仿真模拟卷 1（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·仿真模拟卷

仿真模拟卷1 一、单选题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．在复平面内，复数z＝，则z的虚部是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－1 B．1 C．2 D．－2 【答案】A 【解析】z＝＝＝＝1－i，所以z的虚部为－1，故选A. 2．已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B＝(　　) A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3} 【答案】D 【解析】由x2－3x－4<0解得－1<x<4，所以A＝{x|－1<x<4}，又因为B＝{－4,1,3,5}，所以A∩B＝{1,3}， 故选D. 3．已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立； 若a2>36，则a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立． 所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件．故选A. 4．如图，△A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝2，B′C′＝2，那么(　　) A．AD的长度大于AC的长度 B．△A′B′C′的面积为2 C．△ABC的面积为4 D．∠ABC＝ 【答案】C 【解析】依题意D′是B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝2，B′C′＝2， △A′D′C′中，∠A′D′C′＝，△ADC中，∠ADC＝，AD＝2A′D′＝4，CD＝1，AC＝＝， AD＜AC，所以A选项错误．S△ABC＝×2×4＝4，C选项正确．S△A′B′C′＝2×＝，B选项错误． 由于∠ADB＝，BD＝1，AD＝4，BD≠AD，所以△ABC不是等腰直角三角形，所以D选项错误．故选C. 5．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，共有16个样本点，为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)(4,3)，(4,4)．这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a－b|≤1的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.故选B. 6．已知向量a＝，＝3，a·b＝3，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为a＝，所以|a|＝＝2， 又因为a·b＝3，设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，所以|a||b|cosθ＝3，即2×3×cosθ＝3， 解得cosθ＝，故θ＝，故选A. 7．正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，＝x＋y，则x＝(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意即 解得 ∴＝＋＝＋，又＝x＋y，∴＝－，∴＝，则x＝，故选C. 8．已知a>b>0，且a＋b＝1，则下列结论正确的是(　　) A．ln(a－b)>0 B．＋>2 C．ba>ab D．＋>4 【答案】D 【解析】由题设，知0<b<a<1，即0<a－b<1，则ln(a－b)<0，A错误； 由a＋b＝1≥，又0<b<a<1，可得＋<，B错误； 由0<b<a<1知ba<bb<ab，C错误；＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，又0<b<a<1， ∴＋>4，D正确．故选D. 9．已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　) A．f＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 【答案】B 【解析】因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)， 因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以，f(1－x)＝－f(x＋1)， 所以，f(x＋3)＝－f(x＋1)，即f(x)＝f(x＋4)， 故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0， 故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知．故选B. 10．如图，在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是该正方体对角线BD1上的动点，则以下结论不正确的是(　　) A．B1P⊥AC B．直线AP与平面ABCD所成角的最大值为 C．△APC面积的最小值是 D．当BP＝时，平面ACP∥平面A1C1D 【答案】C 【解析】解：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂面BDD1B1，故AC⊥面BDD1B1，又B1P⊂面BB1D1D，∴AC⊥B1P，故A正确； 过点P作PM⊥BD交BD于点M，连接AM，依题意可得PM⊥面ABCD，所以∠PAM即为AP与平面ABCD所成的角，当PM＝0时，P与B重合，此时AP⊂平面ABCD，AP与平面ABCD所成的角为0°， 令PM＝x,0<x≤2，则BM＝x，AM＝＝，所以tan∠PAM＝＝＝＝＝，当且仅当＝即x＝2时tan∠PAM取最大值1，所以∠PAM最大值为，故B正确； 如图，连接BD交AC于E，∵EP⊂面BDD1B1，∴AC⊥EP，故S△APC＝AC·PE＝PE， 在Rt△BDD1中，当PE⊥BD1时，PE取最小值，BD＝2，BD1＝＝＝2， 所以sin∠DBD1＝＝，此时PE＝BEsin∠DBD1＝×＝，∴(S△APC)min＝PE＝×＝，故C错误； 当BP＝时，在△BEP中，BE＝，cos∠DBD1＝＝， ∴PE＝＝＝， 得PE2＋PB2＝2＋2＝BE2，则PE⊥PB，又AC⊥PB，AC∩PE＝E，AC，PE⊂面APC，∴BD1⊥面APC， 由正方体知BD1⊥A1C1，BD1⊥A1D，即BD1⊥面A1C1D，∴面ACP∥面A1C1D，故D正确．故选C. 11．设不为1的实数a，b，c满足a>b>c>0，则(　　) A．logcb>logab B．ab>cb C．ba>bc D．logab>logac 【答案】B 【解析】a>b>1>c>0时，logcb<0，logab>0，logcb<logab，∴A不成立； ∵y＝xb在(0，∞)上是增函数，且a>c>0，∴ab>cb，∴B成立； 当0＜b＜1时，y＝bx是减函数，ba<bc，∴C不成立； 当0<a<1时，y＝logax在(0，∞)上是减函数，∴logab<logac，∴D不成立．故选B. 12．设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b．若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【答案】D 【解析】因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)①； 因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)②. 令x＝1，由①得f(0)＝－f(2)＝－(4a＋b)，由②得f(3)＝f(1)＝a＋b， 因为f(0)＋f(3)＝6，所以－(4a＋b)＋a＋b＝6⇒a＝－2， 令x＝0，由①得f(1)＝－f(1)⇒f(1)＝0⇒b＝2，所以f(x)＝－2x2＋2. 思路一：从定义入手． f＝f＝f＝f， f＝f＝－f＝－f， －f＝－f＝－f＝－f， 所以f＝－f＝. 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数f(x)的周期T＝4. 所以f＝f＝－f＝.故选D. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为(　　) A．若a>b，则ac<bc B．若ac2>bc2，则a>b C．若a<b<0，则a2>ab>b2 D．若a>0>b，则|a|<|b| 【答案】BC 【解析】A选项，a>b，若c＝0，则ac＝bc， 所以A选项错误． B选项，ac2>bc2⇒a>b，B选项正确． C选项，a<b<0，a－b<0，a2－ab＝a(a－b)>0，a2>ab；ab－b2＝b(a－b)>0，ab>b2， 所以a2>ab>b2，C选项正确． D选项，取a＝1，b＝－1，|a|＝|b|，所以D选项错误．故选BC. 14．设向量a＝(－1,1)，b＝(0,2)，则(　　) A．|a|＝|b| B．(a－b)∥b C．(a－b)⊥a D．a与b的夹角为 【答案】CD 【解析】对于A，因为a＝(－1,1)，b＝(0,2)，所以＝＝，＝2，所以≠，所以A错误； 对于B，由a＝(－1,1)，b＝(0,2)，得a－b＝(－1，－1)，而b＝(0,2)，所以(a－b)与b不共线，所以B错误； 对于C，由a－b＝(－1，－1)，a＝(－1,1)，得(a－b)·a＝－1×(－1)＋(－1)×1＝0，所以(a－b)与a垂直，所以C正确； 对于D，由a＝(－1,1)，b＝(0,2)，得cos〈a，b〉＝＝，而〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，所以D正确． 故选CD. 15．一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有(　　) A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B．“至少有1件次品”和“都是次品” C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D．“至少有1件次品”和“都是正品” 【答案】AD 【解析】A，“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件； B，“至少有1件次品”的基本事件中包含了“都是次品”的事件，不是互斥事件； C，“至少有1件正品”的基本事件为{“有1件正品和1件次品”，“有2件正品”}，“至少有1件次品”的基本事件为{“有1件正品和1件次品”，“有2件次品”}，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”，不是互斥事件； D，由C分析知“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件．故选AD. 16．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则(　　) A．(4a)b的最大值为 B．＋的最大值为 C．log2(a2＋b2)的最小值为0 D．的最小值为＋1 【答案】ABD 【解析】对于选项A，因为a>0，b>0，a＋b＝1， 所以≤＝，即ab≤，当且仅当a＝b＝时，ab有最大值，又因为y＝4x是单调递增函数， 所以(4a)b＝4ab≤4＝，故A正确； 对于选项B，由基本不等式的变形可知，≤＝，即＋≤， 当且仅当a＝b＝时，＋的最大值为，故B正确； 对于选项C，由≥＝，即a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时，a2＋b2取得最小值，因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log2(a2＋b2)≥log2＝－1，从而log2(a2＋b2)的最小值为－1，故C错误； 对于选项D，因为a>0，b>0，a＋b＝1， 所以＝＝＋＋＝＋＋＝＋＋1，故＝＋＋1≥2＋1＝＋1， 当且仅当＝，即a＝，b＝时，有最小值＋1，故D正确．故选ABD. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________． 【答案】 【解析】因为a－λb＝(1,3)－λ(3,4)＝(1－3λ，3－4λ)，所以由⊥b可得3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝.故答案为：. 18．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)．明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理(图2)．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动． 如图3，将筒车抽象为一个几何图形(圆)，以筒车转轮的中心O为原点，过点O的水平直线为x轴建立直角坐标系xOy．已知一个半径为1．6m的筒车按逆时针方向每30s匀速旋转一周，O到水面的距离为0．8m．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现(P0时的位置)时开始计算时间，且设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t(单位：s)，且此时点P距离水面的高度为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，则d关于t的函数关系式为____________，在水轮转动的任意一圈内，点P距水面的高度不低于1．6m的时长为________s． 【答案】d＝1.6sint－＋0.8(t≥0)　10 【解析】依题意，点P0到x轴距离为0.8 m，而|OP0|＝1.6m，则∠xOP0＝， 从点P0经ts运动到点P所转过的角为t＝t，因此，以Ox为始边，OP为终边的角为t－， 点P的纵坐标为1.6sin，于是得点P距离水面的高度d＝1.6sin＋0.8(t≥0)， 由d≥1.6得sin≥，而t≥0，即2kπ＋≤t－≤2kπ＋，k∈N，解得30k＋5≤t≤30k＋15，k∈N，对于k的每个取值，30k＋15－(30k＋5)＝10， 所以d关于t的函数关系式为d＝1.6sin＋0.8(t≥0)，水轮转动的任意一圈内，点P距水面的高度不低于1.6 m的时长为10 s．故答案为： d＝1.6sin＋0.8(t≥0)；10. 19．有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条棱上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为________． 【答案】12 【解析】设正六边形的边长为a，根据题意有6×a2＝2，可得a2＝＝， 由题意可知，原正四面体的棱长为3a，故原正四面体的表面积为S＝×(3a)2×4＝12，故答案为：12. 20．已知正实数a，b，c，a＋b＝3，则＋＋的最小值为________． 【答案】2－2 【解析】由正实数a，b，a＋b＝3，可得3＝， 所以＋＋＝c×＋＋＝c×＋ ＝c×＋＝c×＋＋＋ 而＋≥2＝，当且仅当＝即a＝1，b＝2时取等号， 故＋＋≥c＋＋＝2(c＋1)＋－2≥2－2， 当且仅当2(c＋1)＝，即c＝－1时取等号，故答案为：2－2. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0，|φ|<图象上两相邻最高点之间的距离为π，且点P是该函数图象上的一个最高点． (1)求函数f(x)的解析式； (2)把函数f(λx)(λ>0)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若恒有g(x)≤g，求实数λ的最小值． 【答案】(1)f(x)＝sin　(2)4 【解析】(1)根据题意得函数的周期为π，即T＝＝π，故ω＝2，∵点P是该函数图象上的一个最高点， ∴A＝1，即f(x)＝sin(2x＋φ)，将点P代入函数解析式，得sin＝1，即2·＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝2kπ－(k∈Z)，又∵|φ|<， ∴φ＝－，故f(x)＝sin. (2)∵函数f(λx)＝sin， ∴g(x)＝sin， ∵恒有g(x)≤g成立， ∴g(x)在x＝处取得最大值， 则2λ×－＝2kπ＋，k∈Z，得λ＝－6k－2， ∵λ>0，k∈Z，故当k＝－1时，实数λ取最小值4. 22．(本小题满分11分)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝B D．证明：平面ACD⊥平面ABC． 【解析】证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD. ∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，△ABD与△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，∵△ACD是直角等腰三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°，∴DO＝AC， ∴DO2＋BO2＝AB2＝BD2，∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD，又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD. 又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC. 23．(本小题满分11分)已知函数f(x)＝(x－2)|x＋a|(a∈R)． (1)当a＝1时，①求函数f(x)单调递增区间，②求函数f(x)在区间[－4,1]的值域； (2)当x∈[－3,3]时，记函数f(x)的最大值为g(a)，求g(a)的表达式． 【答案】(1)①(－∞，－1]，　②[－18,0] (2)g(a)＝ 【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝(x－2)|x＋1|＝ ①当x≤－1时，f(x)＝－x2＋x＋2在(－∞，－1]上单调递增，当x>－1时，f(x)＝x2－x－2在－1，上单调递减，在，＋∞上单调递增．所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]，，＋∞. ②由①知：f(x)在[－4，－1]上单调递增，在－1，上单调递减，在，1上单调递增． 于是有f(x)min＝minf(－4)，f，f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}， 而f(－4)＝－18，f＝－，f(－1)＝0，f(1)＝－2，则f(x)min＝－18，f(x)max＝0， 所以f(x)在[－4,1]上的值域为[－18,0]． (2)依题意， f(x)＝ ①当－a≥3，即a≤－3时，f(x)＝－x2＋(2－a)x＋2a，对称轴为x＝≥， 当≥3，即a≤－4时，f(x)在[－3,3]上单调递增，g(a)＝f(x)max＝f(3)＝－a－3， 当≤<3，即－4<a≤－3时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，g(a)＝f(x)max＝f＝； ②当－a≤2，即a≥－2时，若x∈[－3,2]有f(x)≤0，若x∈(2,3]有f(x)>0， 因当x∈(2,3]时，f(x)＝x2＋(a－2)x－2a，对称轴x＝≤2， 则f(x)在(2,3]上单调递增，g(a)＝f(x)max＝f(3)＝a＋3； ③当2<－a<3，即－3<a<－2时，2<<， f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(－a,3]上单调递增， g(a)＝f(x)max＝max＝max， 若a＋3≥，即－2≤a<－2时，g(a)＝a＋3， 若a＋3<，即－3<a<－2时，g(a)＝， 综上所述：g(a)＝ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$