2025年九年级中考数学专题复习：角度问题（二次函数综合）

2025年九年级中考数学专题复习 角度问题（二次函数综合） 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值． (3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2． 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3． (1)求抛物线关系式； (2)的值 (3)点P为抛物线上一点，且，求点P的坐标． 3．抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴正半轴交于点． （1）如图1，若，； ①求抛物线的解析式； ②为抛物线上一点，连接，，延长与轴正半轴交于点，若，求点的坐标； （2）如图2，为轴下方抛物线上一点，连，，若，求点的纵坐标． 4．已知二次函数＞0）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：交于点C，点A是该二次函数图像与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC∶CO＝1∶2，∠DOB＝45°，△ACD的面积为2． (1) 求抛物线的函数关系式； (2) 若点P为抛物线对称轴上的一个点，且∠POC＝45°，求点P坐标. 5．如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．顶点为N，在x轴上有一动点．过点E作直线轴，交抛物线于点M． (1)直接写出b，C的值及顶点N的坐标； (2)如图2，当点E在线段上运动时（不与点A，O重合），直线交y轴于点D，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； (3)如图3，当M落在抛物线之间时（可以与N，C重合），直线与相交于点P，当有最小值时，求的值． 6．已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P为第一象限抛物线上一点，且满足的面积与的面积相等，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点M在第二象限抛物线上时，作直线分别与直线交于点G和点I，请直接写出的值． 7．二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接、交于点，过点作轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，当时，求直线的解析式； (3)如图2，连接，请判断是否有最大值，如有请求出最大值及有最大值时点的坐标，如没有请说明理由 8．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 9．如图，抛物线的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)如图，点是抛物线在第一象限内的一点，作轴交于，当线段的长度最大时，在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； (3)抛物线的顶点为点，连接，在抛物线上是否存在一点，使得直线与直线的夹角为度，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线与直线相交于，两点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使的点C的坐标； （3）探究在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点D． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当∠MPA＝2∠PAC时，求直线AP的函数表达式． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使以E，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，点P是抛物线上位于点B、C之间的动点． (1)求的度数； (2)若，求点P的坐标； (3)已知点，若点在抛物线上，且； ①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q； ②若，求的值． 13．抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴的正半轴交于C点，的面积为6．    (1)直接写出点A、B的坐标为 、 ；抛物线的解析式为 (2)如图1，连结，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线的距离为，求点D的坐标； (3)如图2，平行于的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，恰好平分，求P点坐标． 14．二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、    (1)求、的值； (2)是二次函数图象在第一象限部分上一点，且，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，有一条长度为的线段落在上（与重合，与重合），将线段沿轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为秒，当四边形周长最小时，求的值． 15．已知：如图，抛物线经过点，，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接且，求点的坐标； (3)点为直线上方的抛物线上的一点，过点作于点，连接，若的一个锐角等于的2倍，请直接写出点的横坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$