吉林省长春市第五十二中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷

2023-2024学年吉林省长春五十二中九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是(    ) A. B. C. D. 2.  3.计算的结果，正确的是(    ) A. B. C. D. m 4.如图是一个粉笔盒的表面展开图，若字母A表示粉笔盒的上盖，B表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是(    ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5.如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.如图①，一个容量为500mL的杯子中装有200mL的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在锐角三角形ABC中，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交AC于点D；②分别以点A、D为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点E；③作射线BE，交AC于点若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点A，直线与函数的图象交于点B，与x轴交于点若点B的横坐标是点A的横坐标的2倍，则k的值为(    ) A. B. 2 C. 1 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.分解因式：__________. 10.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是______. 11.将一把直尺和一块含角的直角三角板ABC按如图所示的位置摆放．若，则的大小为______度． 12.如图，树AB在路灯O的照射下形成树影AC，若路灯高米，点C、A、P在同一条直线上，点A恰为CP的中点，则树AB的高为______米． 13.中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形如图，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则______. 14.如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高米，现要水半放置横截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的最大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为______米. 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题6分 先化简，再求值：，其中 16.本小题6分 如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是神舟十三号、十四号和十五号纪念图章，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀.小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽到图案上纪念图章相同的概率. 17.本小题6分 端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进A、B两种品牌的粽子进行销售，据了解，用6000元购买A品牌粽子的数量比用4800元购买B品牌粽子的数量多80袋，且每袋B品牌粽子的价格是每袋A品牌粽子价格的倍，求每袋A品牌粽子的价格． 18.本小题7分 如图，在四边形ABCD中，，，的平分线交BC于点E，连结 求证：四边形ABED是菱形． 连结若，，，则的面积是______. 19.本小题7分 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． 在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使 在图②中的线段AC上找一点E，连结BE，使 在图③中的线段AC上找一点F，连结BF，使 20.本小题7分 为了解我国2022年25个地区的第一季度快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入单位；亿元的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息. 排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：，，，， 其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下： 快递业务收入单位：亿元 频数 6 10 1 3 第一季度快递业务收入的数据在这一组的是：，，，，，，，，， 排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下： 前5位的地区 其余20个地区 全部25个地区 平均数单位：亿元 n 中位数单位；亿元 m 根据以上信息，回答下列问题： 表中m的值为______. 在下面的3个数中，与表中n的值最接近的是______填写序号 ①30 ②85 ③150 根据中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务总收入约为______亿元. 21.本小题8分 世界上大部分国家都使用摄氏温度，但仍有一些国家和地区使用华氏温度两种计量之间有如下对应： 摄氏温度 0 10 20 30 40 50 华氏温度 32 50 68 86 104 122 在平面直角坐标系中描出相应的点． 观察这些点发现，这些点是否在一条直线上，如果在一条直线上，求这条直线所对应的函数表达式． 求华氏0度时所对应的摄氏温度． 华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果有；请求出此时的摄氏温度；如果没有，请说明理由． 22.本小题9分 [问题原型]如图①，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AC为直径作求证：点B、D在上． 请完成上面问题的证明，写出完整的证明过程． [发现结论]矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上． [结论应用]如图②，已知线段，以线段AB为对角线构造矩形求矩形ACBD面积的最大值． [拓展延伸]如图③，在正方形ABCD中，，点E、F分别为边AB、CD的中点，以线段EF为对角线构造矩形EGFH，矩形EGFH的边与正方形ABCD的对角线AC交于M、N两点，当MN的长最大时，矩形EGFH的面积为______. 23.本小题10分 如图，在中，，，动点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作CA的垂线交射线CB于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于AB的对称点设点P的运动时间为t秒 ______； 求MN的长．用含t的代数式表示 取PC的中点 ①连结MQ、PN，当点M在边BC上，且时，求MN的长． ②连结NQ，当时，直接写出t的值． 24.本小题12分 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线是常数经过点，点A的坐标为，点B在该抛物线上，横坐标为其中 求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； 当点B在x轴上时，求点A的坐标； 该抛物线与x轴的左交点为P，当抛物线在点P和点B之间的部分包括P、B两点的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值； 当点B在x轴上方时，过点B作轴于点C，连结AC、BO，若四边形AOBC的边和抛物线有两个交点不包括四边形AOBC的顶点，设这两个交点分别为点E、点F，线段BO的中点为D，当以点C、E、O、或以点C、F、O、为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：的绝对值是； B.的绝对值是； C.的绝对值是； D.的绝对值是 因为， 所以C选项的绝对值最小． 故选 实际克数最接近标准克数的是绝对值最小的那个数． 本题主要考查正负数的绝对值的大小比较．解决本题的关键是求出各项的绝对值． 2.【答案】    【解析】  3.【答案】B  【解析】解：根据同底数幂的乘法，得 故选： 根据同底数幂的乘法法则解决此题． 本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：根据题意可得， 若字母A表示粉笔盒的上盖，B表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是③． 故选： 应用几何体的展开图及应用展开图还原几何体的方法进行求解即可得出答案． 本题主要考查了几何体的展开图，熟练应用几何体的展开图及应用展开图还原几何体的方法进行求解是解决本题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：过五边形的一个顶点作对角线，有条对角线，所以至少要钉上2根木条． 故选： 三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，作出图形更形象直观． 6.【答案】A  【解析】解：水的体积为，四颗相同的玻璃球的体积为， 根据题意得到： 故选： 水的体积个玻璃球的体积 本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意． 7.【答案】C  【解析】解：由作法得， ， ， 故选： 利用基本作图可判断，然后利用直角三角形的两锐角互余可计算出的度数． 本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 8.【答案】D  【解析】解：设点A横坐标为a，则点B横坐标为2a， 点A在直线上，点B在直线上， 点，点 将代入中得， ， 将代入中得， ， ， 解得舍或， 故选： 设点A横坐标为a，则点B横坐标为2a，用含a代数式表示k，然后解方程求解． 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数式解析式，掌握函数与方程的关系． 9.【答案】  【解析】解： 故答案为： 本题考查了利用平方差公式进行因式分解， 先把式子写成，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式即可． 10.【答案】  【解析】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得： 故答案为： 由于关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，可知其根的判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可． 本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况． 11.【答案】10  【解析】解：由题意知， ， ， ， 故答案为： 由得，再根据三角形的外角性质可得答案． 本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质． 12.【答案】  【解析】解：由题意得：， ∽， ， 点A为CP的中点，米， 米， 故答案为： 证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 本题考查的是相似三角形的判定和性质，证明∽是解题的关键． 13.【答案】2  【解析】解：由已知可得， 大正方形的面积为， 设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b， 则，， 解得，或，不合题意，舍去， ， 故答案为： 根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得的值． 本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长． 14.【答案】  【解析】解：建立如下的坐标系，则点， 设大小正方形的边长分别为2m，n，则点B、C的坐标分别为：、， 设抛物线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 将点B、C的坐标代入上式得：， 解得：不合题意的值已舍去， 故答案为： 用待定系数法求出抛物线的表达式，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解． 本题考查的是二次函数的应用，求出抛物线的表达式是解题的关键． 15.【答案】解：原式 当时， 原式   【解析】先展开，再合并同类项，化简后将a的值代入计算即可． 本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则． 16.【答案】解：根据题意，列表如下： 共有9种等可能的结果，小明两次抽到图案上纪念图章相同的结果有3种， 小明两次抽到图案上纪念图章相同  【解析】列树状图求得结果即可． 本题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17.【答案】解：设每袋A品牌粽子的价格为x元，则每袋B品牌粽子的价格为元， 依题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每袋A品牌粽子的价格为25元．  【解析】设每袋A品牌粽子的价格为x元，则每袋B品牌粽子的价格为元，利用数量=总价单价，结合用6000元购买A品牌粽子的数量比用4800元购买B品牌粽子的数量多80袋，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每袋A品牌粽子的价格． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18.【答案】证明：， ， 平分， ， ， ， ， ，即， 四边形ABED是平行四边形， 又， ▱ABED是菱形； 如图，连接BD， 四边形ABED是菱形， ，， ， ， 的面积， 故答案为  【解析】【分析】 由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得，且，可得结论； 由菱形的性质可得，，可求，即可求解． 本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键． 19.【答案】解：如图1中，点D即为所． 如图2中，点E即为所求． 如图3中，点F即为所求．   【解析】在边长上取一点D，使得，连接 线段AB的垂直平分线与AC的交点E即为所求． 取格点M，N，连接MN交AC于点F，使得，连接BF即可． 本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20.【答案】②  340  【解析】解：将这20个地区的第一季度快递业务收入从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数， 故答案为：； ， 故答案为：②； 亿元， 故答案为： 根据中位数的定义进行计算即可； 由平均数的计算法则进行计算即可； 利用中的结果进行计算即可． 本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的定义及计算方法是正确解答的关键． 21.【答案】解：如图， 这些点在一条直线上． 设这条直线所对应的的函数表达式为 将、代入， 得，解得， 这条直线所对应的函数表达式为：； 令，得解得， 华氏0度时所对应的摄氏温度为； 有相等的可能， 令解得， 所以华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值相等时，摄氏温度为  【解析】根据表中数据描点即可； 利用待定系数法求解即可； 令，求出x的值即可； ，解方程即可． 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，由函数求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键． 22.【答案】2  【解析】解：[问题原型为的直径， 为的半径， 令， 四边形ABCD是矩形， ，，， ， 点B、D在上； [结论应用]如图②，连接CD交AB于点O，过点D作于点E， ， 由[发现结论]可知，点D在以AB为直径的圆上，即， 当及时，矩形ACBD的面积最大， 矩形ACBD的面积最大值为； [拓展延伸]如图，连接GH，设AC与EF的交点为O， 四边形ABCD是正方形，， ，， 点E、F分别为边AB、CD的中点， ，， 四边形AEFD为矩形， 由[结论应用]可知，时，矩形EGFH的面积最大为， 此时矩形EGFH为正方形， ，， 四边形AEOH是正方形， ， 在中，， ， 故答案为： [问题原型]令的半径，根据矩形的性质得到，，，进而得出，即可得解； [结论应用]连接CD交AB于点O，过点D作于点E，由[发现结论]可知，点D在以AB为直径的圆上，即，当即时，矩形ACBD的面积最大，据此求解即可； [拓展延伸]由[结论应用]的结论可知四边形EGFH为正方形，证明四边形AEOH是正方形，进而求得面积． 此题是圆的综合题，考查了圆的性质、矩形的性质、正方形的性质及矩形面积等知识，熟练掌握圆的性质、矩形的性质、正方形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 23.【答案】3  【解析】解：在中，，，， 故答案为： 当时， 当时， ①当时，， ， ， ， 解得， 此时 ②如图1中，当时，，此时 在中，， ∽， ， ， ，， ，N关于点B对称， ， ， ， ， 如图2中，当时，过点Q作于 ， ，， ， ， ， ， ， ， 经检验是分式方程的解， 综上所述，满足条件的t的值为或 利用勾股定理求解即可． 分两种情形：当时，当时，分别求解． 证明，由此构建方程，可得结论． 分两种情形：如图1中，当时，，此时，由此构建方程，即可解决问题．.如图2中，当时，过点Q作于根据，构建方程，可得结论． 本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 24.【答案】解：将点代入抛物线中， 得， 解得：， 抛物线解析式为， 顶点坐标为 由， 当时，， 解得：，， 抛物线上的点B在x轴上时，横坐标为其中 ， ， 解得：， 点A的坐标为， ； 令， 得，， ， ， ， 点B一定在对称轴右侧， ①如图所示，当点B在x轴上方，对称轴右侧， 此时，，即时， 根据题意，， 解得，不符合题意，舍去； ②当点B在x轴下方，对称轴右侧， 此时，即时， 依题意，， 解得：  或舍去 综上所述， 如图所示， 在x轴的上方，且， ， 以点C、E、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，线段BO的中点为D， ， ，， ①当E是AC的中点，如图， 则， ，代入， 即， 解得：舍去或； ②同理当F为AO的中点时，如图所示， ，，则点C、F、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半， ，代入， 即， 解得：或舍去； ③如图所示， 设， 则， 以点C、F、O、D为顶点的四边形的面积是四边形AOBC面积的一半，线段BO的中点为D， ， 即， ， ， ， ，F关于对称， ， 解得： 综上所述，或或  【解析】将点代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解； 当时，，求得抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线上的点B在x轴上时，横坐标为，其中，得出，即可求解； 证明点B一定在对称轴右侧，分情况讨论：①如图所示，当，即时，②当，即时分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解；根据B在x轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论：①当E是AC的中点时，②当F为AO的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． 本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$