海南省定安县定安中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

学科网（北京）股份有限公司 定安中学 2023 级高二年级第一学期开学考试数学学科试题 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的． 1．已知 1 i 1 i    z ，则 z （ ） A．1 B．2 C． 5 D．5 2．在 ABC 中，已知 45A  o， 30B  ， 2a  ，则b等于（ ） A．2 B． 3 C． 2 D．1 3．命题“ 2, 1 0x x   R ”的否定是（ ） A． 2, 1 0x x   R B． 2, 1 0x x   R C． 2, 1 0x x   R D． 2, 1 0x x   R 4．某公司在职员工有 1200人，其中销售人员有 400人，研发人员有 600人，现采用分层随机加 样的方法抽取 120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（ ） A．20 B．30 C．40 D．50 5．如图， A B C   是水平放置 ABC 的直观图，其中 1B C A C    ， / /A B x  轴， / /A C y  轴， 则 ABC 的周长为（ ） A．1 2 3  B． 4 2 2 C．2 2 6  D． 2 2 2 2 3  6．已知数据 1 2 3 8, , , ,x x x x 的平均数 10x  ，方差 21 10s  ，则 1 2 3 83 2,3 2,3 2, ,3 2x x x x    的平 均数 y和方差 22s 分别为（ ） A． 2230, 92y s  B． 2 232, 92y s  C． 2230, 90y s  D． 2 232, 90y s  7．若对任意 0x  ， 3 2 25 4x x x ax   恒成立，则实数 a的取值范围是（ ） A． 5a  B．5 9a  C． 5a  D． 9a  8．函数 ( )f x 的定义域为[ 3, 4] ，且在定义域内是增函数，若 (2 1) (1 ) 0f m f m    ，则 m 的取 值范围是（ ） A． 2 3 m  B． 2 3 m  C． 2 5 3 2 m  D． 21 3 m   二、多选选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列运算中正确的是（ ） A． 3 8 3 log 8 log 5 log 5  B． 13 2 33 6a a a  C．若 1 14a a  ，则 1 1 2 2 3a a   D．   2log 71 ln ln e 7 2         10．已知关于 x的不等式 2 0ax bx c   的解集为 3x x   或 4x  ，则下列说法正确的是（ ） A． 0a  B．不等式 0bx c  的解集为 4x x   C．不等式 2 0cx bx a   的解集为 1 4 x x    或 1 3 x    D． 0a b c   11．下列关于函数 πtan 2 3 y x       的说法正确的是（ ） A．在区间 π π, 3 12       上单调递减 B．最小正周期是 π C．图象关于点 5π ,0 12       成中心对称 D．图象关于直线 π 12 x   成轴对称 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分． 12．已知向量  1,1a   ，  1,b m  ，若  a ma b    ，则m  ． 13．函数   3 2xf x a   （ 0a  且 1a  ）的图象恒过定点 ． 14．已知某圆锥的底面半径为 2，体积为 4 π 3 ，则该圆锥的母线长为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知 sin 2cos 0   ． 学科网（北京）股份有限公司 （1）求 tan的值； （2）求 4sin 2cos 5sin 3cos       的值． 16．（15分）已知 a，b， c分别为 ABC 三个内角A， B，C的对边，且 2cos 2 a cC b   ． (1)求角 B的大小； (2)若 3b  ， 3sin 3 C  ，求 ABC 的面积． 17．（15分）如图，在直三棱柱 1 1 1A BC ABC 中，AB AC ， 2AB AC  ， 1 4AA  ，点D是BC 的中点． (1)求证： 1 //BA 平面 1C AD； (2)求二面角 1A BC A  的正切值． 18．（17分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城 市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了 “创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100份作为样本，将样本的成绩（满分 100分， 成绩均为不低于 40分的整数）分成六段： 40,50 ，   50,60 , , 90,100 ，得到如图所示的频率分 布直方图. (1)求频率分布直方图中 a的值； (2)求样本成绩的第 75百分位数； (3)已知落在  50,60 的平均成绩是 54，方差是 7，落在 60,70 的平均成绩为 66，方差是 4，求两 组成绩的总平均数和总方差. 19．（17分）现定义“n维形态复数 nz ”： cos i sinnz n n   ，其中 i为虚数单位， *nN ， 0  . （1）当 π 4   时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求 πsin 4      的值； （3）若正整数m，  1, 2n m n  ，满足 1mz z ， 2n mz z ，证明：存在有理数q，使得 1 2m q n q    .