第二章 平面解析几何之椭圆及其方程（考点串讲）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

串讲04 椭圆及其方程 选择性必修第一册 人教B版(2019) 数学 期中考点大串讲 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点1.椭圆的定义 > |PF1|＋|PF2|＝2a 焦点 焦距 考点2.椭圆的标准方程 2c (±c，0) (0，±c) a2＝b2＋c2 考点3.椭圆的几何性质 考点3.椭圆的几何性质 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a x轴、y轴 (0，0) (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 2b 2a (±c，0) (0，±c) 2c 考点4.椭圆几何性质的应用 半长轴长 半短轴长 半焦距 焦点 原点 |B1F2| |B2F1| |B2F2| a 考点6.椭圆的离心率对椭圆形状的影响 a＋c a－c 小 扁 大 圆 02 典例透析 考点1.椭圆的定义　 ②③ 考点2.求椭圆的标准方程 考点2.求椭圆的标准方程 考点2.求椭圆的标准方程 考点2.求椭圆的标准方程 考点2.求椭圆的标准方程 考点3.椭圆的定义及标准方程的应用 考点3.椭圆的定义及标准方程的应用 考点3.椭圆的定义及标准方程的应用 考点4.椭圆的几何性质 考点4.椭圆的几何性质 考点5.利用椭圆的几何性质求标准方程　 考点5.利用椭圆的几何性质求标准方程　 考点5.利用椭圆的几何性质求标准方程　 考点5.利用椭圆的几何性质求标准方程　 考点5.利用椭圆的几何性质求标准方程　 考点6. 　椭圆的离心率问题　 考点7. 椭圆的实际应用问题　 考点7. 椭圆的实际应用问题　 03 考场练兵 10 2 　3 知识点　 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2aeq \x(\s\up1(01))_____|F1F2|，则平面内满足eq \x(\s\up1(02))_________________的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的eq \x(\s\up1(03))_______，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的eq \x(\s\up1(04))_______． 知识点 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \x(\s\up1(01))___________________ eq \x(\s\up1(02))_________________ 图形 焦距 |F1F2|＝eq \x(\s\up1(03))_____ 焦点坐标 eq \x(\s\up1(04))____________ eq \x(\s\up1(05))____________ a，b，c的关系 eq \x(\s\up1(06))____________ eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 知识点 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \x(\s\up1(01))________________ eq \x(\s\up1(02))________________ eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 范围 eq \x(\s\up1(03))_____________________ eq \x(\s\up1(04))____________________ 对称性 对称轴eq \x(\s\up1(05))____________，对称中心eq \x(\s\up1(06))________ 顶点 eq \x(\s\up1(07))______________________ eq \x(\s\up1(08))______________________ 轴长 短轴长＝eq \x(\s\up1(09))_____，长轴长＝eq \x(\s\up1(10))_____ 焦点 eq \x(\s\up1(11))____________ eq \x(\s\up1(12))____________ 焦距 |F1F2|＝eq \x(\s\up1(13))_____ 离心率 e＝eq \x(\s\up1(14))_______ (0<e<1) eq \f(c,a) 知识点 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． (2)明确a，b，c的几何意义，a是eq \x(\s\up1(01))___________，b是eq \x(\s\up1(02))___________，c是eq \x(\s\up1(03))___________，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个eq \x(\s\up1(04))_______以及eq \x(\s\up1(05))________为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a．如图所示，|B1F1|＝eq \x(\s\up1(06))______＝eq \x(\s\up1(07))______＝eq \x(\s\up1(08))______＝eq \x(\s\up1(09))______． (3)椭圆上的所有点中，到给定焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a，0)，A2(a，0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝eq \x(\s\up1(10))________，|A2F2|＝eq \x(\s\up1(11))________． 知识点　 (1)椭圆的半焦距与半长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e＝eq \f(c,a)．∵a>c>0，∴0<e<1． (2)eq \f(b,a)＝eq \f(\r(a2－c2),a)＝eq \r(\f(a2－c2,a2))＝eq \r(1－e2)，e越趋近于1，则eq \f(b,a)的值越eq \x(\s\up1(01))_____，因此椭圆越eq \x(\s\up1(02))_____；反之，e越趋近于0，则eq \f(b,a)的值越eq \x(\s\up1(03))_____，这时椭圆就越接近于eq \x(\s\up1(04))_____．当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2． 解析　①因为eq \r(2)<2，所以点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③因为|PF1|＋|PF2|＝14>12，所以点P的轨迹为椭圆；④到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)． 【例题1】下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq \r(2)的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③已知定点F1(0，6)，F2(0，－6)，则满足|PF1|＋|PF2|＝14的点P的轨迹为椭圆； ④到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 【例题2】(2024·湖州吴兴高级中学高二月考)求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)两焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (3)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))． 解　(1)(定义法)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(25－16)＝3，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1． (2)(待定系数法)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)． 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.)) 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1． (3)解法一：(分类讨论法)①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)． 依题意，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2),b2)＝1，,0＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2),b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).)) 由a＞b＞0，知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)． 依题意，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2),b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2),a2)＋0＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).)) 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1． 解法二：(待定系数法)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)m＋\f(1,9)n＝1，,\f(1,4)n＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝5，,n＝4.)) 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 故椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1． (x2,25)【例题3】如图所示，已知经过椭圆＋eq \f(y2,16)＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点． ①求△AF1B的周长； ②如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？ 解　①如题图，由题意知，A，B在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝10＋10＝20． ②如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变．因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝20，与AB和x轴是否垂直无关． (2)如图所示，点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积． 解　在椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1中，a＝eq \r(5)，b＝2，∴c＝eq \r(a2－b2)＝1． 又P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(5)． ① 在△F1PF2中，由余弦定理知， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4． ② ①式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20． ③ ③－②，得(2＋eq \r(3))|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－eq \r(3))， ∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin30°＝8－4eq \r(3)． 　　 (\r(3),2)【例题4】已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标． 解　椭圆的方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1， ∵m－eq \f(m,m＋3)＝eq \f(m（m＋2）,m＋3)>0，∴m>eq \f(m,m＋3)． ∴椭圆的焦点在x轴上． 即a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3)， c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(\f(m（m＋2）,m＋3))． 由e＝eq \f(\r(3),2)，得eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，∴m＝1． ∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1． ∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2)． ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))，四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))． 　 【例题5】 (2024·新余第六中学高二月考)求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3，0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为eq \r(3)； (3)经过P(－2eq \r(3)，1)，Q(eq \r(3)，－2)两点； (4)与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1有相同离心率，且经过点(2，－eq \r(3))． 解　 (1)若焦点在x轴上，设所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， ∵椭圆过点A(3，0)，∴eq \f(9,a2)＝1，得a＝3， ∵2a＝3×2b，∴b＝1，∴方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1； 若焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)， ∵椭圆过点A(3，0)，∴eq \f(9,b2)＝1，得b＝3， 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1． 综上所述，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1． (2)由已知，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3)，)) b2＝a2－c2＝9． 若焦点在y轴上，则eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,9)＝1； 若焦点在x轴上，则eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1． ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,9)＝1． (3)设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5)，)) 则所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,5)＝1． (4)由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得a2＝4，b2＝3， ∴c2＝a2－b2＝1，e＝eq \f(1,2)． 当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，,\f(4,a2)＋\f(3,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝6，)) ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1； 当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(1,2)，,a2＝b2＋c2，,\f(3,a2)＋\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(25,3)，,b2＝\f(25,4)，)) ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1． 故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1或eq \f(y2,\f(25,3))＋eq \f(x2,\f(25,4))＝1． 【例题6】(2024·益阳安化县第二中学高二月考)已知正方形ABCD，以A，C两点为焦点的椭圆恰好过正方形四边的中点，则椭圆的离心率为(　　) A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(5)－1,2) C．eq \f(\r(10)－\r(2),2) D．eq \f(\r(5),3) 解析　以正方形的中心为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为t(t>0)，则|AD|＝t，|DM|＝|MC|＝eq \f(1,2)t，|AM|＝eq \f(\r(5),2)t，|AC|＝eq \r(2)t，椭圆中2a＝|AM|＋|MC|＝eq \f(\r(5),2)t＋eq \f(1,2)t，2c＝|AC|＝eq \r(2)t，故离心率e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(2)t,\f(\r(5),2)t＋\f(1,2)t)＝eq \f(2\r(2)×（\r(5)－1）,4)＝eq \f(\r(10)－\r(2),2)．故选C． (ab)【例题7】　我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的半长轴长、半短轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)． 解　 探测器的运行轨道方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且c＝eq \r(a2－b2)． ∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34， ∴a＝438，c＝396． 于是b2＝a2－c2＝35028． ∴探测器的运行轨道方程为eq \f(x2,191844)＋eq \f(y2,35028)＝1． 设变轨时，探测器位于点P(x0，y0)，则 xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝ab≈81975．1，2,0)eq \f(x,191844) ＋2,0)eq \f(y,35028) ＝1， 解得x0≈239．7，y0≈156．6． ∴2,0)eq \r(（x0－c）2＋y) －R≈187． 故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里． 1． 椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1的焦点坐标是(　　) A．(0，3)，(0，－3) B．(4，0)，(－4，0) C．(0，5)，(0，－5) D．(0，4)，(0，－4) 2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　) A．(±13，0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±eq \r(69)) 解析　由题意知a＝13，b＝10，焦点在y轴上，所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(132－102)＝eq \r(69)，故焦点坐标为(0，±eq \r(69))． 3．(2024·赤峰第四中学高二月考)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为eq \f(1,3)，长轴长为12，则椭圆的标准方程为(　　) A．eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,4)＝1 B．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1或eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1 D．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1 解析　由题意知，2a＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，所以a＝6，c＝2，所以b2＝a2－c2＝32．又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在x轴或y轴上，所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,32)＝1或eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1．故选C． 4.设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2＝eq \r(3)e1，则a＝(　　) A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \r(2) C．eq \r(3) D．eq \r(6) 解析　由e2＝eq \r(3)e1，得eeq \o\al(2,2)＝3eeq \o\al(2,1)，因此eq \f(4－1,4)＝3×eq \f(a2－1,a2)，而a>1，所以a＝eq \f(2\r(3),3)．故选A． 5．(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2eq \r(3)，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆C的标准方程为(　　) A．eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1 B．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1 C．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,48)＝1 D．eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,45)＝1 解析　由已知2c＝|F1F2|＝2eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)．因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4eq \r(3)，所以a＝2eq \r(3)，所以b2＝a2－c2＝9．故椭圆C的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1． 6．(多选)(2024·三门峡陕州中学高二月考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的短轴长与椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长相等，则(　　) A．a2＝25 B．b2＝25 C．a2＝9 D．b2＝9 解析　因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴长为10，且椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长为6，所以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，且有a＝5，b＝3，即a2＝25，b2＝9．故选AD． 7．(多选)(2024·郑州优胜实验中学高二月考)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为eq \f(1,2) B．焦距为eq \f(\r(3),4) C．焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),4))) D．离心率为eq \f(\r(3),2) 解析　椭圆C：16x2＋4y2＝1化为标准方程可得eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,16))＝1，所以a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)，c＝eq \f(\r(3),4)，所以长轴长为2a＝1，焦距为2c＝eq \f(\r(3),2)，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),4)))，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)．故选CD． 8.已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的两焦点为F1，F2，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)，则△PF1F2的面积为______． eq \f(3,2) 解析　由已知得a＝2，b＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1．从而|F1F2|＝2c＝2．在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4．又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，所以|PF2|＝4－|PF1|．从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，解得|PF1|＝eq \f(3,2)．所以△PF1F2的面积S＝eq \f(1,2)|PF1|·|F1F2|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×2＝eq \f(3,2)． 9．(2024·福州高新区第一中学高二期中)如果P是椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1上一动点，F1是椭圆的左焦点，那么|PF1|的最大值是________，最小值是________． 解析　由椭圆方程eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1，可得a2－b2＝36－20＝16，则c＝4．当点P位于右端点时，|PF1|max＝a＋c＝6＋4＝10；当点P位于左端点时，|PF1|min＝a－c＝6－4＝2． 10．(2024·长郡中学高二质检)椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|＝__________． 解析　设椭圆的右焦点为F2，连接MF2，则由|MF1|＋|MF2|＝8，知|MF2|＝8－2＝6．又O为F1F2的中点，N为MF1的中点，所以|ON|＝eq \f(1,2)|MF2|＝3． 11．(2024·吴忠中学高二期中)求分别满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为F1(－2eq \r(3)，0)，长轴长是短轴长的2倍； (2)经过点P(2，2eq \r(2))，离心率为eq \f(\r(2),2)，焦点在x轴上； (3)经过Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，B(2，0)两点． 解　(1)根据题意，可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 由题设，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,c＝2\r(3)，,a＝2b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，,c＝2\r(3)，)) 故椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1． (2)根据题意，可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 由题设，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,e＝\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,\f(4,a2)＋\f(8,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝20，,b2＝10，)) 故椭圆的标准方程为eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,10)＝1． (3)根据题意，可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 由题设，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,4)n＝1，,4m＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝\f(1,3)，)) 故椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1． $$