第17练 空间点、直线、平面之间的位置关系（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第17练　空间点、直线、平面之间的位置关系 一、单选题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分) 1．空间两条直线的位置关系不可能是(　　) A．平行 B．相交 C．同时和两条异面直线都相交 D．平行且与一对异面直线都相交 【答案】D 【解析】反证，若两条直线平行，则确定了一个平面，如果都与一对直线相交，则这两条直线共面，故选D. 2．用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是(　　) A．六边形 B．菱形 C．梯形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】截面不可能是直角三角形，故选D. 3．下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是(　　) 【答案】D 【解析】D选项中四个点构造成三棱锥，故选D. 4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的面A1C1，B1C，CD1的中心分别为O1，O2，O3，则直线AO1与直线O2O3所成的角为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】A 【解析】连接B1D1⇒AO1⊥B1D1，B1D1∥O2O3，故选A. 5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是(　　) A．4条 B．6条 C．8条 D．10条 【答案】C 6．若a，b是异面直线，P是a，b外的一点，有以下四个命题： ①过P点可作直线l与a，b都相交； ②过P点可作平面与a，b都平行； ③过P点可作直线l与a，b都垂直； ④过P点可作直线l与a，b所成角都等于50°. 这四个命题中正确命题的序号是(　　) A．①②③ B．②③④ C．② D．③④ 【答案】D 【解析】②可能不存在，排除A，B，C，故选D. 7．在平面α内和这个平面的斜线l垂直的直线(　　) A．只有一条 B．可能一条也没有 C．可能有一条也可能有两条 D．有无数条 【答案】D 【解析】因为一条线垂直于另一条线，则垂直于另一条线的平行线， 而在平面α内过斜线l的斜足必然可作出一条直线a， 使其垂直于l，即l⊥a， 又在平面α内显然可作无数条直线b，使得a∥b， 故l⊥b，因此与l垂直的直线有无数条．故选D. 8．在正方体中ABCD－A1B1C1D1，直线A1B与AD1所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据正方体的性质可知A1B∥D1C，所以∠AD1C是直线A1B与AD1所成角， 由于三角形ACD1是等边三角形，所以∠AD1C＝，即直线A1B与AD1所成角的大小为.故选B. 9．下列四个命题中假命题的个数是(　　) ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行 ②两条直线没有公共点，则这两条直线平行 ③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行 ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】四个命题都存在反例，故选A. 10．有六根细木棒，其中较长的两根长度分别为，，其余四根长度均为1，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为(　　) A．0 B. C．0或 D．以上皆不对 【答案】C 【解析】两根较长的可以相邻，夹角余弦值为，也可以相对垂直，夹角余弦值为0.故选C. 11．已知l，m是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是(　　) A．若α⊥β，l∥β，则l⊥α B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α C．若m⊂α，l∥β，l∥m，则α∥β D．若m⊥α，l∥β，l∥m，则α⊥β 【答案】D 【解析】选项A，若α⊥β，l∥β，则l∥α或l⊂α或l与α相交，A错误；选项B，要得到l⊥α，则需要l与平面α内两条相交直线垂直，只有l⊥m，m⊂α得不到l⊥α，B错误；选项C，若m⊂α，l∥β，l∥m，则α∥β或α与β相交，C错误；选项D，若m⊥α，l∥β，l∥m，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，D正确．故选D. 12．从空间一点O引三条两两成60°角的三条线段OA，OB，OC，OA＝1，OB＝x，OC＝y.如果x＋y＝4，则四面体OABC的体积的最大值为(　　) A. 　　　 B. C. 　　　 D. 【答案】D 【解析】如图，V＝×xysin60°h ＝xy≤2＝. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．已知a，b是空间一对异面直线，则在平面α的射影可能是(　　) A．不同的两个点 B．一条直线和线外的一个点 C．两条平行线 D．两条相交直线 【答案】BCD 【解析】当a，b平行时，在同一平面的射影为2个点，A不正确，其余情况都存在位置满足条件，故选BCD. 14．已知二面角α－l－β的大小为60°，直线m，n分别在半平面α，β内，则(　　) A．直线m，n所成角可以大于60° B．直线m与平面β所成角的最大值为60° C．直线m，n所成角的最小值为60° D．直线m与平面β所成角可以为90° 【答案】AB 【解析】直线m，n可以异面垂直，A正确；直线m与平面β所成角的最大值是二面角的大小，B正确； 直线m，n可以平行，C错误；根据B选项知，直线m与平面β不可能垂直，D错误，故选AB. 15．已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列判断正确的是(　　) A．A1D⊥BC1 B．异面直线B1D1与BC1所成角为60° C．三棱锥B1－ABC的体积为 D．四面体ACB1D1的体积为 【答案】ABC 【解析】根据正方体的基本关系，A，B，C都是正确的，四面体ACB1D1的体积为，D错误，故选ABC. 16．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝4，AA1＝5，则下列结论正确的有(　　) A．AC⊥BD1 B．异面直线AD1与B1C所成的角为90° C．二面角D1­AC­D的余弦值为 D．四面体ACB1D1的体积为 【答案】ACD 【解析】因为在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝5， 所以四边形ABCD为正方形，BB1⊥平面ABCD. 因为AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC，AC⊥BD. 因为BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1. 因为BD1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥BD1，故A正确； 由长方体的性质易知A1D∥B1C，因为AD≠AA1，所以AD1与A1D不垂直，故AD1与B1C不垂直，所以B不正确； 设AC与BD交于点O，连接D1O，由长方体性质知AD1＝D1C，故△AD1C为等腰三角形， 所以D1O⊥AC，由于AC⊥BD，所以∠DOD1为二面角D1­AC­D的平面角， 在Rt△D1OD中，DO＝2，DD1＝5，所以D1O＝， 所以cos∠DOD1＝＝，故C正确： 四面体ACB1D1的体积为V＝4×4×5－4×××4×4×5＝，所以D正确． 故选ACD. 三、填空题(本大题共4小题，每空4分，共20分) 17．用半径为π的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒的高是________________． 【答案】π 【解析】母线l为π，底面半径为⇒h＝＝π. 故答案为：π. 18．从200 m的高的电视塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则这两个点之间的距离为____________________． 【答案】200m 【解析】如图，根据题意得AC⊥BC⇒BC＝AC＝200(m)． 故答案为：200m. 19．平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，则线段CS的长度为__________________________． 【答案】16或272 【解析】如图，连接AC，BD，AC∥BD⇒△SAC∽△SBC，设CS＝x， 故＝⇒x＝16， 同理求得另一种情况CS＝272.故答案为：16或272. 20．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，当CQ＝时，S与C1D1的交点为R，则C1R＝________；当S为四边形时，CQ的取值范围为________． 【答案】　 【解析】如图所示，设S与A1D1的交点为T，根据截面的性质可得△CPQ∽△TA1A，故＝，即＝，从而得到TA1＝，故TD1＝.再根据△ABP∽△RD1T可得＝，即＝，解得D1R＝，故C1R＝1－＝. 当S为四边形时，易得S与平面AA1D1D的交线经过D1D，此时△CPQ∽△DAI，故＝，即QC＝＝·ID，易得ID∈(0,1]，故QC∈. 故答案为：；. 四、解答题(本大题共2小题，共28分) 21．(本小题满分14分)如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝，求证：MN∥平面SBC. 【答案】证明：过M作MP∥AD交SD于P，连接PN， 因为SM∶MA＝BN∶ND，SP∶PD＝SM∶MA， 所以SP∶PD＝BN∶ND， 所以PN∥SB， 因为AD∥BC， 所以PM∥AD∥BC， 又因为PM，PN交于点P，BS与BC交于点B， 所以平面PMN∥平面SBC， 因为MN⊂平面PMN， 所以MN∥平面SBC. 22．(本小题满分14分)如图所示，在四面体P－ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，BC＝2，PB＝PC，P－BC－A是60°的二面角． (1)求证：PC⊥A B. (2)求四面体P－ABC的体积． 【答案】(1)见解析　(2) 【解析】(1)证明：作PO⊥面ABC于O，连接AO，BO.因为PA⊥BC， 所以AO⊥BC，PB⊥AC，BO⊥AC，故O是△ABC的垂心． 连接CO，有CO⊥AB，所以PC⊥AB. (2)延长AO交BC于D，得AD⊥BC，故PD⊥BC， 所以∠PDO是面PBC与面ABC所成角的平面角． 因为PB＝PC，所以D是BC的中点，故AB＝AC.在Rt△PDO中，PO＝ODtan60°＝OD. 在Rt△ADC与Rt△CDO中，因为∠DAC＝∠DCO， 所以△ADC∽△CDO，故有＝， 即AD·OD＝CD2＝2＝1. VP－ABC＝·PO·S△ABC＝PO·BC·AD＝·2·AD·DO＝·2··4＝. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$