仿真模拟卷 10（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷10 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．已知集合A＝{x∈Z|x2－2＜0}，B＝{0,1}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{0,1} D．{－1,0,1} 【答案】C 【解析】因为集合A＝{x∈Z|x2－2＜0}＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，则A∩B＝{0,1}．故选C. 2．复数3－4i(i为虚数单位)的共轭复数(　　) A．－4－3i B．－4＋3i C．－3－4i D．3＋4i 【答案】D 【解析】复数3－4i的共轭复数3＋4i.故选D. 3．若命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为(　　) A．a>0 B．a≥0 C．a≤0 D．a≤1 【答案】B 【解析】由题意得∀a∈R，(ax2＋1)min≥0，于是a≥0.故选D. 4．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin 【答案】C 【解析】由题意可得y＝f(x)图象是由y＝sin的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin，再将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得y＝sin，即f(x)＝sin，即C选项正确．故选C. 5．已知l，m是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是(　　) A．若α⊥β，l∥β，则l⊥α B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α C．若m⊂α，l∥β，l∥m，则α∥β D．若m⊥α，l∥β，l∥m，则α⊥β 【答案】D 【解析】对于A，若α⊥β，l∥β，则l∥α或l⊂α或l与α相交，故A错误；对于B，要得到l⊥α，则需要l与平面α内两条相交直线垂直，只有l⊥m，m⊂α得不到l⊥α，故B错误；对于C，若m⊂α，l∥β，l∥m，则α∥β或α与β相交，故C错误；对于D，若m⊥α，l∥β，l∥m，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，即D选项正确．故选D. 6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a斤，设f(x)＝则f(a)＝(　　) A．－5 B．7 C．13 D．26 【答案】C 【解析】根据题意， 过第一关后剩余，过第二关后剩余×＝，过第三关后剩余×＝，过第四关后剩余×＝，过第五关后剩余×＝，所以a－＝1⇒a＝， 因此f(a)＝f＝10×＋1＝13.故选C. 7．有5个相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是(　　) A．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件 B．“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件 C．“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率 D．“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率 【答案】C 【解析】总事件含有： A：恰好两个红球；B：恰好1个红球和1个蓝球；C：恰好两个蓝球．对于A项来说，“恰好取到1个红球”是事件B，“至少取到1个蓝球”是事件B∪C，而事件B∪C包含事件B，故A项错误； 对于B项来说， “恰好取到1个红球”是事件B，“至多取到1个蓝球”是事件A∪B，而事件A∪B包含事件B，故B项错误； 对于C项来说，“至少取到1个红球”的概率 P1＝1－＝， “至少取到1个蓝球”的概率P2＝1－＝， 故C项正确； 对于D项来说， “至多取到1个红球”的概率P3＝1－＝， “至多取到1个蓝球”的概率P4＝1－＝， 故D项错误．故选C. 8．设a，b是实数，则“|a|＞b”是“a＞|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】取a＝0，b＝－1，则满足|a|＞b，但a＞|b|不成立，即不是充分条件． 因为a＞|b|≥b，|b|≥0，所以a＞0，即a＝|a|，因而a＞|b|，即必要性成立． 综上，“|a|＞b”是“a＞|b|”的必要不充分条件．故选B. 9．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为边长为4的正方形，侧面PAB⊥底面ABCD，且△PAB为等边三角形，则该四棱锥P－ABCD外接球的表面积为(　　) A． B． C．64π D．16π 【答案】A 【解析】如图，在四棱锥P－ABCD中，取侧面△PAB和底面正方形ABCD的外接圆的圆心O1，O2， 分别过O1，O2作两个平面的垂线交于点O，则由外接球的性质知道， 该点O即为该球的球心，取线段AB的中点E，连接O1E，O2E，O2D，OD，则由题可知O1EO2O为矩形，通过计算得到OO2＝，O2D＝2，则R2＝OD2＝OO＋O2D2＝，故其表面积S＝4πR2＝，即A选项正确．故选A. 10．若函数y＝f(x)的大致图象如图，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 【答案】D 【解析】根据图象显示，函数的定义域为{x|x≠0}，排除A； 图象关于原点对称，则函数为奇函数，排除B； 对于C，f(x)＝＝ 当x→＋∞时，f(x)→0，故排除C.故选D. 11．设sin20°＝m，cos20°＝n，化简－＝(　　) A． B．－ C． D．－ 【答案】C 【解析】由－＝－＝－ ＝－＝－＝＝. 12．甲、乙两个质地均匀且完全一样的正方体骰子，每个骰子的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6．同时抛掷这两个骰子在水平桌面上，记事件A为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件C为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则下列结论不正确的是(　　) A．P(A)＝P(B)＝P(C) B．P(BC)＝P(AC)＝P(AB) C．P(A)·P(B)·P(C)＝ D．P(ABC)＝ 【答案】D 【解析】对于A项来说， 掷这两个骰子，一共有6×6＝36种基本事件， 事件A发生，则两个骰子的点数为一奇一偶，有3×3＋3×3＝18种，所以P(A)＝＝， 因为掷骰子正面向上为奇数和偶数的方法种数相同， 所以P(B)＝＝，P(C)＝＝，故A正确； 对于B项来说， 事件BC，事件AC，事件AB均表示甲为奇数，乙为偶数，所以P(BC)＝P(AC)＝P(AB)，故B正确； 对于C项来说， 因为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P(A)·P(B)·P(C)＝3＝，故C正确； 对于D项来说， 事件ABC表示甲朝上一面为奇数，乙朝上一面为偶数，故P(ABC)＝＝，故D错误．故选D. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选扣2分) 13．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，x＋1)，则下列结论正确的是(　　) A．若a⊥b，则x＝－ B．若a∥b，则x＝±2 C．若x＝1，则＝2 D．若x＝1，则a与b的夹角为锐角 【答案】AD 【解析】因为向量a＝(2,1)，b＝(x，x＋1)，所以a·b＝3x＋1，若a⊥b，则3x＋1＝0⇒x＝－，故A正确； 若x＝1，则a·b＝4＞0，且a＝(2,1)与b＝(1,2)不共线，所以a与b的夹角为锐角，故D项正确； 若x＝1，a－b＝(1，－1)，|a－b|＝，故C项错误； 若a∥b，则2(x＋1)－x＝0⇒x＝－2，故B项错误．故选AD. 14．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是(　　) 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大 C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀) D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 【答案】ABC 【解析】甲、乙两班学生成绩的平均数都是35，故两班成绩的平均数相同，A正确；S＝191＞110＝S，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B正确； 甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误．故选ABC. 15．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且函数y＝f(x－1)为奇函数，则(　　) A．函数y＝f(x)是周期函数 B．函数y＝f(x)为R上的偶函数 C．函数y＝f(x)为R上的单调函数 D．函数y＝f(x)的图象关于点(2k＋1,0)(k∈Z)对称 【答案】ABD 【解析】对于A，由f(x＋2)＝－f(x)可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是周期为4的周期函数，故A正确； 对于B，因为函数y＝f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，则f(－x)＝－f(x－2)＝f(x)，所以函数y＝f(x)为R上的偶函数，故B正确； 对于C，题干中的条件只有对称性和周期性，未体现出单调性，故C错误； 对于D，因为f(x＋2)＝－f(x)，且函数周期为4，所以f(x＋2＋4k)＝f(x＋2)＝－f(x)，即f(x＋2＋4k)＝－f(x)＝f(－x)，∴y＝f(x)的图象关于点(2k＋1,0)(k∈Z)对称，故D正确．故选ABD. 16．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，如图所示，下列说法正确的是(　　) A．点F的轨迹是一条线段 B．A1F与BE是异面直线 C．F－ABD1的体积为定值 D．A1F与D1E不可能平行 【答案】ABC 【解析】分别取B1B，B1C1的中点M，N，连接A1M，MN，A1N，如图，∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE，同理可得MN∥平面D1AE，又A1M，MN是平面A1MN内的两条相交直线，∴平面A1MN∥平面D1AE， 而A1F∥平面D1AE，所以A1F在平面A1MN内，得点F的轨迹是一条线段，故A正确；并由此可知，当F与M重合时，A1F与D1E平行， 故D错误；平面A1MN∥平面D1AE，BE和平面D1AE相交，∴A1F与BE是异面直线，故B正确；∵MN∥D1A，则点F到平面D1AB的距离为定值，三棱锥F－ABD1的体积为定值，故C正确．故选ABC. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，若f(－a)>f(a＋1)，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意可得，3α＝，所以α＝， 所以幂函数f(x)＝. 可知函数f(x)＝在[0，＋∞)上单调递增， 由f(－a)＞f(a＋1)，得 解得－1≤a＜－. 故答案为：. 18．若a，b＞0，且a2＋b2＝ab＋3，则ab的最大值为________． 【答案】3 【解析】ab＋3＝a2＋b2≥2ab⇒ab≤3，当且仅当a＝b＝时取等号．故答案为：3. 19．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，其中点P，Q分别是图象的最高点和最低点，点M是图象与x轴的交点，且MP⊥MQ．若f＝，则tanφ＝________． 【答案】－2 【解析】设M(x0,0)，最小正周期为T， 则P，Q， 则|PQ|＝， 根据题意得＝|PQ|⇒T＝|PQ|，即 T＝， 解得T＝4，所以ω＝＝， 所以f(x)＝sin，又f＝， 所以sin＝⇒sin＝， 因为|φ|＜，所以＋φ∈， 于是＋φ＝，即φ＝－，所以 tanφ＝tan＝tan＝＝－2. 故答案为：－2. 20．如图，在中空的圆台容器内有一个与之等高的实心圆柱，圆柱的底面与圆台的下底面重合．已知圆台的上底面半径与高均为40 cm，下底面半径为10 cm．现要在圆柱侧面和圆台侧面的间隙放置一些金属球，则能完全放入的金属球的最大半径为________cm，这样最大半径的金属球最多可完全放入________个． 【答案】10　6 【解析】由题，下图为圆台容器的纵切图，圆O内切于△ABC时金属球O的半径最大，易得AB＝40 cm，AC＝30 m，BC＝＝50 cm，由等面积法得(AB＋AC＋BC)r＝AB·BC，解得r＝10 cm，故金属球的最大半径为10 cm. 下图为上图O点高度的水平切面，圆M、圆O1、圆O2两两相切，此时可放最多金属球，因为r＝10 cm，则MO1＝MO2＝O1O2＝20 cm，故∠O1MO2＝60°，则金属球最多可放＝6个． 故答案为：10；6. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)已知向量m＝(sinx,2cos2x－1)，n＝(2cosx,1)，f(x)＝m·n． (1)求函数y＝f(x)的最小正周期； (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，a＝，求△ABC的面积的最大值． 【答案】(1)π　(2) 【解析】(1)f(x)＝m·n＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝sin，则其最小正周期T＝＝π. (2)由f(A)＝sin＝1，且A∈(0，π)，所以A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得 2＝b2＋c2－bc≥(2－)bc， 所以bc≤＝2＋当且仅当b＝c时取等号， 所以△ABC的面积S＝bcsin＝bc≤＝， 所以该三角形面积的最大值为. 22．(本小题满分11分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AA1＝AB，D，E分别为棱BC，B1C1上的点，且＝＝t(0<t<1)． (1)若t＝，求证：AD∥平面A1E B． (2)若二面角C1－AD－C的大小为，求实数t的值． 【答案】(1)见解析　(2)2－ 【解析】(1)证明：若t＝，则D，E分别为BC，B1C的中点，于是AD∥A1E，而AD⊄平面A1EB，A1E⊂平面A1EB. 所以AD∥平面A1EB； (2)过C作CH⊥AD于点H，连接C1H， 所以∠C1HC为二面角C1－AD－C的平面角，于是∠C1HC＝， 设AB＝3，所以tan∠C1HC＝tan＝＝＝⇒CH＝， sin∠CAH＝＝，所以cos∠CAH＝， tan∠CAH＝， 进而得tan∠BAH＝， 以A为原点，AB，AC分别为x轴、y轴， 则直线AD的方程为y＝x， 联立BC的方程y＝3－x，解得D(3－3,6－3)， 所以BD＝(6－3)＝6－6， 所以t＝＝2－. 23．(本小题满分11分)设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)·f(1)>0，求证： (1)方程f(x)＝0有实数根，且－2<<－1； (2)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，则≤|x1－x2|<； (3)方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根． 【答案】证明：(1)a＝0⇒b＝－c⇒f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－c2≤0，与f(0)·f(1)＞0矛盾， 即a≠0，所以方程f(x)＝0的判别式Δ＝4(b2－3ac)，由a＋b＋c＝0消去b得 Δ＝4(b2－3ac)＝4(a2＋c2－ac)＝4＞0，所以方程f(x)＝0有实根，由f(0)·f(1)＞0得c(3a＋2b＋c)＞0⇒(a＋b)(2a＋b)＜0， ∴－2＜＜－1. (2)由x1＋x2＝－，x1x2＝＝－， (x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2＋， ∵－2＜＜－1， ∴≤(x1－x2)2＜⇒≤|x1－x2|＜. (3)f(x)＝3ax2＋2bx＋c，顶点坐标， ∵－2＜＜－1，∴＜－＜， 若f(0)＞0，f(1)＞0，则f＝－＜0， 若f(0)＜0，f(1)＜0，则f＝－＞0， ∴方程f(x)＝0在区间与内分别有一实数根，故方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$