仿真模拟卷 12（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷12 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．(1＋i)(1－2i)＝(　　) A．－1－i B．－2＋3i C．3－i D．3－3i 【答案】C 【解析】(1＋i)(1－2i)＝1－2i＋i－2i2＝3－i，故选C. 2．在△ABC中，若·<0，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】由向量的数量积的运算公式，可得·＝||·||cosA＜0，即cosA＜0， 因为A∈(0，π)，所以A为钝角，所以△ABC一定是钝角三角形．故选C. 3．已知集合A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则A∩B＝(　　) A．{－1,1,3} B．{－1,0,2} C．{－1,1,2} D．{－1,0,3} 【答案】D 【解析】因集合A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则有B＝{－1,0,1,3,4}，所以A∩B＝{－1,0,3}．故选D. 4．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1,2) D．[1，＋∞) 【答案】A 【解析】函数f(x)＝有意义，则有解得x≥1且x≠2， 所以原函数的定义域是[1,2)∪(2，＋∞)．故选A. 5．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|0<x≤3}，任取x∈A，则x∈B的概率为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|0＜x≤3}， 所以1,2,3∈A，且1,2,3∈B，则集合A中6个元素，有3个在集合B中， 则任取x∈A，则x∈B的概率为＝.故选C. 6．已知tanα＝－2，则＝(　　) A．－4 B．－ C．－1 D．－ 【答案】C 【解析】＝＝＝－1. 故选C. 7．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f<f(－1)<f(2) B．f(2)<f<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f D．f(－1)<f<f(2) 【答案】B 【解析】根据题意，f(x)为偶函数，则f(2)＝f(－2)， 又由函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2＜－＜－1， 所以f(－2)＜f＜f(－1)，所以f(2)＜f－＞f(－1)．故选B. 8．设a，b∈R，则“>”是“b>a>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】取a＝1，b＝－1，则＞≠b＞a＞0； 当b＞a＞0时，不等式两边同乘以正数，可得＞. 因此，“＞”是“b＞a＞0”的必要不充分条件．故选B. 9．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α(0°<α<45°)，且小正方形与大正方形的面积之比为1∶4，则tanα＝(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为a(cosα－sinα)， 故＝，故1－2sinαcosα＝，即 sinαcosα＝⇒＝⇒＝⇒3tan2α－8tanα＋3＝0，解得tanα＝或tanα＝. 因为0°＜α＜45°，则0＜tanα＜1，故tanα＝.故选A. 10．设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则b2＋c2＋bc的取值范围为(　　) A．(1,9] B．(3,9] C．(5,9] D．(7,9] 【答案】D 【解析】因为A＝，a＝，由正弦定理可得＝＝2＝＝， 则有b＝2sinB，c＝2sin，由△ABC的内角A，B，C为锐角， 可得，＜B＜⇒＜2B－＜⇒＜sin≤1⇒2＜4sin≤4， 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA⇒3＝b2＋c2－bc， 因此有b2＋c2＋bc＝2bc＋3＝8sinBsin＋3＝4sinBcosB＋4sin2B＋3＝2sin2B－2cos2B＋5 ＝5＋4sin∈(7,9]．故选D. 11．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1满足2AB＝AA1，点E在线段DD1上移动，点F在线段BB1上移动，并且满足DE＝FB1．则下列结论中正确的是(　　) A．直线AC1与直线EF可能异面 B．直线EF与直线AC所成角随着点E位置的变化而变化 C．三角形AEF可能是钝角三角形 D．四棱锥A－CEF的体积保持不变 【答案】D 【解析】如图所示，连接有关线段． 设M，N为AC，A1C1的中点，即为上下底面的中心，MN的中点为O，则AC1的中点也是O， 又∵DE＝B1F，由对称性可得O也是EF的中点，所以AC1与EF交于点O，故不是异面直线，故A错误； 由正四棱柱的性质结合线面垂直的判定定理易得AC⊥平面BB1D1D，因为EF⊂平面BB1D1D，∴AC⊥EF，故B错误； 设AB＝a，则AA1＝2a，设DE＝B1F＝x,0＜x＜2a，易得AE2＝a2＋x2，AF2＝a2＋(2a－x)2＝5a2－4ax＋x2， EF2＝2a2＋(2a－2x)2＝6a2－8ax＋4x2，因为AE2＋AF2－EF2＝4ax－2x2＝2x(2a－x)＞0，∴∠EAF为锐角， 因为AE2＋EF2－AF2＝2a2－4ax＋2x2＝2(a－x)2＞0，∴∠AEF为锐角， 因为AF2＋EF2－AE2＝10a2－12ax＋4x2，当x＝a时取得最小值，为10a2－18a2＋9a2＝a2＞0， ∴∠AFE为锐角，故△AEF为锐角三角形，故C错误； 三棱锥A－EFC也可以看作F－AOC和E－AOC的组合体，由于△AOB是固定的，E，F到平面AOC的距离是不变的， ∵易知BB1，DD1平行与平面ACC1A1，故体积不变，故D正确．故选D. 12．设a∈R，若不等式＋＋ax≥4x－8恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[－2,12] B．[－2,10] C．[－4,4] D．[－4,12] 【答案】D 【解析】＋＋ax≥4x－8恒成立，即＋＋8≥(4－a)x恒成立， 当x＞0时，可得4－a≤＋＋的最小值， 由＋＋≥＋＝2x＋≥2＝8， 当且仅当x＝2取得最小值8，即有4－a≤8，则a≥－4；当x＜0时，可得4－a≥－＋－的最大值， 由＋－≥－2x－≥2＝8，当且仅当x＝－2取得最大值－8，即有4－a≥－8，则a≤12， 综上可得－4≤a≤12.故选D. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选扣2分) 13．下列函数中，值域为[1，＋∞)的是(　　) A．y＝ B．y＝|x|＋1 C．y＝ D．y＝ 【答案】BC 【解析】A，函数的值域为[0，＋∞)，所以该选项不符合题意； B，因为|x|≥0，∴|x|＋1≥1，所以函数的值域为[1，＋∞)，所以该选项符合题意； C，因为x2≥0，∴x2＋1≥1，∴≥1，所以函数的值域为[1，＋∞)，所以该选项符合题意； D，函数的值域为(0，＋∞)，所以该选项不符合题意．故选BC. 14．下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　) A．100＝1与lg1＝0 B．log39＝2与9＝3 C．27－＝与log27＝－ D．log55＝1与51＝5 【答案】ACD 【解析】对于选项A，指数式100＝1化为对数式为lg1＝1，故A正确； 对于选项B，指数式9＝3化为对数式为log93＝，故B错误； 对于选项C，指数式27－＝化为对数式为log27＝－，故C正确； 对于选项D，指数式51＝5化为对数式为log55＝1，故D正确．故选ACD. 15．在△ABC，下列说法正确的是(　　) A．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形 B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解 C．若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB D．若cos2A＋cos2B－cos2C<1，则△ABC为锐角三角形 【答案】BC 【解析】对于A，由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，∴A＝B或2A＋2B＝180°，即A＋B＝90°，△ABC为等腰或直角三角形，故A错误； 对于B，asinB＝40sin25°＜40sin30°＝40×＝20，即asinB＜b＜a，∴△ABC必有两解，故B正确； 对于C，△ABC是锐角三角形，∴A＋B＞，即＞A＞＞B＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sinA＞sin－B＝cosB，故C正确； 对于D，利用二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sinB－1＋2sin2C＜1，即sin2A＋sin2B－sin2C＞0，即a2＋b2－c2＞0，∴cosC＞0，即C为锐角，不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误． 故选BC. 16．《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面PAC将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑P－ABC中，PA⊥AB，AB＝2，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是(　　) A．PA＝BC＝ B．V＝6 C．直线PC与平面PAB所成角的正弦值 D．P－ABC内切球的半径为 【答案】ACD 【解析】由题可知，PC的中点即为P－ABC的外接球的球心，设外接球的半径为R，则πR2＝，得R＝2， 因为PA2＋AB2＋BC2＝PC2＝4R2，所以PA2＋BC2＝12， 鳖臑P－ABC的体积VP－ABC＝×AB·BC·PA＝·(2BC·PA)≤·(BC2＋PA2)＝2， 当且仅当BC＝PA＝时，(VP－ABC)max＝2，故A项正确，B项错误； 因为三棱柱为直三棱柱，故BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，故BC⊥PA， 因为PA⊥AB，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC， 所以直线PC与平面PAB所成角即为∠BPC，sin∠BPC＝＝，故C项正确； 设鳖臑P－ABC的内切球半径为r，由等体积法VP－ABC＝ AB·BC＋AB·PA＋AC·PA＋PB·BCr＝2，所以r＝＝，故D项正确． 故选ACD. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．已知函数f(x)＝，且f＝1，则a＝__________；若f＝4，则m＝__________． 【答案】　－2或4 【解析】由题意得f(－1)＝2－(－1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝4a＝1，解得a＝. ∴f(x)＝又f(f(m))＝4，当m＜0时，f(f(m))＝f(2－m)＝22－m－2，解得m＝－2； 当m≥0时，f(f(m))＝f(2n－2－2)＝4，解得m＝4.所以m＝－2或4. 故答案为；－2或4. 18．如图，在平面四边形ABCD中，AC＝AD＝2，∠DAC＝120°，∠ABC＝90°，则·的最大值为________． 【答案】1 【解析】 取CD的中点E，连接EA，EB， 由AC＝AD＝2，∠DAC＝120°⇒AE⊥CD，DE＝ADsin60°＝， 由∠ABC＝∠AEC＝90°，得A，B，C，D四点共圆，且直径为AC. 则·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－()2≤AC2－3＝22－3＝1， 所以(·)max＝1.故答案为1. 19．设函数f(x)＝(2≤x≤a)，其中实数a＞2．若f(x)的值域为[9,11]，则a的取值范围是____________． 【答案】4≤a≤8 20．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为，底面边长为2，D，E，F，M，N分别为棱AC，AB，BC，A1C1，B1C1的中点，P为线段MN上的动点，则三棱锥P－DEF内切球半径的最大值为____________． 【答案】 【解析】点Р在平面ABC的投影在线段DF上，垂足为H，在平面ABC内，设H到DE的距离为a，H到EF的距离为b，DH＝m，则a＝m，b＝(1－m)，0≤m≤1， S△PDE＋S△PFE ＝＋＋＋， ＋表示点(m,0)分别到点(0,1)和点(1,1)的距离之和，所以当m＝时，SPDE＋SPFE的最小值为，SDEF＋S△PDF＝＋＝，设三棱锥P－DEF内切球的半径为r， (S△DEF＋S△PDF＋S△PDE＋S△PFE)r＝＋S△DEF，故rmax＝.故答案为：. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如下． (1)求直方图中的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数； (3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？ 【答案】(1)0.0075　(2)230,224　(3)5 【解析】(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1，解得 x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. (2)月平均用电量的众数是230度． 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 设中位数为a， 由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得a＝224，所以月平均用电量的中位数是224度． (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25(户)， 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15(户)， 月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10(户)， 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5(户)， 抽取比例为＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5(户)． 22．(本小题满分11分)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足bcosC＋ccosB＝2acosA． (1)求角A； (2)D点在线段BC上，且AD平分∠BAC，若BD＝2CD，且AD＝，求△ABC的面积． 【答案】(1)　(2) 【解析】(1)∵bcosC＋ccosB＝2acosA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosA，即sin(B＋C)＝2sinAcosA，则sinA＝2sinAcosA， 又在△ABC中，0＜A＜π，sinA≠0，故cosA＝，故A＝. (2)由题可知∠BAD＝∠CAD＝，设DC＝x，则BD＝2x，AB＝c，AC＝b 由正弦定理得＝，＝，即＝，＝，解得＝＝2， 由余弦定理得cosB＝＝，解得c2－6x2＋2b2－9＝0； 又c＝2b，故x2＝b2－.由余弦定理得cos∠BAC＝＝，即＝， 解得b＝，则c＝3，x＝.△ABC的面积为 S＝bcsinA＝××3×＝. 23．(本小题满分11分)已知0≤a≤2，b≤1，函数f(x)＝－ax2－x＋4a－b＋1，x∈[－2,2]． (1)讨论f(x)的单调性； (2)设h(x)＝|f(x)|，若h(x)的最大值为，求a＋b的取值范围． 【答案】(1)见解析　(2)当0≤a≤时，a＋b∈；当＜a≤2时，a＋b∈ 【解析】(1)①当a＝0时，f(x)＝－x－b＋1，f(x)在[－2,2]上单调递减； ②当－≤－2，即0＜a≤时，f(x)在[－2,2]上单调递减； ③当－2＜－＜0，即＜a≤2时，f(x)在上递增，在上递减； ④当0≤－≤2时，不成立，所以无解． 综上所述，当0≤a≤时，f(x)在[－2,2]上单调递减； 当＜a≤2时，f(x)在上递增，在上递减． (2)①当0≤a≤时，f(x)在[－2,2]上递减，f(－2)＝3－b＞0，f(2)＝－1－b， ∵f(－2)＋f(2)＝2－2b≥0，∴|f(－2)|≥|f(2)|， ∴h(x)max＝max{|f(－2)|，|f(2)|}＝|f(－2)|＝3－b＝，∴b＝.得a＋b＝a＋∈. ②当＜a≤2时，f(x)在上递增，在上递减， 又f(－2)＝3－b＞0，f(2)＝－1－b，f＝4a＋－b＋1， ∵f(－2)＋f(2)＝2－2b≥0，f(－2)＞f(2)，∴|f(－2)|≥|f(2)|，同时，f＞f(－2)＞0， ∴≥|f(－2)|，∴h(x)max＝max|f(－2)|，，|f(2)|＝＝4a＋－b＋1＝， ∴b＝4a＋－，又∵b≤1，∴4a＋－≤1⇒≤a≤，又∵＜a≤2，∴＜a≤， 且可得a＋b＝5a＋－在a∈上递增，所以a＋b∈. 综上所述，当0≤a≤时，a＋b∈；当＜a≤2时，a＋b∈. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$