仿真模拟卷 11（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷11 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．复数1－i的虚部是(　　) A．1 B．－1 C．2 D． 【答案】B 【解析】根据复数虚部的概念，复数1－i的虚部是－1.故A，C，D错误．故选B. 2．已知全集U＝R，集合A＝{x∈R|0<x≤1}，B＝{－1,0,1}，则(∁UA)∩B＝(　　) A．{－1} B．{1} C．{－1,0} D．{0,1} 【答案】C 【解析】由题意，全集U＝R，集合A＝{x∈R|0＜x≤1}，可得∁UA＝{x|x≤0或x＞1}， 又∵集合B＝{－1,0,1}，所以(∁UA)∩B＝{－1,0}．故选C. 3．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两名同学分3本不同的书，记为a，b，c， 基本事件有(0,3)，(1a,2)，(1b,2)，(1c,2)，(2,1a)，(2,1b)，(2,1c)，(3,0)，共8种，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝＝.故选B. 4．若lnM＋lnN＝0，则有(　　) A．M－N＝0 B．M＋N＝0 C．＝1 D．MN＝1 【答案】D 【解析】由lnM＋lnN＝0得ln(MN)＝0，则MN＝1. 故选D. 5．已知平面向量a，b满足|a|＝2，a·b＝4，则b在a方向上的投影向量为(　　) A．a B．b C．a D．b 【答案】C 【解析】b在a方向上的投影向量为(bcos〈a，b〉)＝＝＝a＝a，故选C. 6．如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40 cm，上口直径约为28 cm，经测量可知圆台的高约为16 cm，圆柱的底面直径约为18 cm，则该组合体的体积约为(其中π的值取3)(　　) A．11280 cm3 B．12380 cm3 C．12680 cm3 D．12280 cm3 【答案】D 【解析】由题意得圆柱的高约为40－16＝24(cm)， 则何尊的体积V＝V圆台＋V圆柱＝×(142＋92＋14×9)×16＋π×92×24≈12280(cm3)．故选D. 7．已知轮船A和轮船B同时从C岛出发，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行(如图)．若A船的航行速度为40 n mile/h,1 h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距________n mile．(　　) A．40 B．40 C．20 D．40 【答案】B 【解析】由题意可知∠CBA＝135°，∠BCA＝30°，AC＝40×1＝40(n mile)， 由正弦定理可知＝，所以＝，所以AB＝＝40(n mile)， 即此时A，B两船相距40 n mile.故选B. 8．已知正三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为2，底面边长为4，则球O的表面积是(　　) A．32π B．32π C．24π D．24π 【答案】D 【解析】如图所示： 设O1为正三角形ABC的中心，连接PO1，则PO1⊥平面ABC，球心O在PO1上， 设球O的半径为R，连接AO，AO2，∵正三角形ABC的边长为4，∴O1A＝4××＝， 又∵PA＝2，∴在Rt△PO1A中，PO1＝＝＝， 在Rt△OO1A中，OA＝R，OO1＝PO1－PO＝－R，O1A＝， ∴R2＝2＋2，解得R＝，∴球O的表面积为4πR2＝24π.故选D. 9．已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 【答案】A 【解析】因为sinα－cosα＝，所以(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－2sinαcosα＝2，即(cos α＋1)2＝0，∴，α∈(0，π)， ∴α为，∴tan α＝－1. 故选A. 10．已知函数f(x)＝则f(2)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为函数f(x)＝所以f(2)＝2×1＝2.故选B. 11．设a，b∈R，则“a>b”是“|a|≥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为“|a|≥b”的充要条件为“a≥b或a≤－b”， 所以“a>b”是“|a|≥b”的充分不必要条件．故选A. 12．如图，在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是线段AD1上的动点，给出以下四个命题： ①异面直线PC1与直线B1C所成角的大小为定值； ②二面角P－BC1－D的大小为定值； ③若Q是对角线AC1上一点，则PQ＋QC长度的最小值为； ④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线A1C不可能平行． 其中真命题有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】对于①，由正方体的性质可知，B1C⊥平面ABC1D1，又PC1⊂平面ABC1D1， 故B1C⊥PC1，异面直线PC1与直线BC1所成角的大小为定值，①正确； 对于②，平面PBC1即为平面ABC1D1，平面ABC1D1与平面BC1D所成的二面角为定值，故二面角P－BC1－D的大小为定值，②正确； 对于③，将平面ACC1沿直线AC1翻折到平面ABC1D1内，平面图如下，过C点做CP⊥AD1，CP∩AC1＝Q，CP∩BC1＝E，此时，PQ＋QC的值最小． 由题可知，CC1＝1，CA＝，AC1＝，∠D1AC1＝∠C1AC＝∠AC1B， sin∠C1AC＝，cos∠C1AC＝， 则∠CC1E＝－2∠C1AC，sin∠CC1E＝cos2∠C1AC＝2cos2∠C1AC－1＝， 故EC＝CC1×sin∠CC1E＝，又PE＝AB＝1， 故PQ＋QC的最小值为，故③正确； 对于④，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易证A1C⊥平面BDC1，设AC∩BD＝O，则∠A1OC1即为二面角A1－BD－C1的平面角，又∵正方体边长为1，故A1C1＝，AO＝OC＝，则A1O＝C1O＝，由余弦定理得 cos∠A1OC1＝＝，∠A1OC1＝＝，故∠A1OC1＜，同理＜AOC1＜π， 故在AA1上必然存在一点E，使得二面角E－BD－C1为，即平面EBD⊥平面BDC1，平面EBD与平面ADD1的交线为ED， 则ED∩AD1＝P，过P点作BD的垂线PR.此时PR⊥平面BDC1，又A1C⊥平面BDC1，故PR∥A1C，故④错误． 故选C. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选扣2分) 13．已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，则(　　) A．θ∈ B．cosθ＝－ C．tanθ＝－ D．sinθ－cosθ＝ 【答案】ABD 【解析】因为sinθ＋cosθ＝①，所以(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝，所以2sinθcosθ＝－.又θ∈(0，π)，所以sinθ＞0，所以cosθ＜0，即θ∈，故A正确．(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，所以sinθ－cosθ＝②，故D正确．由①、②，得sinθ＝，cosθ＝－，故B正确．tanθ＝＝－，故C错误．故选ABD. 14．已知f(x)＝sinx＋x(x∈[－1,1])，且实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则下列选项正确的是(　　) A．ab的最大值为 B．ab的最小值为－2 C．＋的最小值为9 D．b－a的最大值为3 【答案】ABD 【解析】f(x)为奇函数，f(a)＋f(b－1)＝0⇒f(a)＝－f(b－1)＝f(1－b)⇒a＝1－b， f(x)定义域为[－1,1]，则a∈[－1,1]，b－1∈[－1,1]⇒b∈[0,2]，并且a＋b＝1， ab＝(1－b)b＝－2≤，A正确； 当b＝2，a＝－1时，ab最小值为－2，b－a最大值为3，B，D正确； ＋＝－1＋2＝1，C错误．故选ABD. 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题为(　　) A．若a∶b∶c＝2∶2∶3，则A＝45° B．若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶∶2 C．若A>B，则sinA>sinB D．若A＝30°，a＝3，b＝4，则这个三角形有两解 【答案】BCD 【解析】对于A，因为a∶b∶c＝2∶2∶3，则cosA＝＝≠，所以A≠45°，故A错误； 对于B，若A∶B∶C＝1∶2∶3，又A＋B＋C＝π，则A＝，B＝，C＝， 则a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝∶∶1＝1∶∶2，故B正确； 对于C，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可得2RsinA＞2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)， 所以sinA＞sinB，故C正确； 对于D，由正弦定理得＝，所以sinB＝，由b＞a得B＞A，所以B为锐角或钝角，有两解，故D正确．故选BCD. 16．三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面ABC，∠SAB＝∠ABC＝3∠BAC＝90°，SA＝AC＝2，则(　　) A．SA⊥BC B．三棱锥S－ABC的外接球的表面积为 C．点A到平面SBC的距离为 D．二面角S－BC－A的正切值为 【答案】AD 【解析】对于A，因为平面SAB⊥平面ABC，∠SAB＝90°，即SA⊥AB， 平面SAB∩平面ABC＝AB，SA⊂平面SAB，所以SA⊥平面ABC， 又因为BC⊂平面ABC，所以SA⊥BC，故A正确； 对于B，因为SA⊥BC，AB⊥BC，SA∩AB＝A， 所以BC⊥平面SAB，因为SB⊂平面SAB， 所以BC⊥SB.又SA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， 所以SA⊥AC，即∠SAC＝∠SBC＝90°， 所以三棱锥S－ABC外接球的直径为SC.因为SA＝AC＝2， 所以SC＝＝2， 所以三棱锥S－ABC的外接球的表面积S＝4π2＝4π()2＝8π，故B错误； 对于C，因为BC⊥平面SAB，BC⊂平面SBC， 所以平面SAB⊥平面SBC，过点A作AG⊥SB，交SB于点G， 根据面面垂直的性质定理，可得AG⊥平面SBC， 故点A到平面SBC的距离为AG，由∠ABC＝3∠BAC＝90°，AC＝2， 得AB＝，则SB＝＝，则AG＝＝＝，故C错误； 对于D，SB⊥BC，AB⊥BC，所以∠SBA为二面角S－BC－A的平面角， 在Rt△SAB中，tan∠SBA＝＝＝，故D正确．故选AD. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝________，n＝________． 【答案】4　0 【解析】因为二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，所以对称轴为x＝1， 即＝1，解得m＝4；将(1，－2)代入y＝2x2－4x＋n解得n＝0.故答案为：4；0. 18．若向量a＝(2,1)，b＝(x,2)，a⊥b，则实数x＝________． 【答案】－1 【解析】由已知可得a·b＝2x＋2＝0，解得x＝－1.故答案为－1. 19．若四棱锥P－ABCD的棱AB，BC的长均为2，其他各条棱长的均为2，则该四棱锥的体积为________． 【答案】 【解析】由已知可得底面外接圆直径为2，四棱锥高为1，由锥体体积公式计算可得四棱锥的体积为.故答案为：. 20．已知实数x≥y>0，z>0，则＋的最小值为________． 【答案】＋1 【解析】因为x≥y＞0，z＞0， 所以＋＝＋＝1＋2≥1＋2×2＝1＋4＝1＋4，因为x≥y＞0，所以≤1， 所以原式≥1＋4＝1＋，当且仅当x＝y＝(＋1)z时取等号．故答案为：＋1. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制了如下频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求20位同学成绩的平均分； (3)估计样本数据的第1四分位数和第80百分位数(保留三位有效数字)． 【答案】(1)a＝0.005　(2)76.5　(3)第1四分位数为70.0；第80百分位数为86.7 【解析】(1)依图可得(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝0.005. (2)根据题意，得(55×2a＋65×3a＋75×7a＋85×6a＋95×2a)×10＝76.5. (3)由图可知，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]对应频率分别为0.1,0.15,0.35,0.3,0.1，前两组频率之和恰为0.25，故第1四分位数为70.0. 前三组频率之和为0.6，前四组频率之和为0.9，所以第80百分位数在第四组． 设第80百分位数为x，则0.6＋(x－80)×0.03＝0.8，解得x≈86.7. 22．(本小题满分11分)已知二次函数y＝f(x)的图象与直线y＝－6只有一个交点，满足f(0)＝－2且函数f(x－2)是偶函数．g(x)＝． (1)求二次函数y＝f(x)的解析式； (2)若对任意x∈[1,2]，t∈[－4,4]，g(x)≥－m2＋tm恒成立，求实数m的范围； (3)若函数y＝g(|x|＋3)＋k·－11恰好三个零点，求k的值及该函数的零点． 【答案】(1)f(x)＝x2＋4x－2　(2)m≥3或m≤－3或－1≤m≤1　(3)k＝7，零点为0，±1 【解析】(1)因为f(x－2)是偶函数，所以f(x－2)＝f(－x－2)，所以f(x)的图象关于x＝－2对称， 又二次函数y＝f(x)的图象与直线y＝－6只有一个交点，设f(x)＝a(x＋2)2－6， 又因为f(0)＝4a－6＝－2，解得a＝1， 所以f(x)＝(x＋2)2－6＝x2＋4x－2. (2)由(1)得g(x)＝x－＋4，∵g(x)在区间[1,2]单调递增，∴g(x)min＝3， ∴3≥－m2＋tm即m2－tm＋3≥0，∴m2－4m＋3≥0且m2＋4m＋3≥0，∴m≥3或m≤－3或－1≤m＜1. (3)令n＝|x|＋3≥3，由g(n)＋k·得n－＋4＋－11＝0，即＝0， ∵函数y＝g(|x|＋3)＋k·－11有三个零点，∴n2－7n＋2k－2＝0的一个零点为3， ∴k＝7，当k＝7时，由n2－7n＋12＝0得n1＝3，n2＝4， 当n1＝3时，x＝0.当n2＝4时，x＝±1.∴k＝7函数的零点为0，±1. 23．(本小题满分11分)已知函数F(x)＝|cos2x＋2sinxcosx－sin2x＋Ax＋B|． (1)若A＝0，求F(x)的最小正周期； (2)若A＝－1，B＝1，x∈，求F(x)的最大值； (3)若F(x)在0≤x≤上的最大值M与A，B有关，问：A、B取何值时M最小？说明你的结论． 【答案】(1)当B＝0时，最小正周期为，当B≠0时，最小正周期为π (2)－＋1 (3)A＝B＝0；理由见解析 【解析】(1)由题意知，F(x)＝|sin2x＋cos2x＋Ax＋B|＝， A＝0，F(x)＝，当B＝0时，F(x)＝，最小正周期为， 当B≠0时，F(x)的最小正周期为π. (2)A＝－1，B＝1，F(x)＝ x∈，2x＋∈，－x＋1∈， 所以F(x)＝＝sin2x＋－x＋1， 又因为函数F(x)在上严格单调递减，所以F(x)max＝F＝－＋1. (3)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤， ∴－1≤sin2x＋≤. 当A＝B＝0时，F(x)＝≤，即M＝F(x)max＝. 下面证明：当A、B不同时为0时，M＞.用反证法证明：假设M＝F(x)max≤， 则F≤，F≤，F≤，所以A＝0，而A、B不同时为0，所以B≠0， 又M＝F(x)max＝max，矛盾， 所以M＝F(x)max＞. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$