仿真模拟卷 7（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷7 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．设集合A＝{x|x2－x－2≤0，x∈Z}，B＝{－1,0,1}，则A∩B＝(　　) A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{－1,1} D．{0,1,2} 【答案】A 【解析】解不等式x2－x－2≤0，得－1≤x≤2，∴A＝{－1,0,1,2}，A∩B＝{－1,0,1}．故选A. 2．己知(1＋ai)i＝i－3，a∈R(i为虚数单位)，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 【答案】D 【解析】(1＋ai)i＝i－3,1＋ai＝＝1＋3i，所以a＝3.故选D. 3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增，并且是奇函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝x3 C．y＝－lg|x| D．y＝x－1 【答案】B 【解析】对于A，∵(－x)2＝x2，∴y＝x2为R上的偶函数，A错误； 对于B，(－x)3＝－x3，∴y＝x3为R上的奇函数，由幂函数性质可知y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，B正确； 对于C，∵－lg|－x|＝－lg|x|，∴y＝－lg|x|为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，C错误； 对于D，∵(－x)－1＝－x－1，∴y＝x－1为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，由幂函数性质可知y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，D错误． 故选B. 4．已知向量＝(2,3)，＝(x,5)，若⊥，则x＝(　　) A． B．－1 C． D．2 【答案】B 【解析】∵＝－＝(x－2,2)，⊥，∴·＝2(x－2)＋6＝0，解得x＝－1.故选B. 5．已知p：m<－4，q：方程x2＋mx＋4＝0有两个不相等的实数根，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】方程x2＋mx＋4＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝m2－16>0，解得m<－4或m>4， 显然，p⇒q，q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件．故选A. 6．已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(2x)＋f(x2－x)>0的解集为(　　) A．(0,1) B．(－3,0) C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 【答案】C 【解析】函数f(x)＝2x－2－x定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，是R上增函数， f(2x)＋f(x2－x)>0⇔f(x2－x)>f(－2x)，于是得x2－x>－2x，解得x<－1或x>0， 所以所求不等式的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．故选C. 7．将函数y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位后得到的函数图象关于原点中心对称，则sin2φ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 【答案】C 【解析】y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到f(x)＝sin(2x＋φ)，将所得图象向左平移个单位后得到的函数是g(x)＝sin2x＋＋φ，由题意得＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，故sin2φ＝sin＝－.故选C. 8．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝2，asinC＝，则A＝(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由bcosA＋acosB＝2，asinC＝，得(bcosA＋acosB)＝2asinC，由正弦定理得， (sinBcosA＋sinAcosB)＝2sinAsinC，sin(A＋B)＝2sinAsinC，又A＋B＝π－C， 可得sin(π－C)＝2sinAsinC，sinC＝2sinAsinC，sinA＝，又因为锐角△ABC，所以A＝.故选C. 9．已知函数f(x)＝当x∈[m，m＋1]时，不等f(2m－x)<f(x＋m)恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－4) B．(－∞，－2) C．(－2,2) D．(－∞，0) 【答案】B 【解析】由题意，当x≤0时，f(x)＝x＋3是减函数；当x>0时，f(x)＝－x3－x2＋4是减函数， 且f(x)<f(0)＝4，所以函数f(x)＝在R上单调递减． 因为f(2m－x)<f(x＋m)，所以2m－x>x＋m，即2x<m在x∈[m，m＋1]上恒成立，所以2(m＋1)<m，得m<－2.故选B. 10．函数f(x)＝2cosx－φ－<φ<0的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．[4k－2,4k](k∈Z) C．(k∈Z) D．[4k,4k＋2](k∈Z) 【答案】A 【解析】观察图象知，f(0)＝2cos(－φ)＝1，即cosφ＝，而－<φ<0，解得φ＝－， 因此，f(x)＝2cosx＋，由2kπ－π≤x＋≤2kπ，k∈Z，解得4k－≤x≤4k－，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是4k－，4k－(k∈Z)．故选A. 11．在三棱锥P－ABC中，AC＝1，PB＝2，M，N分别是PA，BC的中点，若MN＝，则异面直线AC，PB所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取AB的中点Q，连接QM，QN， 因为Q是AB的中点，N是BC的中点，所以QN∥AC，QN＝AC＝， 同理，QM∥BP，QM＝PB＝1， 所以异面直线AC，PB所成角为∠MQN或其补角， 在△MQN中，QM＝1，QN＝，MN＝，cos∠MQN＝＝， 即异面直线AC，PB所成角的余弦值为.故选C. 12．函数f(x)＝·cosx＋3在上的最大值与最小值之和为(　　) A．6 B．3 C．8 D．4 【答案】A 【解析】∵f(x)＝·cosx＋3， ∴f(－x)＝·cos(－x)＋3＝·cosx＋3， 故f(－x)＋f(x)＝6， 则f(x)的图象关于点(0,3)中心对称， 故f(x)在上的最大值与最小值之和为6. 故选A. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选扣2分) 13．某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免．为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查．将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(　　) A．推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高 B．推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高 C．推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡 D．推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化 【答案】BC 【解析】对于A项来说， 从图中无法确定推行减免政策后，某市小微企业的年收入是否都有了明显的提高，故A项错误； 对于B项来说， 从图中可以看出，减免前占比最多的平均年收入为45～50万元，其次是40～45万元及50～55万元，减免后占比最多的为50～55万元，其次是55～60万元及45～50万元，明显增多，所以平均年收入也有明显提高，所以B项正确； 对C项来说， 从图中看出，推行减免政策后，年收入的中位数是52.5万元，而减免前年收入的中位数是47.5万元，所以减免后年收入更加均衡，所以C项正确； 对于D项来说， 从图中看出，某市小微企业的年收入有明显变化，所以D项错误．综上所述，BC正确．故选BC. 14．下列函数的零点的个数超过2个的是(　　) A．f(x)＝2x－x2 B．f(x)＝sinx－x C．f(x)＝|x|＋－3　 D．f(x)＝|log|x||－1 【答案】ACD 【解析】在坐标系中作出函数图象，观察函数图象的交点．故选ACD. 15．下列函数中，最大值是1的函数有(　　) A．y＝|sinx|＋|cosx| B．y＝sin2x－cos2x C．y＝4sin2xcos2x D．y＝ 【答案】BC 【解析】对于A项来说， y＝|sinx|＋|cosx|≤＝，当且仅当|sinx|＝|cosx|时取等号，故A项错误； 对于B项来说， y＝sin2x－cos2x＝－cos2x∈[－1,1]，当且仅当2x＝2kπ＋π，k∈Z时取等号，故B项正确； 对于C项来说， y＝4sin2xcos2x＝sin22x∈[0,1]，当且仅当2x＝kπ＋，k∈Z时取等号，故C项正确； 对于D项来说， y＝＝＝≤≤1，当且仅当tanx＝1时取等号，但此时tan2x＝无意义，故D项错误．综上所述，BC正确．故选BC. 16．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则(　　) A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．四面体A1BC1D与四面体AB1CD1的公共部分的体积是 【答案】BCD 【解析】由于D1D∥C1C，所以直线D1D与直线AF所成角为∠AFC，显然∠AFC≠90°，故A错误． 由A1G∥D1F，D1F⊂面AEFD1，A1G⊄面AEFD1，而AD1∥EF，则面AEFD1即为面AEF，所以A1G∥面AEFD1，故B正确． 面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1， 其面积S＝＝，故C正确． 四面体A1BC1D与四面体AB1CD1的公共部分是以正方体六个表面中心为顶点的正八面体， 该八面体的棱长为，所以其体积为2××2×1＝，故D正确．故选BCD. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．韦伯望远镜必须在不受任何其他热源干扰的情况下保持在－223℃以下才能观察红外线中的微弱信号．为了防止热传递，NASA工程师们开发了由Kapton材料组成的遮阳板．太阳光通过一层普通玻璃时，其中的紫外线的强度减弱为原来的，而通过韦伯望远镜遮阳板则能将其中的紫外线的强度减弱为原来的．则要达到韦伯望远镜遮阳板的减弱效果，至少需要的普通玻璃层数为________．(参考数据：lg3≈0．477) 【答案】21 【解析】由于每加一层玻璃，紫外线就衰减为原来的， 所以n≤，两边取自然对数得 n≥－1＋＝－1≈20.74，至少需要21层．故答案为：21. 18．已知非零向量a，b满足＝2，b＝(1,2)，向量b在向量a方向上的投影为2，则＝________． 【答案】 【解析】＝2，＝，a·b＝cos〈a，b〉＝4，则＝＝. 19．正四面体A－BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，＝3，＝3，则球O截直线MN所得的弦长为________． 【答案】8 【解析】如图，将正四面体A－BCD补全为正方体，则正方体的棱长为6，所以球O是正方体的外接球，其半径R＝×6＝3. 分别过点O和点N向底面作垂线，垂足为P和Q，由正方体的性质可得，P为BC的中点，Q为KC的三等分点，又＝3，＝3，所以MQ∥BK，NQ∥DK且MQ＝BK＝4，NQ＝DK＝4， 又OM＝＝＝， 同理，ON＝， 在Rt△MQN中，MN＝＝8， 所以O到直线MN的距离为h＝＝ 因此球O截直线MN所得的弦长为2＝8.故答案为：8. 20．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(|x|＋1)＝2f(|x|－1)．若当x∈(0,1)时，f(x)＝1－|2x－1|，则f(x)在区间(－1,3)上的值域为________，g(x)＝f(x)－x在区间(－1,3)内的所有零点之和为________． 【答案】[－2,2]　 【解析】当x∈时，f(x)＝1－(1－2x)＝2x； 当x∈时，f(x)＝1－(2x－1)＝－2x＋2. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以： 当x∈时，f(x)＝2x； 当x∈时，f(x)＝－2x－2；当x≥0时， f(x＋1)＝2f(x－1)⇒f(x)＝2f(x－2)(x≥1)． 图象向右平移两个单位，所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的两倍．所以函数f(x)在[－1,3]的图象如图所示， 则f(x)在区间(－1,3)上的值域为[－2,2]， g(x)＝f(x)－x的零点问题化为函数y＝f(x)与直线y＝x的交点个数问题，从图象看， x1＋x3＝0，x2＝0，x4＝⇒x1＋x2＋x3＋x4＝. 故答案为：[－2,2]；. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答． ①cosA(ccosB＋bcosC)＋asinA＝0；②cosB＝；③tanA＋tanB＋tanC＋tanBtanC＝0． 已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，________． (1)求A； (2)设AD是△ABC的内角平分线，边b，c的长度是方程x2－8x＋6＝0的两根，求线段AD的长度． 【答案】(1)　(2) 【解析】(1)选择条件①， 因为cosA(ccosB＋bcosC)＋asinA＝0，由正弦定理得cosA(sinCcosB＋sinBcosC)＋sinAsinA＝0， 即cosAsin(B＋C)＋sin2A＝0， 在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA≠0， 所以cosA＋sinA＝0， 即tanA＝＝－， 因为A为△ABC内角，所以A＝. 选择条件②，cosB＝，由余弦定理得 ＝， 整理得b2＋c2－a2＝－bc， 所以cosA＝＝－， 因为A为△ABC内角，所以A＝. 选择条件③，tanA＋tanB＋tanC＋tanBtanC＝0. 因为tan(B＋C)＝，即－tanA＝ 所以tanA＋tanB＋tanC－tanAtanBtanC＝0. 所以tanBtanC＝－tanAtanBtanC， 因为A、B、C为为△ABC内角，所以tanB≠0，tanC≠0 所以tanA＝－，所以A＝. (2)因为边b，c的长度是方程x2－8x＋6＝0的两根， 所以b＋c＝8，bc＝6， 因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 所以bcsin＝AD·csin＋AD·bsin， 即bc＝(b＋c)·AD， 所以AD＝＝，所以线段AD的长度为. 22．(本小题满分11分)如图，四边形ABCD是一个半圆柱的轴截面，E，F分别是弧DC，AB上的一点，EF∥AD，H为线段AD的中点，且AB＝AD＝4，∠FAB＝30°，G为线段CE上一动点． (1)试确定点G的位置，使DG∥平面CFH，并给予证明； (2)求三棱锥E－CFH的体积． 【答案】(1)当点G为线段CE中点时，DG∥平面CFH. 取CF中点M，连接HM，GM，如图，则GM∥EF，GM＝EF， 因E，F分别是弧DC，AB上的一点，EF∥AD，则EF是半圆柱的一条母线，即EF＝AD， 而H为线段AD的中点，于是得GM∥DH，GM＝DH，即四边形DGMH为平行四边形， 则DG∥HM，而DG⊄平面CFH，HM⊂平面CFH， 所以DG∥平面CFH. (2)依题意，AB是半圆柱下底面半圆的直径，则∠AFB＝90°，而∠FAB＝30°，有AF＝AB＝2，BF＝AB＝2， 显然CD是半圆柱上底面半圆的直径，则CE⊥DE，由(1)知EF是半圆柱的一条母线， 则EF⊥平面CDE，而CE⊂平面CDE，即有CE⊥EF，DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面ADEF， 因此，CE⊥平面ADEF，而EF∥BC，EF＝BC，即四边形BCEF是平行四边形，CE＝BF＝2， 又因为点H为线段AD的中点，则S△EFH＝AD·AF＝4， 所以三棱锥E－CFH的体积VE－CFH＝VC－EFH＝·S△EFH·CE＝×4×2＝. 23．(本小题满分11分)在A＝{x|x∈R，x≠0}上定义函数f(x)，满足f(2)>0且对于任意a，b∈A有f(ab)＝f(a)＋f(b)． (1)求证：f(1)＝f(－1)＝0． (2)若x∈，不等式f(mx＋1)＋f(x－1)≤0恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明：令a＝1，b＝－1，则f(－1×1)＝f(－1)＋f(1)⇒f(1)＝0， f(1)＝f[(－1)(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝0⇒f(－1)＝0. (2)∵f(－x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵f(2)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数． 因此，当x>0时， f(x)≤0⇔0<x≤1；当x<0时，f(x)≤0⇔－1≤x<0. 故f(mx＋1)＋f(x－1)≤0对x∈恒成立等价于恒成立． 即恒成立 当x∈时，－的最小值为2，的最大值为，－2≤－<－1 所以m∈∪[－1,2]． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$