四川省成都市武侯区北京第二外国语学院成都附属中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年四川省成都市北京第二外国语学院成都附中九年级(下)月考数学试卷(3月份) 一、选择题:本题共8小题,每小题4分,共32分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.在,,0,这四个数中,最小的数为( ) A. B. C. 0 D. 2.2022年世界杯在卡塔尔举办,为了办好这届世界杯,人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施,数据2200亿用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 4.在某校九年级模拟考试中,1班的六名学生的数学成绩如下:104,116,110,118,116,下列关于这组数据的描述不正确的是( ) A. 众数是116 B. 中位数是113 C. 平均数是109 D. 方差是86 5.如图,在中,A、B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是,以点C为位似中心,在x轴的下方作的位似图形,使它与的相似比为2:1,设点B的横坐标是a,则点B的对应点的横坐标是( ) A. B. C. D. 6.如果一个扇形的弧长和半径均为2,则此扇形的面积为( ) A. B. C. 4 D. 2 7.为扎实推进“五育”并举工作,加强劳动教育,东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程.课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉,用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉,第二批面粉的采购量是第一批采购量的倍,但每千克面粉价格提高了元.设第一批面粉采购量为x千克,依题意所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 8.如图,抛物线的对称轴为直线,且经过点,下列结论:①如果点和都在抛物线上,那么;②;③的实数;④;其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题:本题共10小题,每小题4分,共40分。 9.因式分解:_. 10.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与双曲线交于A,B两点,已知,,则方程的根是_. 11.如图,已知AB是的弦,,,垂足为C,交于点D,若P为上一点,连接AP、DP,则的度数是_. 12.在平面直角坐标系中,已知点与点关于原点对称,则_. 13.如图,中,,,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交BA的延长线于点D,分别以点C,D为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点E,射线BE交AC于点F,则CF的长为_; 14.若,则代数式的值等于_. 15.已知关于x的分式方程的解为非负数,则m的取值范围是_. 16.一枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.连续掷两次骰子,在骰子向上的一面上,第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是_. 17.已知:如图,在中,,,,点N是边AC的中点,点M是射线BC上的一动点不与B,C重合,连接MN,将沿MN翻折得,连接BE,CE,当线段BE的长取最大值时,的值为_. 18.如图,在中,,,,点E为BC上的动点,点F为边AC的中点,点D为内一动点,且满足,则的最小值是_. 三、解答题:本题共8小题,共78分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 计算:; 解不等式组: 20.本小题8分 我县实施新课程改革后,学生的自主学习、合作交流能力有很大提高.张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况,对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査,并将调査结果分成四类,A:特别好;B:好;C:一般;D:较差;并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题: 本次调查中,张老师一共调査了_名同学,其中C类女生有_名,D类男生有_名; 将上面的条形统计图补充完整; 为了共同进步,张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率. 21.本小题8分 无人机在实际生活中的应用广泛,如图所示,某人利用无人机测大楼的高度BC,无人机在空中点A处,测得点A与地面距离80米,测得C点的俯角为,控制无人机水平移动至点D,测得米,楼顶C点的俯角为,点A、B、C、D在同一平面内,求大楼的高度 22.本小题10分 如图,已知中,,AC、BD交于点E,连接 若,,求CA的长; 延长AD到点F,使得,连接求证:CF是的切线. 23.本小题10分 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A,两点,一次函数的图象交y轴于点 求点C的坐标和反比例函数的表达式; 如图,直线AO交反比例函数图象一象限分支于点F,连接CF,作射线轴.求证射线CG平分; 目前,数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个,某校兴趣小组研究后定义:三角形内有一点,将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段,若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角,则称该点为该三角形的“蓉心”.点D、E分别是反比例函数一、三象限分支上的点,连接AD、AE、DE,若点B是的“蓉心”,求点D的坐标. 24.本小题8分 小张从事鱼卷生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店的客户,当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购.2019年年底小张的“熟客”们共向小张采购了5000箱鱼卷,到2021年底“熟客”们采购了7200箱. 求小张的“熟客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率; 年底小张“熟客”们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的,由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,决定2022年底是否在网上出售鱼卷,若没有在网上出售鱼卷,则按2021年的价格出售,每箱利润为15元,预计销售量与2021年持平;若计划在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调1至5元,且每下调1元销售量可增加1000箱,求小张在2022年底能获得的最大利润是多少元? 25.本小题10分 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线交x轴的负半轴于点A,交x轴的正半轴于点B,交y轴的正半轴于点C,且 求a的值; 点D为抛物线的顶点,点P在第三象限的抛物线上,轴,PQ交直线BD于点Q,设点P的横坐标为t,线段PQ的长为d,求d与t的函数关系式; 在的条件下,连接PB、PA,PB交y轴于点E,连接DE、AE,将线段DE绕点D逆时针旋转得到线段DF,射线FB交y轴于点K,当时,求点P的坐标. 26.本小题12分 在 ABCD中,,点E在CD上,点G在AB上,点F在BD的延长线上,连接EF,DG,, 如图1,当时,请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系_; 如图2,当时,写出线段AD,DE和DF之间的数量关系,并说明理由; 在的条件下,当点G是AB的中点时,连接BE,求的值. 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解:在,,0,这四个数中,, 故最小的数为: 故选: 根据正数大于0,0大于负数,可得答案. 本题考查了实数大小比较,任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小. 2.【答案】D 【解析】解:2200亿 故选: 用科学记数法表示较大的数时,一般形式为,其中,n为整数,且n比原来的整数位数少1,据此判断即可. 此题主要考查了用科学记数法表示较大的数,一般形式为,其中,确定a与n的值是解题的关键. 3.【答案】D 【解析】解:,故选项A错误,不符合题意; 不能合并,故选项B错误,不符合题意; ,故选项C错误,不符合题意; ,故选项D正确,符合题意; 故选: 根据单项式除以单项式可以判断A;根据合并同类项的方法可以判断B;根据积的乘方可以判断C;根据平方差公式可以判断 本题考查整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 4.【答案】D 【解析】解:将这组数据重新排列为90、104、110、116、116、118, 所以这组数据的众数是116,中位数为,平均数为, 则这组数据的方差为, 故选: 将这组数据重新排列,再分别依据众数、中位数、平均数和方差的定义求解即可. 本题主要考查方差,解题的关键是掌握众数、中位数、平均数和方差的定义. 5.【答案】A 【解析】【分析】 设点的横坐标为x,用a、x表示出点B、C,点、C的水平的距离,再根据位似比列式计算即可. 本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质,根据位似比的定义,利用两点间的水平距离之比等于对应边的比列出方程是解题的关键.、 【解答】 解:设点的横坐标为x, 则点B、C间的水平距离为,点、C间的水平距离为, 放大到原来的2倍得到, , 解得:, 故选: 6.【答案】D 【解析】解:, 故选: 根据扇形的面积弧长半径求出即可. 本题考查了扇形面积的计算,主要考查了扇形面积的求算方法.面积公式有两种: 利用圆心角和半径:; 利用弧长和半径:针对具体的题型选择合适的方法. 7.【答案】A 【解析】解:由题意得: 故选: 根据第二批面粉比第一批面粉的每千克面粉价格提高了元列方程即可. 本题考查由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是明确题意,找出等量关系,列出相应的分式方程. 8.【答案】D 【解析】解:对称轴为直线, , , 经过点, , , , 由图象可知,; ①将点和分别代入抛物线解析式可得,, ; ②由图象可知,顶点在第一象限,开口向下的二次函数图象与x轴有两个不同的交点, ; ③由图象可知,当时,函数有最大值1, 对任意m,则有, ; ④:对称轴为直线, , , ; ①②③④正确, 故选: 由图象可求,;由对称轴可求;由函数经过点,可求;由图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点,;由图象可知,当时,函数有最大值1;结合这些所求即可判定每一个结论. 本题考查二次函数的性质;熟练掌握二次函数的图象及性质,数形结合解题是关键. 9.【答案】 【解析】解:原式, 故答案为: 原式提取3,再利用完全平方公式分解即可. 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 10.【答案】或 【解析】解:由题意,由方程的根就是直线与双曲线的交点的横坐标, 又直线与双曲线的交点是,, 方程的根为或 故答案为:或 依据题意,由方程的根就是直线与双曲线的交点的横坐标,进而可以得解. 本题主要考查了一次函数、反比例函数与方程的根的意义,解题时要熟练掌握并理解. 11.【答案】 【解析】解:,OD为半径, , , , , 故答案为: 根据垂径定理得出,进而求出,再根据圆周角定理可得. 本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识,掌握垂径定理是解答本题的关键. 12.【答案】 【解析】解:点与点关于原点对称, 则, 解得:, 故答案为: 根据关于原点对称点的坐标特征,求解即可. 本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时,横、纵坐标均互为相反数这一特征,熟练掌握该特征是解题的关键. 13.【答案】 【解析】解:如图所示,过点F作于点G, 根据作图可得AE是的角平分线, , 设, 又中,,, , 则是等腰直角三角形, , , 即, 解得:, , 故答案为: 过点F作于点G,根据作图可得AE是的角平分线,则,设,勾股定理得出,根据,建立方程,解方程即可求解. 本题考查了作角平分线,角平分线的性质,勾股定理,等腰直角三角形的性质,熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键. 14.【答案】7 【解析】解:当时, 时, 原式 故答案为: 根据平方差公式进行化简,然后将代入原式即可求出答案. 本题考查整式的加减运算,解题的关键是正确化简原式,本题属于基础题型. 15.【答案】且 【解析】解:关于x的分式方程化为整式方程为:, 解得:,且, 方程的解为非负数, ,且, 解得:且, 故答案为:且 根据题意求出分式方程的解,然后根据方程的解为非负数进行求解. 本题考查了分式方程的解以及一元一次不等式的解法,熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键. 16.【答案】 【解析】解:列表得: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表知共有36种等可能结果,其中第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的有3种结果, 所以第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率为, 故答案为 列举出所有情况,看第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的情况占总情况的多少即可. 本题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 17.【答案】 【解析】解:如图,由翻折可知:, 所以点E在以N为圆心,NC长为半径的圆上,点B,N,E共线时,如图所示:此时BE最大, 在中,, ,, , 点N是边AC的中点, , , 由翻折可知:MN是CE的垂直平分线, , 延长GN交AB于点D, , 平分, , 过点D作, , , 在和中, , , , 在中,,, , , 在中,,根据勾股定理得: , , 解得, 在中,,,根据勾股定理得: , , , ,, , , 故答案为: 由翻折可知:,所以点E在以N为圆心,NC长为半径的圆上,点B,N,E共线时,如图所示:此时BE最大,由翻折可知:MN是CE的垂直平分线,延长GN交AB于点D,可得DN平分,过点D作,然后证明,可得,根据勾股定理即可解决问题. 本题考查了翻折变换,勾股定理,轴对称的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,解直角三角形,解决本题的关键是掌握翻折的性质. 18.【答案】 【解析】解:在中,,,, , , , 以AB为底边,在异于点C的另一侧作等腰,使,则点D在上运动, ,, , 作点F关于BC的对称点,连接, 当点O、D、E、四点共线时,有最小值, 点F为边AC的中点, , , 在中,, 的最小值为, 故答案为: 以AB为底边,在异于点C的另一侧作等腰,使,则点D在上运动,然后作点F关于BC的对称点,连接,利用轴对称的性质及勾股定理求解. 本题考查最短路线问题,理解轴对称的性质,分析点D的运动轨迹是解题关键. 19.【答案】解:原式 解不等式①得: 解不等式②得: 则不等式组的解集为 【解析】利用绝对值的性质,零指数幂的性质,特殊角的三角函数值和负指数幂的定义来进行化简,得出答案. 分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可. 本题考查实数混合运算和解一元一次不等式组,解题关键是熟知绝对值、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值定义,及解不等式的方法. 20.【答案】 如图所示: 根据张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习,可以将A类与D类学生分为以下几种情况: 男A 女A1 女A2 男D 男A男D 女A1男D 女A2男D 女D 女D男A 女A1女D 女A2女D 共有6种结果,每种结果出现可能性相等, 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为: 一男一女 【解析】解:, 女生:, , ,男生:, 故答案为:20,2,1; 见答案 见答案 由扇形统计图可知,特别好的占总数的,人数有条形图可知3人,所以调查的样本容量是:,即可得出C类女生和D类男生人数; 根据中所求数据得出条形图的高度即可; 根据被调査的A类和D类学生男女生人数列表即可得出答案. 此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 21.【答案】解:延长CB交AD于点E, 根据题意,得米,,,, 在中,, 在中,, , 解得, 米, 米, 即大楼的高度BC为71米. 【解析】延长CB交AD于点E,分别在和中,利用正切定义求出,,可构建关于DE的方程求解即可. 本题考查的是解直角三角形的实际应用,理解仰角与俯角的含义是解本题的关键. 22.【答案】解:, , , ∽, , ,, ; 证明:如图,连接OC, , , , ,O是的圆心, , , , , , , , , 是半径, 是的切线. 【解析】证明∽,利用相似三角形的性质即可求解; 连接OC,先利用垂径定理的推论求得,则,再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得,所以,所以,从而证得,进而得出结论. 本题考查了相似三角形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理,切线的判定,利用三角形外角的性质得出是解题的关键. 23.【答案】解:将代入,得, , 将代入,得, 解得:, 反比例函数的表达式为; 证明:联立方程得:, 解得:,, , 直线AO的解析式为, 联立方程得, 解得:,, , 如图1, 过点F作轴,交CG于点K,交AC于点H, 则,, 射线轴, , ,, , , , 即射线CG平分; 解:如图1, 当时,此时BE的解析式为:, 由得,,, 当时,,此时, 若EB平分,设ED交AB于M, , , 的解析式为:, 由得,,, 当时,, , 如图2, 若EB平分时,设EB的延长线交AD于点N, , 的解析式为:, 由得,,, 当时,, , 如图3, 当点,EB平分时, 直线EM的解析式为:, 此时点D不存在, 如图4, 当,AB平分时,设AD交AB的延长线于W,, 的解析式为:,此时D点不存在; 如图5, 当,EB平分或BD平分,这种情形不存在, 综上所述:或 【解析】将代入,得m的值,从而,进一步得出结果; 过点F作轴,交CG于点K,交AC于点H,先求出F的坐标,进而得出H点坐标,进一步得出结论; 当时,此时BE的解析式为:,由得,,,进而得出点,若EB平分,设ED交AB于M,可得出,进而得出ED的解析式为:,进一步得出结果;若EB平分时,设EB的延长线交AD于点N,可得出,同上可求得结果,再讨论其他情况不存在. 本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式,等腰三角形的性质等知识,解决问题的关键是分类推论. 24.【答案】解:设小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为a, 则, 整理得:, 解得:负根不合题意舍去, 答:小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为; 年底小张熟客们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的, 年小张年总销量为:箱, 设2022年总利润为w元,价格下调x元, 则, ,, 当时,w有最大值,最大值为14400, 所以小张在2022年底能获得的最大利润是144000元. 【解析】设小张的“熟客”们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为a,则可得方程,再解方程即可; 先求解2021年的总销量为9000箱,设2022年总利润为w元,价格下调x元,则可建立二次函数为,再利用二次函数的性质求解最大值即可. 本题考查的是二次函数的应用,确定相等关系建立二次函数解析式是解题关键. 25.【答案】解:当时,, 解得,, ,, , , , , , 解得; , , , 设直线BD的解析式为, , 解得, 直线BD的解析式为, 点P的横坐标为t, , 轴, , ; 当E点在K点上方时,连接AD,DB,延长AE交BK于点G, ,,, ,,, , 是直角三角形,, 由旋转可知, , ,, ≌, , , , 点A、G、B、D四点共圆, , , , , , , 过点A作交PB于点Q,过点Q作轴交于G点,过点P作轴交于H点, , ,, , ≌, ,, , ,, 设直线BP解析式, , 解得, 直线BP的解析式为, 当时,-, 解得, , , 解得舍或, ; 当E点在K点下方时,延长BK交AE于点T,交AP于点M,连接AD,DB, 同理可知≌, , , , 点A、T、B、D四点共圆, , , , , 过点P作交AE的延长线于W点,过点P作轴交x轴于点L,过点W作交于S点, , , ≌, ,, , 直线BP的解析式为, 当时,, , 直线AE的解析式为, , 解得舍或, ; 综上所述:P点坐标为或 【解析】当时求出A、B点坐标,再由,求出C点坐标,根据,求出a的值即可; 求出直线BD的解析式为,则,,可得; 分两种情况讨论:当E点在K点上方时,当E点在K点下方时,分别得到,,分别求P点坐标即可. 本题考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,直角三角形的性质,三角形全等的判定及性质是解题的关键. 26.【答案】 【解析】解:当时,,,在AD上截取,连接HG,如图: 在 ABCD中,, , , ,, ,,, ≌, ,, , , , 故答案为:; ,理由如下: 过点G作交AD于点M,如图: 当时,, ,, ,, , , ∽, , ,, , , , ; 过点E作于N,如图: ,; , 设, 点G是AB的中点,, , , , , , , , , ,, , 当时,,,在AD上截取,连接HG,证明≌,推出,,得到; 当时,得到,,过点G作交AD于点M,证明∽,推出,得到,,由此得到,进而推出; 由得,设,由点G是AB的中点,得到,推出,,过 E作于N,根据角的性质及勾股定理求出,,即可得到,根据三角函数定义即可得到答案. 本题考查相似三角形综合应用,涉及锐角三角函数,全等三角形的判定与性质,含特殊角的直角三角形三边关系等知识.解题的关键是作辅助线,构造全等三角形和相似三角形解决问题. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$