知识点　 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \x(\s\up1(01))___________________ eq \x(\s\up1(02))___________________ 焦点坐标 eq \x(\s\up1(03))_______________ eq \x(\s\up1(04))_____________ a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 知识点　 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 性质 焦点 eq \x(\s\up1(01))______________ eq \x(\s\up1(02))__________ 焦距 eq \x(\s\up1(03))________________ a，b，c关系 eq \x(\s\up1(04))________________ 范围 eq \x(\s\up1(05))________________ eq \x(\s\up1(06))________________ 对称性 eq \x(\s\up1(07))________________________________ 顶点 eq \x(\s\up1(08))________________ eq \x(\s\up1(09))________________ 轴长 eq \x(\s\up1(10))__________________________ 渐近线 eq \x(\s\up1(11))________________ eq \x(\s\up1(12))________________ 离心率 eq \x(\s\up1(13))________________ y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x e＝eq \f(c,a)(e>1) 知识点　 eq \x(\s\up1(01))___________________的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： (1)方程形式为eq \x(\s\up1(02))___________________； (2)渐近线方程为eq \x(\s\up1(03))___________________，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； (3)离心率e＝eq \x(\s\up1(04))_____________． eq \r(2) 知识点　 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置． (2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，得eq \f(x2,a2)＝1＋eq \f(y2,b2)≥1，所以x2≥a2，所以|x|≥a，即x≤－a或x≥a． (3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，对于双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，因为c>a>0，所以e>1，则eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \r(e2－1)，这说明e越趋近于1，则eq \f(b,a)的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． (4)对称性：由双曲线的方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)，P3(－x，－y)均在双曲线上，P与P1，P2，P3分别关于y轴、x轴、原点对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴、原点对称．双曲线的顶点有两个，而椭圆有四个． (5)双曲线上的所有点中，到给定焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点． 【例题1】 　已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 解析　当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线． 　　 【例题2】(2024·南昌第十中学高二月考)在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是(　　) A．eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1 B．eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1 C．eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1或eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1 解析　在双曲线的标准方程中，a＝6，b＝8，当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1．所以双曲线的标准方程是eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1或eq \f(y2,36)－eq \f(x2,64)＝1．故选D． (x2,m－2)【例题3】(2024·滨海新区校级期中)“m>2”是“方程－eq \f(y2,m－1)＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　方程eq \f(x2,m－2)－eq \f(y2,m－1)＝1表示双曲线，则(m－2)(m－1)>0，解得m<1或m>2，所以“m>2”是“方程eq \f(x2,m－2)－eq \f(y2,m－1)＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A． (x2,9)【例题4】如图，F1，F2是双曲线－eq \f(y2,16)＝1的两个焦点． ①若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； ②若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 解　因为双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq \r(a2＋b2)＝5． ①由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22． 由于c－a＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M到另一个焦点的距离为10或22． ②将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100． 在△F1PF2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝eq \f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0， 所以∠F1PF2＝90°， 所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×32＝16． 　 (2)【例题5】如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指出它表示什么曲线． 解　如图，以AB边所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(－2eq \r(2)，0)，B(2eq \r(2)，0)． 由正弦定理得sinA＝eq \f(|BC|,2R)， sinB＝eq \f(|AC|,2R)，sinC＝eq \f(|AB|,2R)． 因为2sinA＋sinC＝2sinB， 所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝eq \f(|AB|,2)． 从而有|CA|－|CB|＝eq \f(1,2)|AB|＝2eq \r(2)<|AB|． 所以由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括点(eq \r(2)，0)． 因为a＝eq \r(2)，c＝2eq \r(2)，所以b2＝c2－a2＝6． 所以顶点C的轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1(x>eq \r(2))． 故顶点C的轨迹为双曲线的右支且除去点(eq \r(2)，0)． 【例题6】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． 解　将9y2－4x2＝－36变形为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1， 即eq \f(x2,32)－eq \f(y2,22)＝1，所以a＝3，b＝2，c＝eq \r(13)， 因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(2,3)x． 作出草图如图： 【例题7】分别求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq \f(3,2)x． 解　(1)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)． 由题意知2b＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1． (2)解法一：当焦点在x轴上时， 由eq \f(b,a)＝eq \f(3,2)且a＝3得b＝eq \f(9,2)， ∴所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,\f(81,4))＝1； 当焦点在y轴上时，由eq \f(a,b)＝eq \f(3,2)且a＝3得b＝2， ∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1． 故双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,\f(81,4))＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1． 解法二：设以y＝±eq \f(3,2)x为渐近线的双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2eq \r(4λ)＝6⇒λ＝eq \f(9,4)； 当λ<0时，a2＝－9λ， ∴2a＝2eq \r(－9λ)＝6⇒λ＝－1． ∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,\f(81,4))＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1． (x2,a2)【例题8】(2024·西安第七十五中学高二期中)过双曲线－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为________． 解析　设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则|AB|＝eq \f(2b2,a)，又因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，所以|F1F2|＝eq \f(1,2)|AB|，即2c＝eq \f(b2,a)，所以c2－2ac－a2＝0，则e2－2e－1＝0，解得e＝1＋eq \r(2)或e＝1－eq \r(2)(舍去)． 1＋eq \r(2) 　　 (y2,a2)【例题9】(2024·开封高中高二月考)已知双曲线C：－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3∶1，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±2eq \r(2)x B．y＝±eq \r(2)x C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(2),4)x 解析　根据题意，可设一条渐近线为by－ax＝0，取F(0，c)，A(0，a)，所以eq \f(\f(|bc|,\r(a2＋b2)),\f(|ba|,\r(a2＋b2)))＝3，解得c＝3a，因为c2＝a2＋b2，故b2＝8a2，因此双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(\r(2),4)x．故选D． 1．(2024·平顶山汝州第二高级中学高二月考)如果双曲线eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是(　　) A．6 B．12 C．16 D．22 解析　由题意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝6，所以|PF2|＝22． 2．(2024·十堰柳林中学高二质检)若点M在双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 解析　双曲线中a2＝16，则a＝4，由|MF1|＝3|MF2|，知点M在双曲线的右支上，又由双曲线的定义可得|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4．故选B． 3．已知方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－1，eq \r(3)) C．(0，3) D．(0，eq \r(3)) 解析　解法一：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2，当焦点在x轴上时，可得c2＝4＝m2＋n＋3m2－n，解得m2＝1，∵方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，∴(m2＋n)(3m2－n)>0，可得(n＋1)(3－n)>0，解得－1<n<3，即n的取值范围是(－1，3)；当焦点在y轴上时，可得－4＝(m2＋n)＋(3m2－n)，解得m2＝－1，无解．故选A． 解法二：∵方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，则(m2＋n)(3m2－n)>0，∴－m2<n<3m2，∴m2＋n>0，3m2－n>0，∴c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2＝4，解得m2＝1，∴－1<n<3．故选A． 4．已知双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,2)＝1，直线l过其上焦点F2，交双曲线上支于A，B两点，且|AB|＝4，F1为双曲线下焦点，△ABF1的周长为18，则m的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．eq \f(25,4) 解析　由题意知|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝18，又|AB|＝4，所以|AF1|＋|BF1|＝14．根据双曲线的定义可知2a＝|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|，所以4a＝|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝14－4＝10，解得a＝eq \f(5,2)，所以m＝a2＝eq \f(25,4)．故选D． 5．双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±3x B．y＝±eq \f(1,3)x C．y＝±eq \r(3)x D．y＝±eq \f(\r(3),3)x 解析　因为a＝1，b＝eq \r(3)，所以其渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x．故选C． 6．(2024·榆林第十中学高二月考)以双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点为顶点，离心率为eq \r(3)的双曲线的标准方程为(　　) A．eq \f(x2,32)－eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,32)＝1 C．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 解析　双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点在x轴上，且焦点坐标为(±2，0)，故可设新双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则新双曲线的顶点坐标为(±2，0)，即a＝2，∵离心率为eq \r(3)，∴eq \f(c,a)＝eq \r(3)，得c＝2eq \r(3)，则b2＝c2－a2＝12－4＝8，即新双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1．故选D． 7．(多选)双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝λ(λ≠0)，当λ变化时，下列说法正确的是(　　) A．焦点坐标变化 B．顶点坐标变化 C．渐近线不变 D．离心率不变 解析　当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝λ中，令λ＝0，得y＝±eq \f(4,3)x，即为双曲线C的渐近线方程，不随λ的变化而变化．故选ABC． 8．(多选)(2024·聊城一中高二月考)已知双曲线C：eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,k－1)＝1(0＜k＜1)，则(　　) A．双曲线C的焦点在x轴上 B．双曲线C的焦距等于4eq \r(2) C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于eq \r(1－k) D．双曲线C的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(10),3))) 解析　对于A，因为0＜k＜1，所以9－k＞0，k－1＜0，所以双曲线C：eq \f(x2,9－k)－eq \f(y2,1－k)＝1(0＜k＜1)的焦点在x轴上，故A正确；对于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝eq \r(10－2k)，所以双曲线C的焦距等于2c＝2eq \r(10－2k)(0＜k＜1)，故B错误；对于C，设焦点在x轴上的双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，焦点坐标为(±c，0)，则渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0， 9．(2024·丹东第二中学高二月考)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \r(5)．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则由双曲线的定义得m－n＝2a．由题意得S△PF1F2＝eq \f(1,2)mn＝4，且m2＋n2＝4c2＝(m－n)2＋2mn，又e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，所以a＝1．故选A． 10．(2024·北京大兴高二期末)已知双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一条渐近线方程为x＋2y＝0，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　因为双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，所以双曲线的方程可设为eq \f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)，即eq \f(x2,4λ)－eq \f(y2,λ)＝1．因为eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4λ＝a2，,λ＝1，))解得a＝2(负值舍去)，所以a＝2．故选B． 11．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1上一点P到F(3，0)的距离为6，O为坐标原点，若eq \o(OQ,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(OF,\s\up16(→)))，则|eq \o(OQ,\s\up16(→))|的值为________． 解析　如图，当P在双曲线右支上时，F(3，0)是右焦点，F1(－3，0)是左焦点，∵|PF1|－|PF|＝2a＝4，∴|PF1|＝10．∵eq \o(OQ,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OP,\s\up16(→))＋eq \o(OF,\s\up16(→)))，∴Q为PF的中点，则|eq \o(OQ,\s\up16(→))|＝eq \f(1,2)|PF1|＝5；当P在双曲线左支上时，同理可得|eq \o(OQ,\s\up16(→))|＝1．综上所述，|eq \o(OQ,\s\up16(→))|的值为1或5． 12．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，eq \o(F1A,\s\up16(→))⊥eq \o(F1B,\s\up16(→))，eq \o(F2A,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(F2B,\s\up16(→))，则C的离心率为________． 解析　解法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(4,5)，整理得5c2＝9a2，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5)． eq \f(3\r(5),5) 13.已知双曲线的上、下焦点分别为F1(0，4)，F2(0，－4)，P是双曲线上一点且||PF1|－|PF2||＝6，则双曲线的标准方程为______________． 解析　由题意，得双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．因为||PF1|－|PF2||＝2a＝6，所以a＝3，又双曲线的上、下焦点分别为F1(0，4)，F2(0，－4)，故c＝4，故b2＝c2－a2＝16－9＝7，故双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,7)＝1． eq \f(y2,9)－eq \f(x2,7)＝1 解法二：依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为eq \o(F2A,\s\up16(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(F2B,\s\up16(→))，所以(x0－c，y0)＝－eq \f(2,3)(－c，t)，则x0＝eq \f(5,3)c，y0＝－eq \f(2,3)t，又eq \o(F1A,\s\up16(→))⊥eq \o(F1B,\s\up16(→))，所以eq \o(F1A,\s\up16(→))·eq \o(F1B,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)c，－\f(2,3)t))·(c，t)＝eq \f(8,3)c2－eq \f(2,3)t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则eq \f(\f(25,9)c2,a2)－eq \f(\f(4,9)t2,b2)＝1，整理得eq \f(25c2,9a2)－eq \f(4t2,9b2)＝1，则eq \f(25c2,9a2)－eq \f(16c2,9b2)＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5)． 解法三：由解法二得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c，－\f(2,3)t))，t2＝4c2，所以|AF1|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c＋c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)t))\s\up12(2))＝eq \r(\f(64c2,9)＋\f(4t2,9))＝eq \r(\f(64c2,9)＋\f(16c2,9))＝eq \f(4\r(5)c,3)，|AF2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c－c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)t))\s\up12(2))＝eq \r(\f(4c2,9)＋\f(4t2,9))＝eq \r(\f(4c2,9)＋\f(16c2,9))＝eq \f(2\r(5)c,3)，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即eq \f(4\r(5)c,3)－eq \f(2\r(5)c,3)＝2a，即eq \f(\r(5),3)c＝a，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5)． 14．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1上的一点P与左、右焦点F1，F2构成△PF1F2． (1)求△PF1F2的内切圆与x轴正半轴相切的切点N的坐标； (2)已知|PF1|·|PF2|＝32，求cos∠F1PF2的值． 解　(1)由已知得a＝3，c＝eq \r(9＋4)＝eq \r(13)， 显然点P在双曲线右支上，如图，令△PF1F2的内切圆与边PF1，PF2相切的切点分别为T，M，设点N(x0，0)， 于是有|PT|＝|PM|，|F1T|＝|F1N|，|F2M|＝|F2N|， 由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝6， 而|PF1|－|PF2|＝|F1T|－|F2M|＝|F1N|－|F2N|＝(x0＋c)－(c－x0)＝2x0， 即2x0＝6，解得x0＝3， 所以△PF1F2的内切圆与x轴正半轴相切的切点N的坐标为(3，0)． (2)不妨设点P在双曲线右支上， 由(1)知|PF1|－|PF2|＝6，|F1F2|＝2eq \r(13)， 而|PF1|·|PF2|＝32， 在△PF1F2中，由余弦定理得， cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝eq \f(（|PF1|－|PF2|）2＋2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|) ＝eq \f(62＋2×32－（2\r(13)）2,2×32)＝eq \f(3,4)． $$