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第 1 页 共 25 页 高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2       2 2 2 2 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x                            Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx                           arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22           C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0  第 2 页 共 25 页 三角函数的有理式积分： 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x        ，　，　，　 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin                         ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg         1 )( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin(    x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx                 1 1 ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 ...590457182818284.2) 1 1(lim 1 sin lim 0     e x x x x x x 第 3 页 共 25 页 ·倍角公式： ·半角公式：              cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin                   ctgtg 　　 　　　　　　　　　　　　 ·正弦定理： R C c B b A a 2 sinsinsin  ·余弦定理： Cabbac cos2222  ·反三角函数性质： arcctgxarctgxxx  2 arccos 2 arcsin  　　　 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! )1()1( !2 )1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv             中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx F f aFbF afbf abfafbf        )(F )( )( )()( )()( ))(()()(    曲率： . 1 ;0 . )1( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s               的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式：     定积分的近似计算：      2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg              2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg       第 4 页 共 25 页                b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf )](4)(2)[( 3 )( ])( 2 1 [)( )()( 1312420 110 110    抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式：         b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 为引力系数引力： 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积 为锐角时，向量的混合积： 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影： 点的距离：空间      ,cos)(][ ..sin, cos ,,cos PrPr)(Pr ,cosPr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa ajajaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u              第 5 页 共 25 页 （马鞍面）双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号）（、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程： 面的距离：平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、点法式： 平面的方程： 1 1 3 ,, 22 2 11 };,,{, 13 02 ),,(},,,{0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000                         c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA   多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz                                                                       ，　　，　隐函数 ＋，　　，　　隐函数 隐函数的求导公式： 　　　　 时，，当 　　　　 　　　　 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 　　　全微分： 0),,( )()(0),( ),(),( )],(),,([ )](),([ ),(),( 2 2 第 6 页 共 25 页 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),,,( 0),,,( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu                                       　　　　 　　　　 　　　隐函数方程组： 微分法在几何上的应用： ),,(),,(),,( 3 0))(,,())(,,())(,,(2 )},,(),,,(),,,({1 ),,(0),,( },,{, 0),,( 0),,( 0))(())(())(( )()()( ),,( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy                                 、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线        方向导数与梯度： 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),(                           多元函数的极值及其求法： 第 7 页 共 25 页                   　　　　　　　不确定时 值时，　　　　　　无极 为极小值 为极大值 时， 则： 　　，令：设 ,0 0 ),(,0 ),(,0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用：                                     D z D y D x zyx D y D x D Dy D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 2222 3 2222 3 222 22 D 22 )( ),( )( ),( )( ),( },,{)0(),,0,0( ),(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),(        ，　　，　　 ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴　　对于轴对于平面薄片的转动惯量： 　　平面薄片的重心： 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标：                                     dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r              )()()( 1 , 1 , 1 sin),,(sin),,(),,( sinsin cos sinsin cossin ),sin,cos(),,( ,),,(),,(,sin cos 222222 2 0 0 ),( 0 22 2 ，　　，　　转动惯量： ，　　其中　　　　重心： ，　　球面坐标： 其中： 　　　柱面坐标： 曲线积分： 第 8 页 共 25 页               )( )()()()](),([),( ),(, )( )( ),( 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L        　　特殊情况：　　 则：　　的参数方程为：上连续，在设 长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧 。，通常设 的全微分，其中：才是二元函数时，＝在 ：二元函数的全微分求积 注意方向相反！减去对此奇点的积分， ，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、 是一个单连通区域；、 无关的条件：平面上曲线积分与路径 的面积：时，得到，即：当 格林公式：格林公式： 的方向角。上积分起止点处切向量 分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关 ，则：的参数方程为设 标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐 0),(),(),( ),( · )0,0(),(),(2 1 · 2 1 2, )()( )coscos( )}()](),([)()](),([{),(),( )( )( 00 ),( ),( 00                                               yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx D L D LD L L L L       曲面积分：                         dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx )coscoscos( ]),,(,[),,( ],),,([),,( )],(,,[),,( ),,(),,(),,( ),(),(1)],(,,[),,( 22 系：两类曲面积分之间的关 号。，取曲面的右侧时取正 号；，取曲面的前侧时取正 号；，取曲面的上侧时取正 ，其中：对坐标的曲面积分： 对面积的曲面积分： 高斯公式： 第 9 页 共 25 页                                  dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n    div )coscoscos( ...,0div,div )coscoscos()( 成：因此，高斯公式又可写 ，通量： 则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度： —通量与散度：—高斯公式的物理意义    斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：                                                                 dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R   的环流量：沿有向闭曲线向量场 旋度： ，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成： kji rot coscoscos )()()(  常数项级数： 是发散的调和级数： 等差数列： 等比数列： n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 )1( 321 1 1 1 12           级数审敛法： 第 10 页 共 25 页 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u                        lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1          。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 —莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数 11 1 3214321 , 0lim )0,(            nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu  绝对收敛与条件收敛：          时收敛 １时发散ｐ 　　级数：　　 收敛；　　级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 )1(1 )1()1()2( )1()2( )2( )1( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn   幂级数： 0 0 1 0 )3(lim )3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32                R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点　对于级数 时，发散 时，收敛于 　　        第 11 页 共 25 页 函数展开成幂级数：               n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf ! )0( !2 )0( )0()0()(0 0lim)(,)( )!1( )( )( ! )( )( !2 )( ))(()( )( 2 0 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式： 充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项： 函数展开成泰勒级数：  一些函数展开成幂级数： )( )!12( )1( !5!3 sin )11( ! )1()1( !2 )1( 1)1( 12 1 53 2           x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 　　　 　　　     欧拉公式：              2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 　　　或 三角级数： 。上的积分＝ 在任意两个不同项的乘积正交性： 。，，，其中， 0 ],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1 cossin )sincos( 2 )sin()( 00 1 0 1 0             nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数： 是偶函数　　　，余弦级数： 是奇函数　　　，正弦级数： （相减） （相加） 　 　　　 　　　 其中 ，周期                          nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 )(2,1,0cos)( 2 0 sin)(3,2,1nsin)( 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 )3,2,1(sin)( 1 )2,1,0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0                        周期为 l2 的周期函数的傅立叶级数： 第 12 页 共 25 页                  l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf )3,2,1(sin)( 1 )2,1,0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 1 0   　　　 　　　 其中 ，周期    微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，，，则设 的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方 称为隐式通解。　　得： 的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 　或　一阶微分方程： u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy        )( )( ),(),( )()()()( )()( 0),(),(),(    一阶线性微分方程： )1,0()()(2 ))((0)( ,0)( )()(1 )()( )(        nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP ，、贝努力方程： 时，为非齐次方程，当 为齐次方程，时当 、一阶线性微分方程： 全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的 ，，其中： 分方程，即：中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP          ),( ),(),(0),(),(),( 0),(),( 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0)( 0)( )()()( 2 2    xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 21 22 ,)(2 ,,(*)0)(1 ,0(*) rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根、求出 的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程： 求解步骤： 为常数；，其中    第 13 页 共 25 页 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据 (*),3 21 rr 的形式， 21 rr (*)式的通解 两个不相等实根 )04( 2  qp xrxr ececy 21 21  两个相等实根 )04( 2  qp xr exccy 1)( 21  一对共轭复根 )04( 2  qp 2 4 2 2 21 pqp irir      ， ， )sincos( 21 xcxcey x   二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数；型， 为常数， ]sin)(cos)([)( )()( ,)( xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x        第 14 页 共 25 页 线性代数部分 1、行列式 1. n行列式共有 2n 个元素，展开后有 !n 项，可分解为 2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、 ij A 和 ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ； 3. 代数余子式和余子式的关系： ( 1) ( 1)i j i j ij ij ij ij M A A M      4. 设 n行列式 D ： 将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 1D ，则 ( 1) 2 1 ( 1) n n D D    ； 将 D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为 2D ，则 ( 1) 2 2 ( 1) n n D D    ； 将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 3D ，则 3D D ； 将 D 主副角线翻转后，所得行列式为 4D ，则 4D D ； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ( 1) 2( 1) n n   ； ③、上、下三角行列式（     ◥ ◣ ）：主对角元素的乘积； ④、  ◤ 和  ◢ ：副对角元素的乘积 ( 1) 2( 1) n n   ； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B   、 ( 1)m n C A O A A B B O B C    ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于 n阶行列式 A ，恒有： 1 ( 1) n n k n k k k E A S         ，其中 kS 为 k 阶主子式； 7. 证明 0A  的方法： ①、 A A  ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组 0Ax  ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明 ( )r A n ； ⑤、证明 0 是其特征值； 2、矩阵 1. A是 n阶可逆矩阵： 第 15 页 共 25 页  0A  （是非奇异矩阵）；  ( )r A n （是满秩矩阵）  A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组 0Ax  有非零解；  nb R  ， Ax b 总有唯一解；  A与 E 等价；  A可表示成若干个初等矩阵的乘积；  A的特征值全不为 0；  T A A是正定矩阵；  A的行（列）向量组是 nR 的一组基；  A是 nR 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于 n阶矩阵 A： * *AA A A A E  无条件恒成立； 3. 1 * * 1 1 1 * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T TA A A A A A      * * * 1 1 1( ) ( ) ( )T T TAB B A AB B A AB B A     4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A、 B 可逆： 若 1 2 s A A A A             ，则： Ⅰ、 1 2 sA A A A ； Ⅱ、 1 1 1 1 2 1 s A A A A                  ； ②、 1 1 1 A O A O O B O B               ；（主对角分块） ③、 1 1 1 O A O B B O A O               ；（副对角分块） ④、 1 1 1 1 1 A C A A CB O B O B                 ；（拉普拉斯） ⑤、 1 1 1 1 1 A O A O C B B CA B                 ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n 矩阵 A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： r m n E O F O O         ； 第 16 页 共 25 页 等价类：所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A、 B ，若 ( ) ( )r A r B A B  ； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非 0 元素必须为 1； ③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、若 ( , ) ( , ) r A E E X     ，则 A可逆，且 1 X A  ； ②、对矩阵 ( , )A B 做初等行变化，当 A变为 E 时， B 就变成 1A B ，即： 1( , ) ( , ) c A B E A B  ； ③、求解线形方程组：对于 n个未知数 n个方程 Ax b ，如果 ( , ) ( , ) r A b E x ，则 A可逆，且 1x A b ； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、 1 2 n                 ，左乘矩阵 A， i  乘 A的各行元素；右乘， i  乘 A的各列元素； ③、对调两行或两列，符号 ( , )E i j ，且 1( , ) ( , )E i j E i j  ，例如： 1 1 1 1 1 1 1                      ； ④、倍乘某行或某列，符号 ( ( ))E i k ，且 1 1 ( ( )) ( ( ))E i k E i k   ，例如： 1 1 1 1 ( 0) 1 1 k k k                      ； ⑤、倍加某行或某列，符号 ( ( ))E ij k ,且 1( ( )) ( ( ))E ij k E ij k   ，如： 1 1 1 1 1 ( 0) 1 1 k k k                       ； 5. 矩阵秩的基本性质： ①、0 ( ) min( , ) m n r A m n  ； ②、 ( ) ( )Tr A r A ； ③、若 A B，则 ( ) ( )r A r B ； ④、若 P 、Q 可逆，则 ( ) ( ) ( ) ( )r A r PA r AQ r PAQ   ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max( ( ), ( )) ( , ) ( ) ( )r A r B r A B r A r B   ；（※） ⑥、 ( ) ( ) ( )r A B r A r B   ；（※） ⑦、 ( ) min( ( ), ( ))r AB r A r B ；（※） ⑧、如果 A是m n 矩阵，B 是 n s 矩阵，且 0AB  ，则：（※） Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 0AX  解（转置运算后的结论）； Ⅱ、 ( ) ( )r A r B n  ⑨、若 A、 B 均为 n阶方阵，则 ( ) ( ) ( )r AB r A r B n   ； 第 17 页 共 25 页 6. 三种特殊矩阵的方幂： ①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如 1 0 1 0 0 1 a c b           的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式： 0 1 1 1 1 1 1 0 ( ) n n n n m n m m n n n n m m n m n n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b                ； 注：Ⅰ、 ( )na b 展开后有 1n 项； Ⅱ、 0 ( 1) ( 1) ! 1 1 2 3 !( )!         m n n n n n n n m n C C C m m n m Ⅲ、组合的性质： 1 1 1 1 0 2          n m n m m m m r n r r n n n n n n n n r C C C C C C rC nC ； ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩： * ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 ( ) 1 n r A n r A r A n r A n          ； ②、伴随矩阵的特征值： * 1 *( , ) A A AX X A A A A X X        ； ③、 * 1A A A 、 1* n A A   8. 关于 A矩阵秩的描述： ①、 ( )r A n ， A中有 n阶子式不为 0， 1n 阶子式全部为 0；（两句话） ②、 ( )r A n ， A中有 n阶子式全部为 0； ③、 ( )r A n ， A中有 n阶子式不为 0； 9. 线性方程组： Ax b ，其中 A为m n 矩阵，则： ①、m 与方程的个数相同，即方程组 Ax b 有m 个方程； ②、 n与方程组得未知数个数相同，方程组 Ax b 为 n元方程； 10. 线性方程组 Ax b 的求解： ①、对增广矩阵 B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由 n个未知数m 个方程的方程组构成 n元线性方程： ①、 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                   ； ②、 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b                                 （向量方程，A为m n 矩阵，m 个方程，n个未知数） 第 18 页 共 25 页 ③、   1 2 1 2 n n x x a a a x               （全部按列分块，其中 1 2 n b b b              ）； ④、 1 1 2 2 n na x a x a x     （线性表出） ⑤、有解的充要条件： ( ) ( , )r A r A n  （ n为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 1. m 个 n维列向量所组成的向量组 A： 1 2, , , m   构成n m 矩阵 1 2( , , , )mA     ； m 个 n维行向量所组成的向量组 B ： 1 2, , , T T T m    构成m n 矩阵 1 2 T T T m B                 ； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax  有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 Ax b  是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B  是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵 m n A  与 l nB  行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 0Ax  和 0Bx  同解；( 101P 例 14) 4. ( ) ( )Tr A A r A ；( 101P 例 15) 5. n维向量线性相关的几何意义： ①、 线性相关  0  ； ②、 ,  线性相关  ,  坐标成比例或共线（平行）； ③、 , ,   线性相关  , ,   共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若 1 2, , , s   线性相关，则 1 2 1, , , ,s s     必线性相关； 若 1 2, , , s   线性无关，则 1 2 1, , , s    必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 r 维向量组 A的每个向量上添上n r 个分量，构成n维向量组B ： 若 A线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组 A（个数为 r ）能由向量组 B（个数为 s ）线性表示，且 A线性无关，则 r s (二版 74P 定理 7)； 向量组 A能由向量组 B 线性表示，则 ( ) ( )r A r B ；（ 86P 定理 3） 向量组 A能由向量组 B 线性表示 AX B  有解； ( ) ( , )r A r A B  （ 85P 定理 2） 向量组 A能由向量组 B 等价 ( ) ( ) ( , )r A r B r A B   （ 85P 定理 2 推论） 第 19 页 共 25 页 8. 方阵 A可逆存在有限个初等矩阵 1 2, , , lP P P ，使 1 2 lA P P P ； ①、矩阵行等价： ~ r A B PA B  （左乘， P 可逆） 0Ax  与 0Bx  同解 ②、矩阵列等价： ~ c A B AQ B  （右乘，Q 可逆）； ③、矩阵等价： ~A B PAQ B  （ P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵 m n A  与 l nB  ： ①、若 A与 B 行等价，则 A与 B 的行秩相等； ②、若 A与 B 行等价，则 0Ax  与 0Bx  同解，且 A与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关 性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵 A的行秩等于列秩； 10. 若 m s s n m n A B C   ，则： ①、C 的列向量组能由 A的列向量组线性表示， B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示， TA 为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组 0Bx  的解一定是 0ABx  的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、 0ABx  只有零解 0Bx  只有零解； ②、 0Bx  有非零解 0ABx  一定存在非零解； 12. 设向量组 1 2: , , ,n r rB b b b 可由向量组 1 2: , , ,n s sA a a a 线性表示为：（ 110P 题 19 结论） 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )r sb b b a a a K （ B AK ） 其中 K 为 s r ，且 A线性无关，则 B 组线性无关 ( )r K r  ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相 关性） （必要性： ( ) ( ) ( ), ( ) , ( )r r B r AK r K r K r r K r      ；充分性：反证法） 注：当 r s 时， K 为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵 m nA  ，存在 n mQ  ， mAQ E ( )r A m  、Q 的列向量线性无关；（ 87P ） ②、对矩阵 m nA  ，存在 n mP  ， nPA E ( )r A n  、 P 的行向量线性无关； 14. 1 2, , , s   线性相关 存在一组不全为 0 的数 1 2, , , sk k k ，使得 1 1 2 2 0s sk k k      成立；（定义）  1 2 1 2( , , , ) 0s s x x x                 有非零解，即 0Ax  有非零解；  1 2( , , , )sr s    ，系数矩阵的秩小于未知数的个数； 15. 设m n 的矩阵 A的秩为 r ，则 n元齐次线性方程组 0Ax  的解集 S 的秩为： ( )r S n r  ； 16. 若 * 为 Ax b 的一个解， 1 2, , , n r    为 0Ax  的一个基础解系，则 * 1 2, , , , n r     线性无关；（ 111P 题 33 结论） 5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵 TA A E  或 1 TA A  （定义），性质： 第 20 页 共 25 页 ①、 A的列向量都是单位向量，且两两正交，即 1 ( , 1,2, ) 0 T i j i j a a i j n i j     ； ②、若 A为正交矩阵，则 1 TA A  也为正交阵，且 1A   ； ③、若 A、 B 正交阵，则 AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化： 1 2( , , , )ra a a 1 1b a ； 1 2 2 2 1 1 1 [ , ] [ , ] b a b a b b b   1 2 11 2 1 1 1 2 2 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b          ; 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、 A与 B 等价  A经过初等变换得到 B ；  PAQ B ， P 、Q 可逆； ( ) ( ) r A r B ， A、 B 同型； ②、 A与 B 合同  TC AC B，其中可逆；  Tx Ax 与 Tx Bx有相同的正、负惯性指数； ③、 A与 B 相似 1 P AP B； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若C 为正交矩阵，则 TC AC B  A B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A为对称阵，则 A为二次型矩阵； 7. n元二次型 Tx Ax 为正定： A 的正惯性指数为 n； A 与 E 合同，即存在可逆矩阵C ，使 TC AC E ； A 的所有特征值均为正数； A 的各阶顺序主子式均大于 0； 0, 0iia A   ；(必要条件) 第 21 页 共 25 页 概率论与数理统计部分 1．随机事件及其概率 吸收律： AABA AA A    )( ABAA A AA    )( )(ABABABA  反演律： BABA  BAAB   n i i n i i AA 11    n i i n i i AA 11   2．概率的定义及其计算 )(1)( APAP  若 BA )()()( APBPABP  对任意两个事件 A, B, 有 )()()( ABPBPABP  加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 )()()()( ABPBPAPBAP  )()()( BPAPBAP  )()1()()()()( 21 1 1111 n n n nkji kji nji ji n i i n i i AAAPAAAPAAPAPAP      3 ． 条 件 概 率  ABP )( )( AP ABP 乘法公式   )0)(()()(  APABPAPABP     )0)(( )()( 121 12112121     n nnn AAAP AAAAPAAPAPAAAP   全概率公式    n i iABPAP 1 )()( )()( 1 i n i i BAPBP   Bayes 公式 第 22 页 共 25 页 )( ABP k )( )( AP ABP k    n i ii kk BAPBP BAPBP 1 )()( )()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算 )()( )()()( aFbF aXPbXPbXaP   5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()( 1   kppkXP kk (2) 二项分布 ),( pnB 若 P ( A ) = p nkppCkXP knkkn ,,1,0,)1()(   * Possion 定理 0lim   n n np 有 ,2,1,0 ! )1(lim     k k eppC k kn n k n k n n  (3) Poisson 分布 )(P ,2,1,0, ! )(   k k ekXP k 6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),( baU        其他,0 , 1 )( bxa abxf           1 , ,0 )( ab ax xF (2) 指数分布 )(E 第 23 页 共 25 页        其他,0 0, )( xe xf x        0,1 0,0 )( xe x xF x (3) 正态分布 N ( ,  2 )    xexf x 2 2 2 )( 2 1 )(         x t texF d 2 1 )( 2 2 2 )(    * N (0,1) — 标准正态分布   xex x 2 2 2 1 )(       xtex x t d 2 1 )( 2 2  7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数    x y dvduvufyxF ),(),( 边缘分布函数与边缘密度函数      x X dvduvufxF ),()(     dvvxfxfX ),()(      y Y dudvvufyF ),()(     duyufyfY ),()( 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G )       其他,0 ),(, 1 ),( Gyx Ayxf (2) 二维正态分布 第 24 页 共 25 页                          yx eyxf y yxx , 12 1 ),( 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 )( ))(( 2 )( )1(2 1 2 21          9. 二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(  xfxyfxfyxf XXYX 0)()()(  yfyxfyf YYXY       dyyfyxfdyyxfxf YYXX )()(),()(       dxxfxyfdxyxfyf XXYY )()(),()( )( yxf YX )( ),( yf yxf Y  )( )()( yf xfxyf Y XXY  )( xyf XY )( ),( xf yxf X  )( )()( xf yfyxf X YYX  10. 随机变量的数字特征 数学期望     1 )( k kk pxXE     dxxxfXE )()( 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )( kXE X 的 k 阶绝对原点矩 )|(| kXE X 的 k 阶中心矩 )))((( kXEXE  X 的 方差 )()))((( 2 XDXEXE  X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )( lkYXE X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩  lk YEYXEXE ))(())((  X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XYE X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 第 25 页 共 25 页  ))())((( YEYXEXE  X ,Y 的相关系数 XY YDXD YEYXEX E           )()( ))())((( X 的方差 D (X ) = E ((X - E(X))2) )()()( 22 XEXEXD  协方差  ))())(((),cov( YEYXEXEYX  )()()( YEXEXYE   )()()( 2 1 YDXDYXD  相关系数 )()( ),cov( YDXD YX XY 