第15练 正弦定理和余弦定理（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第15练　正弦定理和余弦定理 一、单选题(本大题共11个小题，每小题4分，满分44分) 1．设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A＝(　　) A. B. C. D.或 【答案】C 【解析】根据正弦定理＝，得sinA＝＝＝，∵a＜b，则A为锐角，则A＝，故选C. 2．在△ABC中，∠A＝，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则a＝(　　) A．2 B. C. D．3 【答案】C 【解析】∵a2＋b2－c2＝ab，∴可得cosC＝＝＝. ∵C∈(0，π)，∵C＝，∵∠A＝，c＝3， ∴由正弦定理＝，可得＝，解得a＝. 故选C. 3．在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则tanB＝(　　) A. B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】设AB＝c，BC＝a，CA＝b c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋16－2×3×4×＝9， ∴c＝3， cosB＝＝，∴sinB＝＝，∴tanB＝4.故选C. 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosB＝a，则这个三角形的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】由c cosB＝a以及余弦定理得 c·＝a， 化简得c2＝a2＋b2，所以三角形的形状一定是直角三角形．故选A. 5．如图，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C(　　) A．北偏东60°；10 B．北偏东30°；10 C．北偏东40°；10 D．北偏东20°；10 【答案】C 【解析】∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°，所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋102－200×＝300，故AC＝10.故选C. 6．如图，一栋建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为(　　) A．30 m B．60 m C．30 m D．40 m 【答案】B 【解析】在直角三角形ABM中，AM＝. 在△BCM中，∠CAM＝30°＋15°＝45°， ∠AMC＝180°－15°－60°＝105°， 故∠ACM＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理，＝， 故CM＝·AM＝. 在直角三角形CDM中，CD＝CMsin 60°＝＝＝60(m)．故选B. 7．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名的，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，BD＝8，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为(　　) A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【解析】设AD＝DC＝AC＝a，由托勒密定理知，AB·a＋a·BC＝a·BD， 所以AB＋BC＝BD＝8.又因为∠ABD＝∠ACD＝，∠CBD＝∠CAD＝， 所以四边形ABCD的面积为 S＝S△ABD＋S△BCD＝AB·BDsin＋BC·BDsin＝(AB＋BC)·BD＝16. 故选B. 8．如图，圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令的仪器，也是指导汉族劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长来确定节令．已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为α，β，测得表影长之差为l，那么表高为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，设表高AB＝x， 在△ACD中，∠CAD＝β－α，由正弦定理有＝＝，所以AC＝， 在直角三角形ABC中，＝sinβ， 即x＝AC·sinβ＝＝l·＝＝. 故选C. 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，b＝3，c＝2.若点M在AB边上，且BM＝CM，则＝(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为BM＝CM，所以△MBC为等腰三角形， 因为a＝3，b＝3，c＝3. 由条件可得cosB＝＝， 所以BM·cosB＝＝，解得BM＝， 所以AM＝AB－BM＝，可得＝.故选C. 10．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C，D，E，满足∠AOD＝∠DOE＝2∠AOC，在扇形AOC和四边形ODEB区域内种植荷花，在扇形COD区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE，EB作为观光路线，则当DE＋EB取得最大值时，sin∠AOC＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设∠AOC＝θ，0＜θ＜，则∠DOE＝2θ，∠EOB＝π－4θ， 在△DOE中，由余弦定理得 DE＝＝＝＝2sinθ， 在△BOE中，由余弦定理得 BE＝ ＝＝＝2cos2θ， ∴DE＋EB＝2sinθ＋2cos2θ＝2sinθ＋2(1－2sin2θ)＝－42＋，又0＜θ＜， 所以当sinθ＝时，DE＋EB有最大值．故选B. 11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(3－cosA)sinB＝sinA(1＋cosB)，a＋c＝6，则△ABC的面积的最大值为(　　) A．2 B. C. D．2 【答案】D 【解析】在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若(3－cosA)sinB＝sinA(1＋cosB)， 整理得3sinB＝sinA＋sinBcosA＋cosBsinA＝sinA＋sinC， 利用正弦定理得3b＝a＋c，由于a＋c＝6， 整理得3b＝a＋c＝6，解得b＝2. 因为a＋c＝6，所以6＝a＋c≥2， 整理可得ac≤9(当且仅当a＝c＝3时等号成立)， 所以cosB＝＝＝. 所以sinB＝＝×， 所以S△ABC＝ac××＝2≤2， 当且仅当ac＝3时，等号成立．则△ABC的面积的最大值为2.故选D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，漏选得2分) 12．下列关于△ABC的结论中，正确的是(　　) A．若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形 B．若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形 C．若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3 D．若A＞B，则sinA＞sinB 【答案】BD 【解析】选项A中，a2＋b2＞c2，根据余弦定理可得cosC＝＞0，所以C为锐角， 但A，B不确定，所以△ABC不一定为锐角三角形，所以不正确； 选项B中，a2＞b2＋c2，根据余弦定理可得cosA＝＜0，所以A为钝角， 所以△ABC为钝角三角形，所以正确； 选项C中，由A∶B∶C＝1∶2∶3，可得A＝30°， B＝60°，C＝90°， 由正弦定理可得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝ 1∶∶2，所以不正确； 选项D中，由A＞B，可得a＞b，由正弦定理可得 a＝2RsinA，b＝2RsinB， 所以sinA＞sinB，故是正确的．故选BD. 13．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是(　　) A．若＝＝，则△ABC一定是等边三角形 B．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 C．若bcosC＋ccosB＝b，则△ABC一定是等腰三角形 D．若a2＋b2－c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 【答案】AC 【解析】因为△ABC的内角A，B，C，所以0＜A＜π， 0＜B＜π，0＜C＜π， 由＝＝，利用正弦定理可得＝＝，即tanA＝tanB＝tanC，A＝B＝C，△ABC是等边三角形，A正确； 由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B，2A＝2B或2A＋2B＝π， △ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正确； 由正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，即sin(B＋C)＝sinB，sinA＝sinB， 则A＝B，△ABC是等腰三角形，C正确； 由余弦定理可得cosC＝＞0，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确．故选AC. 14．对于给定的△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是(　　) A.·＝||2 B.·＝·＝· C.＋＋＝0 D．若A，P，Q三点共线，则存在实数λ使＝λ＋ 【答案】BCD 【解析】选项A，给定的△ABC，其外心为O，所以·＝·(＋)＝2＋·＝2，不正确； 选项B，因为H为给定的△ABC的垂心，故·＝0，·＝0，·＝0， 即(＋)·＝0，(＋)·＝0，(＋)·＝0， 解得·＝·＝·，正确； 选项C，因为重心为G，则有＝(＋)，＝(＋)，＝(＋)，所以＋＋＝0，正确； 选项D，由于点P在∠A的平分线上，和为单位向量，所以＋与∠A的平分线对应向量共线，所以存在实数λ使＝λ，正确．故选BCD. 三、填空题(本大题共4小题，每空5分，共20分) 15．在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得点A的俯角β＝45°，已知铁塔BC部分高32米，山高CD＝____________. 【答案】16(＋1)米 【解析】由α＝60°，β＝45°易得∠BAD＝60°，∠CAD＝45°， 设AD＝x米，则CD＝AD·tan∠CAD＝AD·tan45°＝x米，BD＝AD·tan∠BAD＝AD·tan60°＝x(米)， ∴BC＝BD－CD＝x－x＝32(米)，∴x＝＝16(＋1)．故答案为：16(＋1)米． 16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝＝，则a2＋c2－ac＝________. 【答案】1 【解析】因为＝，所以＝2R＝， 所以b＝2RsinB＝sinB，因为＝，所以＝＝，所以tanB＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以b＝sinB＝×＝1， 由余弦定理得b2＝c2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝1，故答案为：1. 17．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝____________________. 【答案】2 【解析】由题意作出图形，如图， 在△ABM中，由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2BM·BA·cosB， 即12＝4＋BM2－2BM×2×，解得BM＝4(负值舍去)， 所以BC＝2BM＝2CM＝8， 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝4＋64－2×2×8×＝52，所以AC＝2. 故答案为：2. 18．如图，在凸四边形ABCD中，DA＝DC＝1，AB＝BC，若B＝，则四边形ABCD面积的最大值为________． 【答案】 【解析】如图连接AC，设∠ADC＝2α，由DA＝DC＝1，AB＝BC，B＝， 可知AC＝2sinα，BC＝sinα，AB＝sinα， ∴四边形ABCD面积S ＝sin2α＋sin2α＝sin2α－cos2α＋ ＝sin(2α－φ)＋，其中tanφ＝，当sin(2α－φ)＝1时， Smax＝.故答案为：. 四、解答题(本大题共2小题，共24分) 19．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°. (1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积； (2)若sinA＋sinC＝，求C. 【答案】(1)　(2)15° 【解析】(1)由余弦定理可得 b2＝28＝a2＋c2－2ac·cos150°＝7c2， ∴c＝2，a＝2，∴△ABC的面积S＝acsinB＝. (2)∵A＋C＝30° ∴sinA＋sinC＝sin(30°－C)＋sinC ＝cosC＋sinC＝sin(C＋30°)＝， ∵0°＜C＜30°，∴30°＜C＋30°＜60°，∴C＋30°＝45°， ∴C＝15°. 20．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cosA＝. (1)求A； (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】(1)A＝　(2)证明见解析 【解析】(1)∵cos2＋cosA＝， ∴sin2A＋cosA＝，即1－cos2A＋cosA＝， 解得cosA＝，又0＜A＜π，∴A＝. (2)∵A＝，∴cosA＝， 即b2＋c2－a2＝bc①， 又b－c＝a②， 将②代入①，得b2＋c2－3(b－c)2＝bc，即2b2＋2c2－5bc＝0，而b＞c，解得b＝2c， ∴a＝c，故b2＝a2＋c2，即△ABC是直角三角形． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$