第16练 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第16练　基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 一、单选题(本大题共11个小题，每小题4分，满分44分) 1．棱长都是1的三棱锥的表面积为(　　) A. B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】每个面的面积为，4个面的和为.故选A. 2．下列命题中正确的是(　　) A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B．棱锥的高线可能在几何体之外 C．仅有一组对面平行的六面体是棱台 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 【答案】B 【解析】棱锥的顶点在底面的投影可以在底面的外部．故选B. 3．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是(　　) A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形 【答案】A 【解析】底面半径r⇒2πr＝πa⇒a＝4r，l＝＝2r，故轴截面为等边三角形．故选A. 4．过圆锥的高的三等分点，作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成三部分，这三部分的面积之比为(　　) A．1∶2∶3 B．1∶3∶5 C．1∶2∶4 D．1∶4∶9 【答案】B 【解析】设最上面的圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则对应的三个圆锥的侧面积为πrl∶π·2r·2l∶π·3r·3l＝1∶4∶9，三段的比为1∶3∶5.故选B. 5．已知四面体ABCD的三组对棱的长分别相等，依次为3,4，x，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D．(4,7) 【答案】B 【解析】如图所示， 第一排三个图讨论最短；第二排三个图讨论最长． 设AB＝3，AC＝4，四面体A′－ABC可以由△ABC和在同一平面的△A′BC沿着BC为轴旋转构成． 第一排，三个图讨论最短： 当∠ABC≥90°向90°趋近时，BC逐渐减少，AA′＜BC，可以构成x＝AA′＝BC的四面体； 当∠ABC＜90°时构成的四面体AA′＞BC，不满足题意； 所以满足题意的四面体第三对棱长大于＝. 第二排，三个图讨论最长： 当∠BAC＜90°向90°趋近时，BC逐渐增大，AA′＞BC，可以构成x＝AA′＝BC的四面体； 当∠ABC≥90°时构成的四面体AA′＜BC，不满足题意； 所以满足题意的四面体第三对棱长小于＝5. 综上，x∈(，5)．故选B. 6．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　) A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【解析】S＝πl(r1＋r2)⇒84π＝3π×4r1⇒r1＝7.故选A. 7．如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】多面体是一个正四棱锥，高为＝⇒V＝×1×＝.故选B. 8．正方体的内切球和外接球的半径之比为(　　) A.∶1 B.∶2 C．2∶ D.∶3 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为a，则内切球半径为a，外接球半径为a，故比为∶3.故选D. 9．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为(　　) A.a3 B.a3 C.a3 D.a3 【答案】C 【解析】当两个边长为a的正三角形垂直时，最大体积为××2a＝a3.故选C. 10．一圆柱形铁管的高是底面半径的5倍，其全面积为12π，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，使得铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线上的两个端点，则铁丝的最短长度为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设底面半径为r，则2πr2＋2πr×5r＝12π ⇒r＝1，故把问题转化为侧面展开问题，如图： 最短长度为，故选B. 11．如下图所示，已知棱长为a的正方体(左图)，沿阴影面将它切割成两块，拼成(右图)所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为(　　) A．(2＋2)a2 B．(3＋2)a2 C．(5＋2)a2 D．(4＋2)a2 【答案】D 【解析】新几何体的表面是由4个单位面加2个对角面，即4a2＋2a2.故选D. 二、多选题(本大题共2小题，每小题6分，共12分，漏选得2分) 12．已知半径为5的球有长度为3和4的两条弦AB，CD，则(　　) A．存在位置使得AB⊥CD B．存在位置使得AB，CD相交且平分 C．设AB，CD的中点为M，N，则|MN|的最小值为－ D．设AB，CD的中点为M，N，则|MN|的最大值为2 【答案】AC 【解析】可以异面垂直，A正确；AB，CD可以相交但不可能平分，B错误；AB，CD的中点为M，N的轨迹是半径为和半径为的球面，C正确，D不正确．故选AC. 13．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是AD，CC1的中点，P是线段AB上的动点，则下列说法正确的是(　　) A．当点P与A，B两点不重合时，平面PMN截正方体所得的截面是五边形 B．平面PMN截正方体所得的截面可能是三角形 C．△MPN一定是锐角三角形 D．△MPN面积的最大值是 【答案】AD 【解析】如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段MP向两端延长， 分别交CD，CB的延长线于点O，Q，连接NO，NQ分别交DD1，BB1于R，S两点， 连接RM，SP，此时截面为五边形MPSNR，所以A正确； 当点P与点A或点B重合时，截面为四边形． 综上，平面PMN截正方体所得的截面为四边形或五边形，不可能是三角形，所以B不正确； 考虑△PMN，当点P与点A重合时，MN＝，PM＝1，PN＝3， 此时因为MN2＋PM2＜PN2，故∠PMN为钝角，所以C不正确； 如图，E，F为DD1，BC中点，连接EN，MF，则AB∥MF∥EN，且MN⊂面MFNE， 延长EM，NF分别交A1A，B1B延长线于I，J，则AI＝AM＝BJ＝BF， 若G，H分别为MI，FJ中点，易知AG，BH⊥面MFNE，且AG∥BH，AG＝BH， 易证面AGHB⊥面MFNE，即AB在面MFNE上的投影为GH， 令PK⊥GH，面MFNE∩面AGHB＝GH，则PK⊥面PKL，MN⊂面MFNE，所以PK⊥MN，若KL⊥MN，PK∩KL＝K，则MN⊥面PKL，PL⊂面PKL，所以MN⊥PL，即PL为P到直线MN的距离， 如图，随从A到B移动过程中，KL逐渐变大，而PK不变，故PL也在变大，所以当P与点B重合时，点P到直线MN的距离取到最大值， △MPN的面积取到最大值，此时MN＝，BM＝BN＝， 则MN边上的高为＝， △MBN的面积为××＝，即最大值为，D正确．故选AD. 三、填空题(本大题共3小题，每空5分，共15分) 14．如图在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q，且满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其上下体积之比为________． 【答案】2∶1 15．长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为________． 【答案】15 【解析】设长宽高分别为a，b，c⇒ab＝3，bc＝5，ca＝15⇒abc＝15.故答案为：15. 16．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相内切，第二个球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的面积之比为__________． 【答案】1∶2∶3 【解析】设正方体棱长为a，则r1＝，r2＝，r3＝⇒S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.故答案为：1∶2∶3. 四、解答题(本大题共2小题，共29分) 17．(本小题满分14分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积． 【答案】S＝60π＋4π； V＝52π－＝ 18．(本小题满分15分)如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为h1，h1＝，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h2，求h2. 【答案】h 【解析】圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比． ＝3＝， ∴＝，倒置后，V水∶V锥＝h∶h3＝， ∴h2＝＝h. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$