第14练 平面向量的数量积（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第14练　平面向量的数量积 一、单选题(本大题共12个小题，每小题4分，满分48分) 1．已知向量|a|＝1，|b|＝，若a与b的夹角为，则a·b为(　　) A. B. C. D．1 【答案】B 【解析】因为向量|a|＝1，|b|＝，若a与b的夹角为，所以a·b＝|a||b|cos＝1××＝，故选B. 2．已知向量a，b满足·＝0，且＝＝1，则a与b的夹角θ为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵·＝5a2＋6a·b－8b2＝0，＝＝1，∴6a·b＝3，∴cos θ＝. 又θ∈[0，π]，∴θ＝.故选C. 3．已知非零向量a，b的夹角为60°，且＝1，＝1，则＝(　　) A. B．1 C. D．2 【答案】A 【解析】因为非零向量a，b的夹角为60，且|b|＝1， 所以a·b＝|a|·|b|cos60°＝|a|， 又因为|2a－b|＝1，所以(2a－b)2＝1， 即4a2＋b2－4a·b＝1，所以4|a|2＋|b|2－4×|a|＝1，整理可得4|a|2－2|a|＝0，因为|a|≠0， 解得|a|＝，故选A. 4．若平面向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2|b|，则(　　) A．a⊥(b＋a) B．b⊥(b－a) C．b⊥(b＋a) D．a⊥(b－a) 【答案】B 【解析】选项A，a·(b＋a)＝a·b＋a2＝5|b|2≠0，不正确； 选项B，b·(b－a)＝b2－b·a＝b2－b2＝0， 所以b⊥(b－a)，正确；选项C，b·(b＋a)＝b2＋a·b＝2|b|2≠0，不正确；选项D，a·(b－a)＝a·b－a2＝－3b2≠0，不正确．故选B. 5．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【答案】D 【解析】∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6， ∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19.|a＋b|＝＝＝＝7，因此，cos〈a，a＋b〉＝＝＝.故选D. 6．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E为CD的中点，则·的值是(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 【答案】A 【解析】由题意得＝＋＝＋， 故·＝·＋＝·＋2＝2×2×cos60°＋×4＝4，故选A. 7．在△ABC中，·＝2，则△ABC的形状一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】(＋)·－2＝(＋－)·＝(＋＋)·＝2·＝0， ∴BA⊥AC，∴△ABC为直角三角形，故选A. 8．两个不共线的向量a，b，满足＝3，且∀t∈R，≥，则cos〈a，b〉＝(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得：∵∀t∈R，|a－tb|≥|a－b|， ∴∀t∈R，|a|2＋t2|b|2－2ta·b≥|a|2＋|b|2－2a·b 即t2|b|2－6t|b|2cos〈a，b〉－|b|2＋6|b|2cos〈a，b〉≥0，∵|b|≠0，∴∀t∈R，t2－6tcos〈a，b〉－1＋6cos〈a，b〉≥0，∴Δ＝36cos2〈a，b〉－4(6cos〈a，b〉－1) ＝36cos〈a，b〉－2≤0， ∴cos〈a，b〉－＝0，即cos〈a，b〉＝，故选C. 9．平面向量a，b满足|a－b|＝3，|a|＝2|b|，则a－b与a夹角最大时|a|为(　　) A. B. C．2 D．2 【答案】D 【解析】因为平面向量a b满足|a－b|＝3，|a|＝2|b|， 所以(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4b2－2a·b＋b2＝9， 所以a·b＝b2－，所以(a－b)·a＝a2－a·b ＝4b2－b2＋＝b2＋. 由夹角公式，得cos〈a－b，a〉＝＝＝|b|＋≥当|b|＝，即|b|＝时等号成立．因为0≤〈a－b，a〉≤π， 所以0≤〈a－b，a〉≤，即|b|＝时〈a－b，a〉＝最大．此时|a|＝2|b|＝2.故选D. 10．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点D，E满足＝，＝＋，AD与BE交于点P，则·＝(　　) A. B. C．1 D．2 【答案】D 【解析】∵＝＋， ∴＝＋＋＋，∴＝2， ∴E为AC的一个靠近A的三等分点，又∵＝，∴D为BC的中点， 过E作EF⊥AD交AD于F点，如下图所示： ∵＝＝且BD＝CD，∴＝＝， ∴＝， ∴·＝·＝＋· ＝·＋2， ∴·＝×2×2×cos60°＋×22＝2，故选D. 11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则·(　　) A．为定值10 B．为定值6 C．最大值为18 D．与P的位置有关 【答案】A 【解析】设BP＝λBC(0≤λ≤1)． ·(＋)＝(＋)·(＋) ＝2＋·＋λ·(＋)， 因为λ·(＋)＝λ(＋)·(＋) ＝λ(2－2)＝0， cosA＝＝＝， 所以·(＋)＝2＋·＝32＋3×3·cosA＝10.故选A. 12．在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD于E，F两点，点P是上一点，则·的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图： 由题意可知A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，D(0,3)．设点 P(cosθ，sinθ)0≤θ≤， 则·＝(3－cosθ，－sinθ)·(－cosθ，3－sinθ) ＝－cosθ·(3－cosθ)－sinθ(3－sinθ)＝1－3sinθ－3cosθ＝1－3sinθ＋.又0≤θ≤，则≤θ＋≤，所以≤sin≤1，所以1－3≤1－3sin≤－2，即·的取值范围为[1－3，－2]，故选A. 二、多选题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，漏选得2分) 13．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则下列说法正确的是(　　) A．a·(a－b)＝0 B．(a－2b)⊥(a＋2b) C．∃λ∈R，使|a－λb|＝ D．∀λ∈R，|a－λb|≥|a－b|恒成立 【答案】BD 【解析】选项A，因为|a|＝2，a·b＝1，所以a·(a－b)＝a2－a·b＝4－1＝3≠0，所以A错误， 选项B，因为|a|＝2，|b|＝1，所以(a－2b)·(a＋2b)＝a2－4b2＝4－4×1＝0，所以(a－2b)⊥(a＋2b)，所以B正确， 选项C，若|a－λb|＝，则a2－2λa·b＋λ2b2＝， 4－2λ＋λ2＝，即4λ2－8λ＋7＝0，因为Δ＝64－112 ＝－48＜0，所以方程无实数解，所以实数λ不存在，所以C错误， 选项D，若|a－λb|≥|a－b|恒成立，则(a－λb)2≥(a－b)2即a2－2λa·b＋λ2b2≥a2－2a·b＋b2，整理得(λ－1)2≥0，此式恒成立，所以∀λ∈R，|a－λb|≥|a－b|恒成立，所以D正确，故选BD. 14．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且OP＝，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是(　　) A.·为定值 B.·的取值范围是[－2,0] C．当AC⊥BD时，·为定值 D.·的最大值为12 【答案】ACD 【解析】如图，设直线PO与圆O相交于E，F. 则·＝－||||＝－|EP||PF|＝－(|OE|－|PO|)(|OE|＋|PO|)＝|PO|2－|EO|2＝－2， 故A正确．取AC的中点为M，连接OM，则 ·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－(4－2)＝22－4， 而0≤2≤|OP|2＝2，故·的取值范围是[－4，0]，故B错误．当AC⊥BD时，·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－||·||－||||＝－2|EP||PF|＝－4，故C正确．由弦长公式得AC＝2，BP＝2，||·||＝2·2·≤2(4－OM2＋4－ON2)＝12，D正确．故选ACD. 15．已知向量a，b，c满足|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3，|c|2－2b·c＋8＝0，则下列说法正确的是(　　) A．|c－b|＝1 B．若c⊥(c－b)，则|c|＝2 C．∀t∈R，|b＋ta|≥恒成立 D．若c＝λa＋(1－λ)b，则|a－c|＝－1 【答案】ABC 【解析】选项A，∵|b|＝3，|c|2－2b·c＋8＝0，∴|c－b|2＝(c－b)2＝c2－2c·b＋b2＝－8＋9＝1，故A正确； 选项B，∵|c|2－2b·c＋8＝0，∴|c|2＝2b·c－8， ∵c⊥(c－b)， ∴c·(c－b)＝c2－b·c＝2b·c－8－b·c＝b·c－8＝0，∴b·c＝8， ∴|c|2＝2b·c－8＝2×8－8＝8，∴|c|＝2，故B正确； 选项C，∵|b＋ta|2＝(b＋ta)2＝b2＋2ta·b＋t2a2＝9＋6t＋4t2＝42＋≥，∴|b＋ta|≥恒成立，故C正确； 选项D，∵c＝λa＋(1－λ)b，∴c2＝[λa＋(1－λ)b]2＝λ2a2＋2λ(1－λ)a·b＋(1－λ)2b2 ＝4λ2＋6λ(1－λ)＋9(1－λ)2＝7λ2－12λ＋9， b·c＝b·[λa＋(1－λ)b]＝λa·b＋(1－λ)b2 ＝3λ＋9(1－λ)＝9－6λ， ∵|c|2－2b·c＋8＝0，∴|c|2－2b·c＋8 ＝7λ2－12λ＋9－2(9－6λ)＋8＝7λ2－1＝0， ∴λ2＝，∴λ＝±， ∵a－c＝a－(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)a－(1－λ)b， ∴|a－c|2＝[(1－λ)a－(1－λ)b]2 ＝(1－λ)2a2－2(1－λ)2a·b＋(1－λ)2b2 ＝4(1－λ)2－6(1－λ)2＋9(1－λ)2＝7(1－λ)2， 当λ＝时，|a－c|2＝7(1－λ)2＝，|a－c|＝＝－1， 当λ＝－时，|a－c|2＝7(1－λ)2＝，|a－c|＝＝＋1，故D错误．故选ABC. 三、填空题(本大题共3小题，每空4分，共16分) 16．已知向量a，b满足＝6，＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝______________，＝________. 【答案】2　6 【解析】因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，所以 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝6×4×＝12， 所以(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76， (a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108， 所以|a＋b|＝＝2，|a－3b|＝＝6. 故答案为：2；6. 17．平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，∠BAD＝60°，Q为CD中点，点Р在对角线BD上，且＝λ，若⊥，则λ＝________. 【答案】 【解析】以点A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(2,2)，C(5,2)，D(3,0)，Q(4，)， ＝(2,2)，＝(1，－2)，BP＝λ＝(λ，－2λ)， 所以，＝＋＝(2＋λ，2－2λ)， ∵＝(2，－)，⊥，则·＝2(2＋λ)－(2－2λ)＝8λ－2＝0， 因此，λ＝，故答案为. 18．已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且＝λ＋(2－2λ)(λ∈R)，则·的最小值为________________． 【答案】5 【解析】如图，延长AC到D，使得＝2， 因为＝λ＋(2－2λ)＝λ＋(1－λ)， 所以点P在直线BD上， 取线段AC的中点O，连接OP， 则·＝(＋)·(－)＝||2－|OA|2＝||2－4， 显然当OP⊥BD时，||取得最小值， 因为BO＝2，OD＝6，则BD＝4， 所以||min＝＝3， 所以·的最小值为32－4＝5. 四、解答题(本大题共2小题，共24分) 19．(本小题满分12分)如图，点A是单位圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O上第一象限内的动点，将点B绕原点O逆时针旋转至点C，记∠AOB＝θ. (1)若点B的坐标为，求点C的坐标； (2)若f(θ)＝·，求f(θ)的单调递增区间． 【答案】(1)　(2). 【解析】(1)由三角函数的定义可得sinθ＝，cosθ＝，且点C的坐标为， 所以，cos＝cosθ－sinθ＝， sin＝sinθ＋cosθ＝， 故点C的坐标为. (2)f(θ)＝·＝(－)·＝·－· ＝||·||cos－||·||cosθ ＝cos－cosθ＝cosθ－sinθ－cosθ ＝－＝－sin， ∵0＜θ＜，则＜θ＋＜，由＜θ＋＜，解得＜θ＜， 故函数f(θ)的单调递增区间为. 20．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB边上的中点，AD与CE的交点为O，若·＝－3，AB＝3，求角B的最大值． 【答案】 【解析】在△ABC中，D，E分别是BC，AB边上的中点， 所以O为△ABC的重心， 所以＝··(＋)＝(＋)． 又＝－，所以＝(－2)， 又·＝－3， 所以(－2)·＝||2－·＝－3， 根据AB＝3，·＝||·||·cosB， 所以||2－2cosB||＋3＝0， 则Δ＝(－2cosB)2－4××3≥0，所以cos2B≥，由·＝－3＜0，所以B∈， 则cosB≥，所以B∈，所以B的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$