仿真模拟卷 6（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷6 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．下列结论不正确的是(　　) A．0∈N B．∈Q C．∉R D．－1∈Z 【答案】C 【解析】由N表示自然数集，知0∈N，故A正确； 由Q表示有理数集，知∈Q，故B正确； 由R表示实数集，知∈R，故C错误； 由Z表示整数集，知－1∈Z，故D正确． 故选C. 2．已知zi＝3－i(i为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由zi＝3－i，得z＝＝－1－3i，则＝－1＋3i，在复平面内对应的点(－1,3)位于第二象限．故选B. 3．集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　) A．[－2,0] B．[0,2] C．[0，＋∞) D．[2，＋∞) 【答案】B 【解析】由于2－x≥0，x≤2，所以A＝(－∞，2]． 对于函数y＝，由于2－x≥0，所以y＝≥0，所以B＝[0，＋∞)， 所以A∩B＝[0,2]．故选B. 4．已知cosα＝，且α为第四象限角，则sinα＝(　　) A．－ B．± C．± D． 【答案】A 【解析】∵α为第四象限，∴sinα<0， ∴sinα＝－＝－.故选A. 5．已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是(　　) A．事件“都是红色球”是随机事件 B．事件“都是白色球”是不可能事件 C．事件“至少有一个白色球”是必然事件 D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 【答案】C 【解析】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况． 事件“都是红色球”是随机事件，故A正确； 事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确； 事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误； 事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确．故选C. 6．在△ABC中，D为边BC的延长线上一点，且＝3，记＝a，＝b，则＝(　　) A．－a＋b B．－a－b C．a－b D．－a＋b 【答案】A 【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝－a＋b，故选A. 7．若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的表面积为(　　) A．2a2 B．2a2 C．2a2 D．3a2 【答案】A 【解析】设正方体的棱长为x，则x＝a，即x2＝a2， 所以正方体的全面积为6x2＝6×a2＝2a2.故选A. 8．已知sin＝，则sin＝(　　) A． B．－ C． D．－ 【答案】B 【解析】由2α＋＝2－，得sin＝sin＝－cos ＝－＝－＝－.故选B. 9．药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化而变化的动态过程．根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度C(t)(单位：μg/ml)随时间t(单位：h)的变化规律可近似表示为C(t)＝C0·e－kt，其中C0表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数k＝0．5(单位：h－1)，某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉状态，测得其血药浓度为4．5 μg/ml，当患者清醒时测得其血药浓度为0．9 μg/ml，则该患者的麻醉时间约为(ln5≈1．609)(　　) A．3．5 h B．3．2 h C．2．2 h D．0．8 h 【答案】B 【解析】由题意得，0.9＝4.5e－0.5t，即e－0.5t＝， 则0.5t＝ln5，解得t＝2ln5≈3.2.故选B. 10．已知a∈R，则“a>1”是“<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】对于不等式<1，可解得a>1或a<0， 所以a>1可以推出<1，而<1不可以推出a>1， 所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件．故选A. 11．已知向量a，b满足＝1，a·b＝－1，则a·＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【解析】a·＝2|a|2－a·b＝2＋1＝3.故选B. 12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，F分别为BD，AA1的中点，设二面角F－D1O－B1的平面角为α，直线OF与平面BDD1B1所成角为β，则(　　) A．α>β B．α<β C．α＝β D．与正方体棱长有关 【答案】A 【解析】设点M为B1D与BD1的交点，由于AF∥DD1∥OM，AF＝DD1＝OM， 所以四边形AFMO是平行四边形，所以FM∥OA. 由于OA⊥BD，OA⊥DD1，BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1B1， 所以OA⊥平面BDD1B1，所以FM⊥平面BDD1B1，所以∠FOM＝β， 过点F作D1O的垂线FH，垂足为H，又FM⊥D1O，FM∩FH＝F，FM，FH⊂平面FHM， 则D1O⊥平面FMH，又MH⊂平面FMH，则MH⊥D1O，所以∠FHM＝α， 从而tanα＝，tanβ＝，在Rt△MOH中，MO>MH，所以tanα>tanβ，所以α>β.故选A. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．下列函数中在区间(0,1)内单调递减的是(　　) A．y＝x B．y＝21－x C．y＝ln(x＋1) D．y＝|1－x| 【答案】BD 【解析】y＝x在(0,1)上单调递增，故A错误； y＝21－x可以看出y＝2t，t＝1－x的复合，由同增异减可知在区间(0,1)内单调递减，B正确； y＝ln(x＋1)定义域为(－1，＋∞)，由同增异减可知在(0,1)上单调递增，故C错误； y＝|1－x|的图象如图所示，可以看出在(0,1)上单调递减，D正确． 故选BD. 14．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是(　　) A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β B．若α⊥γ，β⊥α，则γ∥β C．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β D．若m，n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β 【答案】AD 【解析】A，因为α，β是不重合的平面，m⊥α，m⊥β，所以α∥β，A正确； B，若α⊥γ，β⊥α，α，β，γ是三个两两不重合的平面，可知β，γ可能相交，B错误； C，若m∥α，n∥β，m∥n，α，β可能相交，不一定平行，C错误； D，因为m，n两直线是异面直线，可知不平行，又因为m⊥α，n∥α，则m⊥n，又m⊥α，n⊥β，则在m，n可取m，n作为α，β的法向量，则m⊥n， 即m·n＝0，可知α，β垂直，D正确．故选AD. 15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，下列与△ABC有关的结论，正确的是(　　) A．若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB B．若A>B，则sinA>sinB C．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 D．若△ABC为斜三角形，则tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC 【答案】ABD 【解析】对于A，若△ABC为锐角三角形，可得A＋B>且A，B∈，可得A>－B，且－B∈，根据正弦定理的单调性，可得sinA>sin，所以sinA>cosB，故A正确； 对于B，在△ABC中，由A>B知a>b，根据正弦定理可得sinA>sinB，故B正确； 对于C，由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，则2RsinAcosA＝2RsinBcosB， 可得sin2A＝sin2B，故2A＝2B或2A＋2B＝π， △ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，在△ABC中，可得A＋B＋C＝π则A＋B＝π－C， 所以tan(A＋B)＝tan(π－C)，即＝－tanC， 可得tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，故D正确． 故选ABD. 16．已知直线y＝2－x分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论中正确的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．ex1＋ex2＝2e C．x1lnx2＋x2lnx1<0 D．x1ex2－x2ex1<0 【答案】ACD 【解析】函数y＝ex与y＝lnx互为反函数， 则y＝ex与y＝lnx的图象关于y＝x对称， 将y＝－x＋2与y＝x联立，则x＝1，y＝1， 由直线y＝－x＋2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 作出函数图象： 则A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为(1,1)． 对于A，由＝1，解得x1＋x2＝2，故A正确； 对于B，ex1＋ex2≥2＝2＝2＝2e， 因为x1≠x2，即等号不成立，所以ex1＋ex2>2e，故B错误； 对于C，将y＝－x＋2与y＝ex联立可得－x＋2＝ex，即ex＋x－2＝0，设f(x)＝ex＋x－2，且函数为单调递增函数， ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f＝e＋－2＝e－>0，故函数的零点在上，即0<x1<，由x1＋x2＝2，则<x2<2，x1lnx2＋x2lnx1＝x1lnx2－x2ln<x1lnx2－x2lnx2＝(x1－x2)lnx2<0，故C正确； 对于D，x2lnx1－x1lnx2＝x2lnx1＋x1ln<x2ln＋x1ln＝(x2＋x1)ln<0， 所以有x2lnx1<x1lnx2，两边同时取指数可得x1ex2<x2ex1⇒x1ex2－x2ex1<0， 故D正确．故选ACD. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．化简：－－log25·log58＝________． 【答案】－1 【解析】原式＝(2－3)－－·＝2－3＝－1. 故答案为：－1. 18．如图，已知圆锥的母线AB＝12，底面半径为2，从点B绕侧面一周回到点B的最短距离是________． 【答案】12 【解析】底面半径为2，将侧面展开，设∠A的度数为n°，则＝4π，解得n＝60，故从点B绕侧面一周回到点B的最短距离是12.故答案为：12. 19．若a＞0，b＞0，且2a＋b＝4，则log2a＋log2b的最大值为________． 【答案】1 【解析】∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝4≥2，解得ab≤2，∴log2a＋log2b＝log2ab≤1， 当且仅当a＝1，b＝2时取等号，故log2a＋log2b的最大值为1. 20．已知函数f(x)＝函数y＝f(x)－a有四个不同零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则实数a的取值范围为________，x1x2＋x3x4的取值范围为________． 【答案】(1，e]　[4,5) 【解析】由题设，当x∈(－∞，－1)时，y＝e－x－1∈(1，＋∞)，且单调递减； 当x∈(－1,0]时，y＝ex＋1∈(1，e]，且单调递增； 当x∈(0,2)，y＝x＋－3∈(1，＋∞)，且单调递减； 当x∈(2，＋∞)，y＝x＋－3∈(1，＋∞)，且单调递增． 综上，f(x)的函数图象如下： 所以y＝f(x)－a有四个不同零点，即f(x)与y＝a有四个交点，由图知1<a≤e， 则x1，x2在y＝e|x＋1|上，x3，x4在y＝x＋－3上， 令e|x1＋1|＝e|x2＋1|＝a，则|x1＋1|＝|x2＋1|＝ln a，即x1，x2是(x＋1)2－(lna)2＝0的两个根，故x1x2＝1－(lna)2， 而x3，x4是x＋－3＝a，即x2－(a＋3)x＋4＝0的两个根，故x3x4＝4， 所以x1x2＋x3x4＝5－(lna)2∈[4,5)．故答案为：(1，e]，[4,5)． 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)牯藏节是苗族的传统节日，西江千户苗寨为了丰富居民的业余生活，举办了关于牯藏节的知识竞赛，比赛共分为两轮．在第一轮比赛中，每一位选手均需要参加两关比赛，若在两关比赛均达标，则进入第二轮比赛．已知在第一轮比赛中，选手A，B第一关达标的概率分别为，；第二关达标的概率分别是，．A，B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响． (1)分别求出A，B进入第二轮比赛的概率； (2)若A，B两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率． 【答案】(1)，　(2) 【解析】(1)由选手A，B第一关达标的概率分别为，，第二关达标的概率分别是，， 记“A，B进入第二轮比赛”分别为事件M1和事件M2， 则P(M1)＝×＝，P(M2)＝×＝. 所以A，B进入第二轮比赛的概率分别为和. (2)记“两人中至少有一人进入第二轮比赛”为事件M3，则P(M3)＝1－×＝. 所以两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率为. 22．(本小题满分11分)已知函数f(x)＝sin－，g(x)＝2cos－2－m， (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)求函数g(x)的最大值、最小值及对应的x值的集合； (3)若对任意x1∈，存在x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，k∈Z. (2)时，g(x)max＝－m； 时，g(x)min＝－m－4. (3)m∈ 【解析】(1)2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解不等式得x∈，k∈Z， 所以函数的单调递减区间为，k∈Z. (2)2x＋＝2kπ，即时， g(x)max＝－m， 2x＋＝2kπ＋π，即时， g(x)min＝－m－4. (3)x1∈－，时，－≤－2x1≤，－≤f(x1)≤， x2∈－，时，2x2＋∈，g(x2)∈， 要使得f(x1)＝g(x2)，只需 ∴m∈. 23．(本小题满分11分)设函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是定义域为R的奇函数，且y＝f(x)的图象过点． (1)求t和a的值； (2)若∀x∈R，f(kx－x2)＋f(x－1)<0，求实数k的取值范围； (3)是否存在实数m，使函数g(x)＝22x＋2－2x－mf(x)在区间[1，log23]上的最大值为1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t＝2，a＝2 (2)－3<k<1 (3)存在，m＝ 【解析】 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，∴f(0)＝＝0， ∴t＝2，此时f(x)＝ax－a－x，满足f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，故t＝2符合题意， ∵函数f(x)的图象过点，∴a－a－1＝，即2a2－3a－2＝0，解得a＝2或a＝－，因为a>0且a≠1， ∴a＝2. (2)由(1)知f(x)＝2x－2－x， 由f(kx－x2)＋f(x－1)<0，得f(kx－x2)<－f(x－1)， ∵f(x)为奇函数，∴f(kx－x2)<f(1－x)， ∵f(x)＝2x－2－x为R上的增函数， ∴kx－x2<1－x对一切x∈R恒成立，即x2－(k＋1)x＋1>0对一切x∈R恒成立， 故Δ＝(k＋1)2－4<0，解得－3<k<1. (3)由题意g(x)＝22x＋2－2x－m(2x－2－x)， 设t＝2x－2－x，则(2x－2－x)2－m(2x－2－x)＋2＝t2－mt＋2， ∵x∈[1，log23]，∴t∈，记h(t)＝t2－mt＋2， ∴函数h(t)＝t2－mt＋2在上的最大值为1. ①若对称轴t＝>＝， ∴h(t)max＝h＝－m＝1⇒m＝，不合题意． ②若对称轴t＝≤， ⇒⇒m＝. 综上所述：故存在实数m＝，使函数g(x)在[1，log23]上的最大值为1. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$