广东省深圳市福田区华富中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.已知，下列式子一定成立的是(    ) A. B. C. D. 3.等腰三角形的一个角是，它的底角度数为(    ) A. B. C. 或 D. 或 4.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是边形． A. 三 B. 四 C. 五 D. 六 5.下列命题中，假命题的是(    ) A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 6.某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是(    ) A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 8.已知，中，，，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上 任意一点，，交直线BC于F点为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点若，，则CE的长为(    ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.因式分解：______. 10.如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解是______. 11.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，，，则的度数是______. 12.如图，在▱ABCD中，小平行四边形沿对角线AC平移两次就到了图中的位置阴影部分，若小平行四边形的面积是2，则▱ABCD面积是______. 13.如图在中，，，点D为AB的中点，且，的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将沿在BC上，F在AC上折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是______. 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题8分 计算 解不等式组： 解分式方程： 15.本小题6分 化简：，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值. 16.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，和关于点D成中心对称. 画出对称中心D，并写出点D的坐标； 画出绕点O逆时针旋转后的并标明对应字母； 画出与关于点O成中心对称的并标明对应字母. 17.本小题8分 在中，，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点 试说明AF与DE互相平分； 若，，求DO的长． 18.本小题8分 某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． 问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ 该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 19.本小题11分 定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”.如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”.又如求的等和积分式，可设其为B，由定义有，去分母得，解得解答以下问题： 判断分式与分式是不是等和积分式，说明理由； 求分式的“等和积分式”； ①观察的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式”______； ②用发现的规律解决问题： 若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值. 20.本小题12分 【课本再现】 如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动.则下列结论正确的是______填序号即可 ①≌； ②； ③四边形OEBF的面积总等于； ④连接EF，总有 【类比迁移】 如图2，矩形ABCD的中心O是矩形的一个顶点，与边AB相交于点E，与边CB相交于点F，连接EF，矩形可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 如图3，在中，，，，直角的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，求线段EF的长度. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2.【答案】C  【解析】解：A、不等式两边同时减去1，不等号方向不变，即，故这个选项不符合题意； B、当时，，故这个选项不符合题意； C、不等式两边同时乘以，不等号方向不变，式子成立，故这个选项符合题意； D、不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，即；不等式两边同时加上3，不等号方向不变，即，故这个选项不符合题意． 故选： 利用不等式的性质判断即可． 本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变． 3.【答案】D  【解析】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角是时， 它的底角度数； 当等腰三角形的一个底角是时，另一个底角也是， 它的顶角度数； 综上所述：它的底角度数为或， 故选： 分两种情况：当等腰三角形的顶角是时；当等腰三角形的一个底角是时；然后分别进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：设多边形的边数为 根据题意得：， 解得： 故选： 任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为和多边形的内角和公式是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：A、矩形的对角线相等，是真命题； B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题； D、对角线平分、相等且互相垂直的四边形是正方形，是假命题； 故选： 根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的对角线进行判断即可． 本题考查了从对角线来判断特殊四边形的方法：对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形为菱形；对角线互相平分且相等的四边形为矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．也考查了真命题与假命题的概念． 6.【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程． 设原计划每天挖x米，则实际每天挖米，由题意可得等量关系：原计划所用时间-实际所用时间，根据等量关系列出方程即可． 【解答】 解：设原计划每天挖x米，由题意得： 7.【答案】B  【解析】解：设k是正整数， ， 除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意； ， 除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意， B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意． 故选： 设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案． 本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】【分析】 连接DG，易证G是的斜边CH的中点，可得，进一步可知，证明≌，可得，根据勾股定理，可得即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等相关知识，本题综合性较强． 【解答】 解：连接DG，如图所示： ， ， ，G是EF的中点， ， 在中，，，且CD为边AB上的中线， ，， ，， ， ， ， ， 是CH的中点， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ≌， ， 在中，根据勾股定理得， 故选： 9.【答案】  【解析】解： ， 故答案为： 先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题主要考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：当时，， 即不等式的解集为 故答案为 观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于x的不等式的解集为 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 11.【答案】  【解析】解：是BD的中点，E是AB的中点， 是的中位线， ， 同理，， ， ， ， 故答案为： 根据三角形中位线定理得到，，在，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 12.【答案】18  【解析】解：过A作，过F作， 在▱ABCD中，小平行四边形沿对角线AC平移两次就到了图中的位置阴影部分， ，， 小平行四边形的面积是2， ， ， 故答案为： 过A作，过F作，根据平移可得，，然后再根据平行四边形的面积公式可得▱ABCD面积． 此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式． 13.【答案】  【解析】解：如图，连接OB、OC， ，AO为的平分线， ， 又， ， 是AB的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， ， 点O在BC的垂直平分线上， 又是AB的垂直平分线， 点O是的外心， ， 将沿在BC上，F在AC上折叠，点C与点O恰好重合， ， ， 在中， 故答案为： 连接OB、OC，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点O是的外心，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 14.【答案】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：； ， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时， 是原分式方程的解．  【解析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可； 先将分式方程化为整式方程求解，再检验方程的解即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，掌握相关解法是解题关键． 15.【答案】解：原式 ， ，2，4，， 或3， 当时，原式  【解析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的性质是关键． 16.【答案】解：点坐标 如图，画出； 如图，画出  【解析】连接、，交点即为点D； 分别作出点、、绕点O逆时针旋转后的对应点，然后把对应点顺次连接即可得到； 分别作出点、、关于点O成中心对称的对应点，然后把对应点顺次连接即可得到 本题主要考查了中心对称、旋转作图，解题的关键是熟练掌握中心对称和旋转的性质． 17.【答案】解：、F分别是BC、AC的中点， 是的中位线， 且 又，即， ，， 四边形AEFD是平行四边形， 与DE互相平分； 在中，，，， 由勾股定理得 又由知，，且， 在中，，，， 由勾股定理得  【解析】结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分； 根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度． 本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 18.【答案】解：设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元． 设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个， 由题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．  【解析】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； 设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可． 19.【答案】  【解析】解：是； ， 分式与分式是“等和积分式”； 设分式的“等和积分式”为A， 则， ， ， 即分式的“等和积分式”为； ①分式的“等和积分式”为，理由如下：设分式的“等和积分式”为M， 则， ， ； ②由规律可得的“等和积分式”为， 与互为“等和积分式”， ， 由得：， 将代入， 得：， 解得， 根据“等和积分式”的定义进行判断； 设分式的“等和积分式”为A，由“等和积分式”的定义可得，由此可解； ①观察互为“等和积分式”中分子、分母的关系，可得答室；②利用规律写出的“等和积分式”，与比较，得出关于m，n的方程组，解方程组即可． 本题主要考查分式的混合运算，属于创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算法则是解决本题的关键． 20.【答案】①②③④  【解析】解：如图1中，连接 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， ≌，故①正确， ，故②正确， ，故③正确， ， ， ，， ， ，故④正确， 故答案为：①②③④； 猜想：，理由如下： 连接AC，是矩形ABCD的中心， 点O是AC的中心． ， 延长EO交CD于点G，连接FG， 在矩形ABCD中，，， ，， ≌， ，， 在矩形中，， ， 在中， ； 设 ①当点E在线段AC上时， ， 在中，， ， 又由易知， ， 解得 ②当点E在CA延长线上时，同理可证 ， 又在中， 解得 故EF的长度为或 证明≌，可得结论； 猜想：，连接AC，≌，再利用勾股定理证明即可； 设分两种情形：①当点E在线段AC上时，②当点E在CA延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，就提到过房间数正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$