仿真模拟卷 2（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷2 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝(　　) A．{2} B．{2,3} C．{3,4} D．{2,3,4} 【答案】B 【解析】由题设有A∩B＝{2,3}，故选B. 2．青少年视力问题是社会普遍关注的，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为(≈1．259)(　　) A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6 【答案】C 【解析】由L＝5＋lgV，当L＝4.9时，lgV＝－0.1，则V＝10－0.1＝10－＝≈≈0.8.故选C. 3．若复数z＝，则|z－i|＝(　　) A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为复数z＝，所以z－i＝－i＝1－2i，所以|z－i|＝＝，故选B. 4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】设在高二年级的学生中应抽取的人数为n，依题意可得＝，解得n＝8.故选C. 5．设函数f(x)＝cosωx＋在[－π，π]上的图象大致如右图，则f(x)的最小正周期为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可得函数图象过点，将它代入函数f(x)可得cos＝0， 又因为是函数f(x)图象与x轴负半轴的第一个交点，所以－·ω＋＝－，解得ω＝， 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝.故选C. 6．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100．由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1．732)(　　) A．346 B．373 C．446 D．473 【答案】B 【解析】如图，过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，故AA′－CC′＝AA′－(BB′－BH)＝AA′－BB′＋100＝AD＋100， 由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD＝DB.所以AA′－CC′＝DB＋100＝A′B′＋100. 因为∠BCH＝15°，所以CH＝C′B′＝在△A′B′C′中，由正弦定理得 ＝＝＝，而sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝， 所以A′B′＝＝100(＋1)≈273，所以AA′－CC′＝A′B′＋100≈373.故选B. 7．如图，△BCD与△ABC的面积之比为，点P是区域BCD内的任意一点(含边界)，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　) A．[0，] B．[＋1,2] C．[1，] D．[1，＋1] 【答案】D 【解析】将图形特殊化，设AD垂直平分BC于O，则DO＝AO， 当点P在BC时，P，B，C三点共线，则λ＋μ＝1，此时λ＋μ最小， 当点P在D时，＝(＋1)＝(＋1)＋，此时λ＝μ＝，所以λ＋μ＝＋1，此时λ＋μ最大， 所以λ＋μ的取值范围为[1，＋1]，故选D. 8．若正实数a，b满足log2a－＝2log4b－，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．b>2a D．以上都不对 【答案】B 【解析】由复合函数单调性知，f(x)＝log2x－，在x∈(0，＋∞)上单调递增， 则f(a)＝log2a－，f(2b)＝log2(2b)－＝2log4b－＋1， 又log2a－＝2log4b－⇒f(a)＝f(2b)－1，因此f(a)<f(2b)，则a<2b.故选B. 9．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．若x1≠x2，且g(x1)g(x2)＝2，则|x1－x2|的最小值为(　　) A． B．π C．2π D．4π 【答案】B 【解析】由题设知f(x)＝sinx＋，故y＝g(x)＝sin2x＋， 要使x1≠x2且g(x1)g(x2)＝2，则g(x1)＝g(x2)＝或g(x1)＝g(x2)＝－， ∴|x1－x2|的最小值为1个周期长度，则|x1－x2|min＝＝π.故选B. 10．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区流感病毒感染累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【解析】∵I(t)＝，所以I(t*)＝＝0.95K，则e0.23(t*－53)＝19， 所以0.23(t*－53)＝ln19≈3，解得t*≈＋53≈66.故选C. 11．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，其中ω>0，若对任意的φ∈，f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是(　　) A．ω＝ B．ω＝ C．ω＝ D．ω＝ 【答案】B 【解析】解：设t＝ωx＋φ，则φ≤t≤2πω＋φ，所以y＝cost在[φ，2πω＋φ]上有4个零点， 可知≤2πω＋φ<π，所以－≤ω<－，又φ∈，，所以－≤ω<－，即≤ω<，满足的只有B，故选B. 12．设a∈R，函数f(x)＝若f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a的取值范围是(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 【答案】A 【解析】∵x2－2(a＋1)x＋a2＋5＝0最多有2个根，所以cos(2πx－2πa)＝0至少有4个根， 由2πx－2πa＝＋kπ，k∈Z可得x＝＋＋a，k∈Z，由0<＋＋a<a可得－2a－<k<－. (1)若x<a，当－5≤－2a－<－4时，f(x)有4个零点，即<a≤；当－6≤－2a－<－5时，f(x)有5个零点，即<a≤；当－7≤－2a－<－6时，f(x)有6个零点，即<a≤. (2)若x≥a，f(x)＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5，Δ＝4(a＋1)2－4(a2＋5)＝8(a－2)． 当a<2时，Δ<0，f(x)无零点； 当a＝2时，Δ＝0，f(x)有1个零点； 当a>2时，令f(a)＝a2－2a(a＋1)＋a2＋5＝－2a＋5≥0，则2<a≤，此时f(x)有2个零点． 所以若a>时，f(x)有1个零点． 综上，要使f(x)在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则应满足 或或， 则可解得a的取值范围是∪. 13．已知实数x，y满足1<x<6,2<y<3，则(　　) A．3<x＋y<9 B．－1<x－y<3 C．2<xy<18 D．<<2 【答案】AC 【解析】由1<x<6,2<y<3，知3<x＋y<9,2<xy<18，A，C正确； －3<－y<－2，故－2<x－y<4，B错误；<<，故<<3，D错误．故选AC. 14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3,2)，c＝(1,1)，则(　　) A．a∥b B．⊥c C．a＋b＝c D．c＝5a＋3b 【答案】BD 【解析】由题意，2×2－(－3)×(－1)≠0，A错误； a＋b＝(－1,1)，(a＋b)·c＝－1＋1＝0，所以B正确，C错误；5a＋3b＝5(2，－1)＋3(－3,2)＝(1,1)＝c，D正确．故选BD. 15．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则(　　) A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使PQ∥平面MBN C．三棱锥P－MBN的体积为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为 【答案】ABC 【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1B，CD1，因为N，P分别是CC1，C1D1的中点，所以CD1∥PN， 又因为CD1∥A1B，所以A1B∥PN，所以A1，B，N，P四点共面，即当Q与A1重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；连接PQ，A1C1，当Q是D1A1的中点时，因为PQ∥A1C1，A1C1∥MN，所以PQ∥MN， 因为PQ⊄平面BMN，MN⊂平面BMN，所以PQ∥平面BMN，故选项B正确； 连接D1M，D1N，D1B，因为D1M∥BN， 所以V三棱锥P－MBN＝V三棱锥M－PBN＝V三棱锥D1－PBN＝V三棱锥B－D1PN＝××1×1×2＝，故选项C正确； 分别取BB1，DD1的中点E，F， 构造长方体MADF－EBCN， 则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF－EBCN的外接球，设所求外接球的直径为2R， 则长方体MADF－EBCN的体对角线即为所求的球的直径，即(2R)2＝AB2＋BC2＋CN2＝4＋4＋1＝9， 所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为4πR2＝9π，故选项D错误． 故选ABC. 16．如图，四棱柱A′B′C′D′－ABCD的底面是边长为1的正方形，∠A′AB＝∠A′AD，P是直线A′C′上一动点，下列说法正确的是(　　) A．若棱柱A′B′C′D′－ABCD是直棱柱，其外接球半径为2，则AA′＝2 B．若棱柱A′B′C′D′－ABCD是正方体，E，F分别为棱AA′，CC′中点，则四棱锥A′－EBFD′的体积为 C．不论∠A′AB取何值，一定存在点P使得直线PC∥平面A′BD D．若直线PA，PB，PC与平面ABCD所成的角分别是θ1，θ2，θ3，则tan2θ2≤tanθ1·tanθ3 【答案】BCD 【解析】对于A，若棱柱A′B′C′D′－ABCD是直棱柱，则其体对角线为外接球的直径， 所以＝2×2＝4，即＝4，解得AA′＝，故A错误． 对于B，若棱柱A′B′C′D′－ABCD是正方体，则棱长均为1，因为E，F分别为棱AA′，CC′中点， 所以BE＝BF＝D′F＝D′E＝，即四边形EBFD′为菱形， 所以VA′－EBFD′＝2VA′－EFD′＝2VF－A′ED′＝2×S△A′ED′×1＝2××××1×1＝，故B正确． 对于C，连接AC，BD交于点O，连接A′O，PC，如图所示， 当P为A′C′中点时，有PA′＝OC，PA′∥OC，所以四边形PA′OC为平行四边形， 所以A′O∥PC，因为A′O⊂平面A′BD，PC⊄平面A′BD，所以PC∥平面A′BD， 所以当P为A′C′中点时，不论∠A′AB取何值，一定存在点P使得直线PC∥平面A′BD，故C正确． 对于D，作PH⊥底面ABCD于H，连接PA，PB，PC，如图所示， 因为∠A′AB＝∠A′AD，则H一定在AC所在直线上，则∠PAH＝θ1，∠PBH＝θ2，∠PCH＝θ3， 所以tan2θ2＝，tanθ1＝，tanθ3＝. 当H位于线段AC内时，设AH＝x，则x∈[0，]时，此时CH＝－x， 由余弦定理得BH2＝AH2＋AB2－2AH·AB·cos45°＝x2＋1－x， 所以BH2－AH·CH＝x2＋1－x－x＝2x－2≥0恒成立． 当H位于AC延长线，即x>时，此时CH＝x－， 由余弦定理得BH2＝AH2＋AB2－2AH·AB·cos45°＝x2＋1－x， 所以BH2－AH·CH＝x2＋1－x－x＝1≥0恒成立． 当H位于CA延长线时，设AH＝x，则CH＝x＋， 由余弦定理得BH2＝AH2＋AB2－2AH·AB·cos135°＝x2＋1＋x， 所以BH2－AH·CH＝x2＋1＋x－x＝1≥0恒成立． 综上BH2≥AH·CH恒成立，所以≤，则≤·， 所以tan2θ2≤tanθ1·tanθ3，故D正确． 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．若a＝(－2,3)，b＝(10，m)，且b＝λa，则λ＝________． 【答案】－5 【解析】因为a＝(－2,3)，b＝(10，m)，且b＝λa，所以－2λ＝10，λ＝－5.故答案为：－5. 18．已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________． 【答案】1 【解析】因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)，故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)，因为f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)， 即x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，整理得到(a－1)(2x＋2－x)＝0，故a＝1，故答案为：1. 19．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝x2，∀x1，x2∈[0，＋∞)均有>(x1≠x2)，则不等式f(x)－f(1－x)>x－的解集为____________． 【答案】 【解析】因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝x2，所以设g(x)＝f(x)－x2，则g(x)＝－g(－x)， 所以g(x)＝f(x)－x2为奇函数，因为∀x1，x2∈[0，＋∞)，都有>(x1≠x2)， 当x1>x2时，则有f(x1)－f(x2)>，即f(x1)－>f(x2)－，所以g(x1)>g(x2)， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当x1<x2时，则有f(x1)－<f(x2)－，所以g(x1)<g(x2)，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 综上：g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为g(x)为奇函数，则g(x)在R上单调递增，f(x)－f(1－x)>x－变形为f(x)－x2>f(1－x)－(1－x)2， 即g(x)>g(1－x)，所以x>1－x，解得x>.故答案为：. 20．已知正实数a，b满足2a＋b＝2，则ab的最大值为________；a2＋ab＋a＋b－的最大值为________． 【答案】　　－ 【解析】①由2＝2a＋b≥2，得ab≤，当且仅当2a＝b＝1，即a＝，b＝1时取等号． ②a2＋ab＋a＋b＝(a＋b)(a＋1)≤2＝2＝，当且仅当a＋b＝a＋1，即a＝，b＝1时取等号， 又由①知ab≤，故－≤－4，当且仅当a＝，b＝1时取等号，所以a2＋ab＋a＋b－≤＋(－4)＝－， 当且仅当a＝，b＝1时取等号．故答案为：；－. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)已知函数f(x)＝sin＋cos (1)求f的值； (2)求函数f在上的增区间和值域． 【答案】(1)　(2)； 【解析】(1)因为f(x)＝sin＋cos，所以f(x)＝sin2xcos＋cos2xsin＋cos2xcos＋sin2xsin＝sin2x＋cos2x＋cos2x＋sin2x＝2＝2sin， 即f(x)＝2sin，所以f＝2sin＝2sin＝2sin＝. (2)由(1)可得f＝2sin＝2sin， 因为x∈，所以2x＋∈，所以sin∈，则f∈， 令≤2x＋≤，解得0≤x≤，即函数在上的单调递增区间为. 22．(本小题满分11分)在三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，AP＝AC＝2，AB＝1， (1)求三棱锥P－ABC的侧面积； (2)求点A到平面PBC的距离． 【答案】(1)3＋　(2) 【解析】(1)∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，又AB⊥AC，∴△PAB，△PAC，△ABC均为直角三角形， 又AP＝AC＝2，AB＝1，∴PB＝＝，PC＝＝2，BC＝＝，∴△PBC为等腰三角形，∴S△PBC＝××2＝，S△PAB＝×1×2＝1，S△PAC＝×2×2＝2，∴S侧＝3＋； (2)由(1)知，S△ABC＝×1×2＝1，∴VP－ABC＝×1×2＝， 设点A到平面PBC的距离为d，则VA－PBC＝×d×＝，∴d＝，即点A到平面PBC的距离. 23．(本小题满分11分)已知函数f(x)＝x2－(3a＋2)x＋2a＋1，a∈R． (1)求f(x)在[0,2]上的最小值； (2)设函数g(x)＝，x>－1，若方程f(g(x))＝0有且只有两个不同的实数根，求a的取值范围． 【答案】(1)f(x)min＝　(2)a<－或a＝－ 【解析】(1)因为函数f(x)的对称轴方程为x＝，且开口向上． ①当≤0，即a≤－时，f(x)在[0,2]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝2a＋1. ②当0<<2，即－<a<时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝－. ③当≥2，即a≥时，f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝－4a＋1. 综上，f(x)min＝ (2)令t＝g(x)，由题意可知f(t)＝0一定有解，不妨设为t1，t2，且t1≤t2， 则f(g(x))＝0等价于以下四种情况： ①当t1＝0，t2≥1时，由f(0)＝0解得a＝－，此时t2＝，不符合题意． ②当t1≠t2且t1，t2≥1时，需满足此时无解． ③当0<t1＝t2<1时，需满足解得a＝－. ④当t1<0<t2<1时，需满足解得a<－. 综上，可得a<－或a＝－. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$