第二章 平面解析几何之圆及其方程（考点串讲）高二数学上学期人教B版选择性必修第一册

串讲03 圆及其方程 选择性必修第一册 人教B版(2019) 数学 期中考点大串讲 考场练兵 典例剖析 01 02 03 目 录 考点透视 01 考点透视 考点透视 考点1.圆的标准方程 圆心 半径 |CM|＝r (x－a)2＋(y－b)2＝r2 考点2. 点与圆的位置关系 ＝ ＝ < < > > 考点3.圆的一般方程的定义 D2＋E2－4F>0 D2＋E2－4F<0 考点4.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 外 上 内 考点5.直线与圆的位置关系 两个 一个 没有 考点6.直线与圆位置关系的判定方法 相交 相切 相离 考点7.圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 考点8.圆与圆位置关系的判定方法 考点8.圆与圆位置关系的判定方法 考点9.曲线的方程与方程的曲线的定义 方程F(x，y)＝0的解 都在曲线C上 考点10.两曲线的交点、点的轨迹方程 实数解 动点依某种条件运动的轨迹 曲线的方程 考点11.求动点M轨迹方程的一般步骤 02 典例透析 考点1.对圆的标准方程的理解 考点1.对圆的标准方程的理解 考点2.判断点与圆的位置关系 考点3.求圆的标准方程 考点3.求圆的标准方程 考点4.与圆有关的最值问题 考点5. 与圆有关的实际应用问题 考点5. 与圆有关的实际应用问题 考点6.　圆的一般方程的定义　 　 考点7.　求圆的一般方程　 考点7.　求圆的一般方程　 考点8.直线与圆位置关系的判断 考点9.圆的切线问题 3x－4y＋25＝0 考点10.直线被圆截得的弦长问题 考点10.直线与圆的综合应用　 考点11.圆与圆位置关系的判定 考点11.圆与圆位置关系的判定 考点12.两圆相交的公共弦问题 考点12.两圆相交的公共弦问题 考点13.圆系方程问题 考点13.圆系方程问题 考点14.曲线与方程的定义 考点14.曲线与方程的定义 考点15.点与曲线的位置关系 考点16.两曲线的交点问题　 考点16.两曲线的交点问题　 考点17. 求动点的轨迹方程 考点17. 求动点的轨迹方程 考点18.由方程研究曲线的类型和性质 03 考场练兵 　2 知识点 (1)圆的基本要素 圆的基本要素是eq \x(\s\up1(01))_________和eq \x(\s\up1(02))_________． (2)圆的标准方程 一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是eq \x(\s\up1(03))_________，即eq \x(\s\up1(04))____________________________，两边平方，得eq \x(\s\up1(05))_____________________，此式通常称为圆的标准方程．为了方便起见，我们称圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，指的是方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆． eq \r(（x－a）2＋（y－b）2)＝r 知识点 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为r．设所给点为M(x0，y0)，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点M(x0，y0)在圆上 |MC|eq \x(\s\up1(01))_____r (x0－a)2＋(y0－b)2eq \x(\s\up1(02))_____r2 点M(x0，y0)在圆内 |MC|eq \x(\s\up1(03))_____r (x0－a)2＋(y0－b)2eq \x(\s\up1(04))_____r2 点M(x0，y0)在圆外 |MC|eq \x(\s\up1(05))_____r (x0－a)2＋(y0－b)2eq \x(\s\up1(06))_____r2 知识点　 (1)当eq \x(\s\up1(01))__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方 程，其圆心为eq \x(\s\up1(02))__________________，半径为eq \x(\s\up1(03))__________________． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点eq \x(\s\up1(04))_____________． (3)当eq \x(\s\up1(05))__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) 知识点　 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆eq \x(\s\up1(01))______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆eq \x(\s\up1(02))______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆eq \x(\s\up1(03))______ xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0 知识点　 直线与圆有三种位置关系，列表如下： 位置关系 交点个数 相交 有eq \x(\s\up1(01))________公共点 相切 只有eq \x(\s\up1(02))________公共点 相离 eq \x(\s\up1(03))________公共点 知识点　 (1)代数法 直线l：Ax＋By＋C＝0，圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，直线l与圆M的方程联立得方程组，消去y(或x)整理，得关于x(或y)的一元二次方程mx2＋nx＋k＝0(或my2＋ny＋k＝0)，其判别式为Δ＝n2－4mk， Δ>0⇔直线l与圆Meq \x(\s\up1(01))________； Δ＝0⇔直线l与圆Meq \x(\s\up1(02))________； Δ<0⇔直线l与圆Meq \x(\s\up1(03))________． [拓展]　圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2． (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2． 知识点　 圆与圆的位置关系有五种，分别为eq \x(\s\up1(01))_______、eq \x(\s\up1(02))_______、eq \x(\s\up1(03))_______、eq \x(\s\up1(04))_______、eq \x(\s\up1(05))_______． 知识点　 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离　 d>r1＋r2 外切　 d＝r1＋r2 相交　 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切　 d＝|r1－r2| 内含　 d<|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq \o\al(2,1)＋Eeq \o\al(2,1)－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq \o\al(2,2)＋Eeq \o\al(2,2)－4F2>0)， 联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，)) 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 知识点 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是eq \x(\s\up1(01))_____________________； (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点eq \x(\s\up1(02))________________． 则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程． [点拨]　(1)与(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点及方程的任意一组实数解而言的．从集合的角度来看，设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点组成的点集，则由定义中的(1)可知A⊆B，由定义中的(2)可知B⊆A；同时具有关系(1)和(2)，就有A＝B． 知识点　 已知两条曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F（x，y）＝0，,G（x，y）＝0，))求方程组的eq \x(\s\up1(01))________就可以得到． 知识点　 曲线一般都可以看成eq \x(\s\up1(01))__________________________，所以eq \x(\s\up1(02))______________也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 知识点　 (1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)； (2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程． [提醒]　(1)某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中x(或y)的取值予以剔除． (2)动点的轨迹与动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形(曲线的形状)，而轨迹方程则是一个方程． 【例题1】已知一个圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为(　　) A．(1，0)，4 B．(－1，0)，2eq \r(2) C．(0，－1)，4 D．(0，－1)，2eq \r(2) 解析　根据题意，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，即(x－0)2＋[y－(－1)2]＝(2eq \r(2))2，其圆心为(0，－1)，半径为2eq \r(2)．故选D． 感悟提升 几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆的标准方程 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 【例题2】若点A(a，2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，5] B．[2，5] C．[3，5] D．[4，5] 解析　点A(a，2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，则点A(a，2)在该圆的内部或圆上，故(a－1)2＋(2＋1)2≤5a且a>0，解得2≤a≤5，故实数a的取值范围为[2，5]．故选B． 【例题3】已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解　解法一：如图所示，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8， ∴|AO|＝4． 在Rt△AOC中， |OC|＝eq \r(|AC|2－|AO|2)＝eq \r(52－42)＝3． 设点C的坐标为(a，0)， 则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3． ∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25． 解法二：由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25． ∵圆截y轴所得线段长为8， ∴圆过点A(0，4)，代入方程得a2＋16＝25， ∴a＝±3． ∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25． 【例题4】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值． 解　将实数x，y看作点P(x，y)的坐标，满足(x－2)2＋y2＝3的点P(x，y)组成的图形是以M(2，0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆． x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值， 又圆心到原点的距离为2， 故(x2＋y2)max＝(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)， (x2＋y2)min＝(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3)． 【例题5】(2024·菏泽鄄城县第一中学高二月考)有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的原则是运费和价格的总费用最低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？ 解　以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设A(－5，0)，则B(5，0)．在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A地运货到P地的运费为2a元/km(a>0)，则从B地运货到P地的运费为a元/km． 若P地居民选择在A地购买此商品， 则2aeq \r(（x＋5）2＋y2)<aeq \r(（x－5）2＋y2)， 整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,3))) eq \s\up12(2)＋y2<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3))) eq \s\up12(2)， 即点P在圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,3))) eq \s\up12(2)＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3))) eq \s\up12(2)的内部， 也就是说，圆C内的居民应在A地购物． 同理可推得圆C外的居民应在B地购物， 圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物． 【例题6】判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． 解　　解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，则D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2． 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \r(5)|m－2|． 解法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq \r(5)|m－2|． 解　(1)设顶点C(0，m)，由题意得 kABkBC＝－1，且kAB＝eq \f(8－5,3－8)＝－eq \f(3,5)， 所以kBC＝eq \f(m－8,0－3)＝eq \f(5,3)， 解得m＝3，所以顶点C(0，3)． 【例题7】已知Rt△ABC的顶点A(8，5)，直角顶点为B(3，8)，顶点C在y轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)Rt△ABC外接圆的一般方程． (2)解法一：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(89＋8D＋5E＋F＝0，,73＋3D＋8E＋F＝0，,9＋3E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－8，,F＝15.)) 所以Rt△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－8y＋15＝0． 解法二：因为Rt△ABC的斜边AC的中点为圆心，边AC为直径，所以圆心坐标为(4，4)， 半径为r＝eq \r(（4－0）2＋（4－3）2)＝eq \r(17)， 所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝17， 即x2＋y2－8x－8y＋15＝0． 【例题8】(2024·上海市控江中学高二期末)已知圆O：x2＋y2＝1，直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R，则直线lα与圆O的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．都有可能 解析　因为圆O：x2＋y2＝1的圆心坐标为O(0，0)，半径r＝1，则圆心O(0，0)到直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R的距离d＝eq \f(|0·cosα＋0·sinα＋1|,\r(cos2α＋sin2α))＝1＝r，所以直线lα：xcosα＋ysinα＋1＝0，α∈R与圆O：x2＋y2＝1相切．故选C． 【例题9】经过点(－3，4)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程是________________． 解析　由题意，知圆x2＋y2＝25的圆心为O(0，0)，半径r＝5，如图，因为(－3)2＋42＝25，即点A(－3，4)在圆x2＋y2＝25上，且kOA＝－eq \f(4,3)，可知切线的斜率k＝eq \f(3,4)，所以切线的方程为y－4＝eq \f(3,4)(x＋3)，即3x－4y＋25＝0． 【例题10】过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，求其中最短的弦长． 解　 由题意可知，过点(3，1)的最短的弦垂直于过点(3，1)的直径，弦心距为eq \r(（3－2）2＋（1－2）2)＝eq \r(2)，则最短的弦长为l＝2eq \r(22－（\r(2)）2)＝2eq \r(2)． 【例题10】 已知x，y满足x2＋y2＝1，则eq \f(y－2,x－1)的最小值为________． eq \f(3,4) 解析　　eq \f(y－2,x－1)表示圆上的点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率，∴eq \f(y－2,x－1)的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由eq \f(|2－k|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq \f(3,4)，结合图形可知eq \f(y－2,x－1)≥eq \f(3,4)，∴eq \f(y－2,x－1)的最小值为eq \f(3,4)． 【例题11】　(2024·广州荔湾区高二期中)已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解　圆C1，C2的方程经配方后，得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1． ∴|C1C2|＝eq \r(（a－2a）2＋（1－1）2)＝a． (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 解　联立两圆的方程得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，)) 两式相减得x－2y＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程． 解法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，)) 所以|AB|＝eq \r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq \r(5)， 即公共弦长为2eq \r(5)． 【例题12】求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长． 解法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5eq \r(2)，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝eq \f(|1－2×（－5）＋4|,\r(12＋（－2）2))＝3eq \r(5)． 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2， 即50＝(3eq \r(5))2＋l2，解得l＝eq \r(5)， 故公共弦长2l＝2eq \r(5)． 　【例题13】求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0与圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程． 解　解法一：联立两圆的方程，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－12x－2y－13＝0，,x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，)) 相减并化简，得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－2＝0，,x2＋y2－12x－2y－13＝0，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－6，)) 即两圆的交点坐标分别为(－1，2)，(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径， ∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)， 半径为eq \f(1,2) eq \r(（5＋1）2＋（－6－2）2)＝5． ∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25． 解法二：由解法一可知公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0． 设所求圆的方程为x2＋y2－12x－2y－13＋λ(x2＋y2＋12x＋16y－25)＝0(λ≠－1)． 可求得圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－6λ,1＋λ)，\f(1－8λ,1＋λ)))． ∵圆心C在公共弦所在直线上， ∴4·eq \f(6－6λ,1＋λ)＋3·eq \f(1－8λ,1＋λ)－2＝0，解得λ＝eq \f(1,2)． ∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0． 【例题14】下列命题是否正确？若不正确，说明原因． (1)过点A(2，0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2； (2)以O(0，0)为圆心，2为半径的圆的方程是y＝eq \r(4－x2)； (3)设点A(2，0)，B(0，2)，则线段AB的方程为x＋y－2＝0． 解　(1)错误．因为以方程|x|＝2的解为坐标的点，不都在直线l上，直线l只是方程|x|＝2所表示的图形的一部分． (2)错误．以方程y＝eq \r(4－x2)的任一组解M(x0，y0)为坐标的点，均满足y0＝2,0)eq \r(4－x) ，即xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝4，就是说M在以原点为圆心，2为半径的圆上，但是以原点为圆心，2为半径的圆上的点不全是方程y＝eq \r(4－x2)的解．如N(0，－2)在圆上，但不满足方程y＝eq \r(4－x2)，所以以O(0，0)为圆心，2为半径的圆的方程不是y＝eq \r(4－x2)． (3)错误．方程x＋y－2＝0的解(－1，3)不在线段AB上，线段AB的方程是x＋y－2＝0(0≤x≤2)． 【例题15】(2024·北京延庆高二期末)方程x2－xy＋2y＝0表示的曲线经过的一点是(　　) A．(0，1) B．(1，1) C．(1，－1) D．(－1，1) 解析　当x＝1时可得y＝－1，所以方程x2－xy＋2y＝0表示的曲线经过的一点是(1，－1)，且其他点都不满足方程．故选C． 【例题16】 当k为何值时，方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2－4x－2y＋1＝0：)) (1)有一组实数解？并求出此解； (2)有两组不相等的实数解？ (3)没有实数解？ 解　(1)将两式消掉y，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0， 当k＝0时，y＝2，－4x＋1＝0，解得x＝eq \f(1,4)，方程组有一组实数解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝2；)) 当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2≠0，,Δ＝－16（k－1）＝0))时，原方程组有一组实数解，即当k＝1时，方程组有一组实数解，将k＝1代入原方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2－4x－2y＋1＝0，,y＝x＋2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.)) (2)当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2≠0，,Δ＝－16（k－1）>0))时，原方程组有两组不相等的实数解，即当k<1且k≠0时，原方程组有两组不相等的实数解． (3)当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2≠0，,Δ＝－16（k－1）<0))时，原方程组没有实数解，即当k>1时，原方程组没有实数解． 解　解法一：(直接法)设点B的坐标为(x，y)，由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1， 即OA的中点B的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(1,4)(x≠0)． 解法二：(定义法)设点B的坐标为(x，y)，由题意知CB⊥OA，OC的中点记为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，如图，则|MB|＝eq \f(1,2)|OC|＝eq \f(1,2)，所以点B在以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))为圆心，eq \f(1,2)为半径的圆上，故点B的轨迹方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(1,4)(x≠0)． 【例题17】设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA的中点B的轨迹方程． 解法三：(代入法)设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x，y)， 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1,2)，,y＝\f(y1,2)，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2x，,y1＝2y.)) 又因为(x1－1)2＋yeq \o\al(2,1)＝1，所以(2x－1)2＋(2y)2＝1， 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(1,4)(x≠0)． 解法四：(参数法)由题意，可知直线OA的斜率存在，设直线OA的方程为y＝kx，当k＝0时，B为(1，0)；当k≠0时，直线BC的方程为y＝－eq \f(1,k)(x－1)，联立直线OA，BC的方程，消去k得其交点轨迹方程为y2＋x(x－1)＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(1,4)(x≠0，1)．显然B(1，0)满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(1,4)，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋y2＝eq \f(1,4)(x≠0)为所求． 【例题18】曲线x2＋xy＋y2＝1(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．不具有对称性 解析　对于A，将点(x，－y)代入曲线方程得x2－xy＋y2≠1，所以曲线x2＋xy＋y2＝1不关于x轴对称，A错误；对于B，将点(－x，y)代入曲线方程得x2－xy＋y2≠1，所以曲线x2＋xy＋y2＝1不关于y轴对称，B错误；对于C，将点(－x，－y)代入曲线方程得x2＋xy＋y2＝1，所以曲线x2＋xy＋y2＝1关于原点对称，C正确，D错误．故选C． 1．(2024·北京丰台高二期中)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，则圆心C与半径r分别为(　　) A．C(1，－1)，r＝4 B．C(－1，1)，r＝4 C．C(1，－1)，r＝2 D．C(－1，1)，r＝2 解析　圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，即圆心C与半径r分别为C(－1，1)，r＝2．故选D． 2.命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中正确的是(　　) A．方程F(x，y)＝0的曲线是C B．方程F(x，y)＝0的曲线不一定是曲线C C．F(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 解析　曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，但以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确． 3．(2024·广东江门第二中学高二期中)已知点P(2，2)，点M是圆O：x2＋(y－1)2＝1上的动点，则|PM|的最大值是(　　) A．eq \r(5)－1 B．3－eq \r(5) C．2－eq \r(5) D．eq \r(5)＋1 解析　因为22＋(2－1)2＝5>1，所以点P为圆外一点，易知圆心为O(0，1)，半径为r＝1，所以|PO|＝eq \r(（2－0）2＋（2－1）2)＝eq \r(5)，则|PM|的最大值为|PO|＋r＝eq \r(5)＋1． 4.圆x2＋y2－6y＝0在点P(eq \r(5)，1)处的切线方程为(　　) A．eq \r(5)x－2y－3＝0 B．eq \r(5)x－2y＋3＝0 C．2x－eq \r(5)y－3＝0 D．2x－eq \r(5)y＋3＝0 解析　因为(eq \r(5))2＋12－6×1＝0，所以点P(eq \r(5)，1)在圆x2＋y2－6y＝0上，x2＋y2－6y＝0的圆心为A(0，3)，故kAP＝eq \f(3－1,0－\r(5))＝－eq \f(2\r(5),5)，设圆x2＋y2－6y＝0在点P(eq \r(5)，1)处的切线方程的斜率为k，故k·kAP＝－1，解得k＝eq \f(\r(5),2)，所以圆x2＋y2－6y＝0在点P(eq \r(5)，1)处的切线方程为y－1＝eq \f(\r(5),2)(x－eq \r(5))，变形得到2y－2＝eq \r(5)x－5，即eq \r(5)x－2y－3＝0．故选A． 5．直线l：y－1＝k(x－1)与圆C：x2＋y2－2y＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相切或相交 C．相交 D．相切 解析　直线l过定点A(1，1)，因为将点A的坐标代入圆C方程中，得12＋12－2×1＝0，所以点A在圆上．因为直线x＝1过点A且为圆的切线，又直线l的斜率存在，所以直线l与圆C一定相交．故选C． 6．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 解析　若方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则1＋1－4k>0，解得k<eq \f(1,2)．故选D． 7.与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2 B．(x－2)2＋(y－2)2＝2 C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2))) eq \s\up12(2)＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1 解析　将已知圆的方程化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6，6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝eq \f(|6＋6－2|,\r(2))＝5eq \r(2)．过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为eq \f(5\r(2)－3\r(2),2)＝eq \r(2)，则圆C2的半径为eq \r(2)．设C2的坐标为(x0，x0)，则eq \f(|x0＋x0－2|,\r(2))＝eq \r(2)，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心C2的坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2．故选B． 8．(2024·鞍山一中高二期中)已知直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．eq \r(7) B．2eq \r(7) C．eq \r(2) D．2eq \r(2) 解析　圆x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为r＝3，圆心(0，0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝eq \f(|2|,\r(2))＝eq \r(2)，故弦AB的长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(9－2)＝2eq \r(7)．故选B． 9．(2024·广州白云中学高二期中)过圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0内的点M(3，0)作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0 C．x＋4y－3＝0 D．x－4y－3＝0 解析　由于32＋02－2×3＋4×0－4＝－1<0，故点M(3，0)在圆内，x2＋y2－2x＋4y－4＝0化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)，半径为3．如图，设CH⊥l，垂足为H，设直线l和圆的交点是A，B，根据垂径定理，|AB|＝2eq \r(9－|CH|2)，为使得|AB|最小，必须使|CH|最大，显然|CH|≤|CM|＝2eq \r(2)，H，M重合时取等号，此时CM⊥l，由于kCM＝1，所以直线l的斜率为－1，故直线l的方程为y－0＝－(x－3)，即x＋y－3＝0．故选A． 10.(多选)下列说法错误的是(　　) A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5 B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b C．圆(x－eq \r(3))2＋(y＋eq \r(2))2＝2的圆心为(eq \r(3)，－eq \r(2))，半径为eq \r(2) D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为eq \r(5) 解析　圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为eq \r(5)，A错误；圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为|b|，B错误；易知C正确；圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(－2，－2)，半径为eq \r(5)，D错误．故选ABD． 11．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(4，－3) B．圆M的半径为25 C．点(2，－3)在圆M的内部 D．圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8，0) 解析　圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，故圆M的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，A正确，B错误；22＋(－3)2－8×2＋6×(－3)＝－21<0，故点(2，－3)在圆M的内部，C正确；令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8，则圆M与x轴正半轴的交点坐标为(8，0)，D正确．故选ACD． 12．曲线y＝－eq \r(1－x2)与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)的交点个数是________． 解析　y＝－eq \r(1－x2)即x2＋y2＝1(y≤0)．对于y＝－|ax|，当a≥0时，y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ax，x≥0，,ax，x＜0，))当a＜0时，y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax，x≥0，,－ax，x＜0.))画出它们在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，由图可知曲线y＝－eq \r(1－x2)与曲线y＋|ax|＝0(a∈R)有2个交点． 13.若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq \r(2)，则直线l的斜率的取值范围是_____________________． [2－eq \r(3)，2＋eq \r(3)] 解析　圆x2＋y2－4x－4y－10＝0整理为(x－2)2＋(y－2)2＝(3eq \r(2))2，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3eq \r(2)，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq \r(2)，则圆心到直线的距离应小于等于eq \r(2)，即eq \f(|2a＋2b|,\r(a2＋b2))≤eq \r(2)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up12(2)＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＋1≤0．∴－2－eq \r(3)≤eq \f(a,b)≤－2＋eq \r(3)．又直线l的斜率k＝－eq \f(a,b)，∴2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，即直线l的斜率的取值范围是[2－eq \r(3)，2＋eq \r(3)]． 14.已知圆M：x2＋y2－2x－2y－6＝0，直线l过点P(3，2)且与圆M交于A，B两点． (1)当|AB|最小时，求直线l的方程； (2)当|AB|＝4时，求直线l的方程． 解　(1)圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝8，圆心M(1，1)，半径r＝2eq \r(2)， 当直线l与PM垂直时，|AB|最小，直线PM的斜率kPM＝eq \f(1,2)，所以此时直线l的斜率为－2，直线l的方程为y－2＝－2(x－3)，即2x＋y－8＝0． 15．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点． (1)求圆A的方程； (2)当|MN|＝2eq \r(19)时，求直线l的方程． 解　(1)设圆A的半径为R， 由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， ∴R＝eq \f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq \r(5)． ∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20． (2)由|MN|＝2eq \r(19)，知点A到直线l的距离d＝eq \r(R2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MN|,2)))\s\up12(2))＝eq \r(20－19)＝1． ①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，符合题意； ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0． 则由d＝eq \f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq \f(3,4)， ∴直线l：3x－4y＋6＝0． 故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0． 16.求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： (1)过原点；(2)有最小面积． 解　设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0， 即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0． (1)∵此圆过原点，∴1＋4λ＝0，∴λ＝－eq \f(1,4)， 故所求圆的方程为x2＋y2＋eq \f(3,2)x－eq \f(17,4)y＝0． (2)将圆系方程化为标准方程得(x＋1＋λ)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(λ－4,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(5,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(8,5))) eq \s\up12(2)＋eq \f(4,5)． 要使其面积最小，则圆的半径取最小值，此时λ＝eq \f(8,5)． ∴满足条件的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(13,5))) eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(6,5))) eq \s\up12(2)＝eq \f(4,5)． $$