第13练 平面向量的坐标表示及坐标运算（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第13练　平面向量的坐标表示及坐标运算 一、单选题(本大题共12个小题，每小题3分，满分36分) 1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，则c＝(　　) A．－a＋3b B．3a－b C．a－3b D．－3a＋b 【答案】C 【解析】设c＝xa＋yb，则(－2,4)＝x(1,1)＋y(1，－1) ∴解得 ∴c＝a－3b，故选C. 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为a－b＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， 所以|a－b|＝＝5.故选D. 3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】＝(3，－4)，所以||＝5，这样同方向的单位向量是＝. 4．已知向量a＝，b＝，那么a·b等于(　　) A. B. C．1 D．0 【答案】A 【解析】a＝，b＝， a·b＝coscos＋sinsin＝cos＝.故选A. 5．已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由＝－＝(1，t－3)， ||＝＝1，得t＝3，则＝(1,0)，·＝(2,3)·(1,0)＝2×1＋3×0＝2.故选C. 6．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【答案】D 【解析】∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6， ∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19. |a＋b|＝＝＝＝7，因此，cos〈a，a＋b〉＝＝＝.故选D. 7．在直角坐标平面xOy内，O为坐标原点，已知点A－，－，将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则的坐标为(　　) A．－， B.，－ C.，－ D．－， 【答案】B 【解析】设A′(x，y)，且x＞0，y＜0， 则＝，＝(x，y)， 所以 解得，则＝，故选B. 8．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb与a垂直，则λ等于(　　) A．－2 B．1 C．－1 D．0 【答案】C 【解析】a＋λb＝(1＋4λ，－3－2λ)， 因为a＋λb与a垂直，所以(a＋λb)·a＝0， 即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1. 9．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(sinα，－cosα)，则|a＋b|＝(　　) A．1 B. C．2 D．2 【答案】B 【解析】由已知|a＋b|＝|(cosα＋sinα，sinα－cosα)| ＝ ＝.故选B. 10．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0.若A，B，C三点共线，则ab的最大值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，所以＝－＝(a－1,1)， ＝－＝(－b－1,2)．因为A，B，C三点共线， 所以＝λ，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)， 所以可得2a＋b＝1.因为a＞0，b＞0，所以1＝2a＋b≥2，所以ab≤.当且仅当2a＝b＝时取等号．因此ab的最大值为.故选C. 11．已知a与b为单位向量，且a⊥b，向量c满足|c－a－b|＝2，则|c|的可能取值有(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】根据题意，设＝a，＝b，＝c， 以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立坐标系， 则A(1,0)，B(0,1)，设C(x，y)，则c－a－b＝(x－1，y－1)，若|c－a－b|＝2，则有(x－1)2＋(y－1)2＝4， 则C在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M，则|OM|＝，则有r－|OM|≤|OC|≤r＋|OM|， 即2－≤|OC|≤2＋，则|c|的取值范围为.故选D. 12．已知⊥，||＝，||＝t，若P点是△ABC所在平面内一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　) A．76 B．78 C．80 D．82 【答案】A 【解析】以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则B，C(0，t)(t＞0)， ∵＝，＝(0，t)，∴＝t＋(0，t)＝(1,9)，即P(1,9)， ∴＝，＝(－1，t－9)，∴·＝1－－9t＋81＝82－∵t＞0，∴9t＋≥2＝6(当且仅当9t＝，即t＝时取等号)， ∴·≤82－6＝76.故选A. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与平行，且方向相反的向量a可能是(　　) A．(－1，－2) B．(9,3) C．(－1,2) D．(－4，－8) 【答案】AD 【解析】＝(1,2)，A选项，a＝(－1，－2)＝－，满足题意， D选项，a＝(－4，－8)＝－4，满足题意，B，C选项中a不与平行，故选AD. 14．已知平面向量a＝(1,0)，b＝，则下列说法正确的是(　　) A.＝16 B.·a＝2 C．向量a＋b与a的夹角为30° D．向量a＋b在a上的投影向量为2a 【答案】BD 15．已知向量a＝(，1)，b＝(cosθ，sinθ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是(　　) A．若a⊥b，则tanθ＝ B．若b在a方向上的投影向量为－，则向量a与b的夹角为 C．存在θ，使得|a＋b|＝|a|＋|b| D．a·b的最大值为 【答案】BCD 16．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　) A．a是单位向量 B.∥b C．a·b＝1 D.⊥ 【答案】ABD 【解析】A.因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以|AB|＝2，又＝2a，所以a是单位向量，故正确； B．因为＝2a，＝2a＋b，所以＝－＝b，所以∥b，故正确； C．因为a＝，b＝，所以a·b＝·＝×2×2×cos 120°＝－1，故错误； D．因为b＝，a·b＝－1，所以·＝b·＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，所以⊥，故正确．故选ABD. 三、填空题(本大题共4小题，每空4分，共20分) 17．已知向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．若ka－b与a＋2b共线，则k＝________； 若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，则实数m的值为________． 【答案】－　 【解析】∵向量a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴a，b不共线， 若ka－b与a＋2b共线，则＝，求得k＝－. 若＝2a＋3b＝(8,3)，＝a＋mb＝(1＋2m，m)，且A，B，C三点共线， 则∥，∴＝，∴实数m＝， 故答案为：－；. 18．设x，y∈R，向量a＝(x,2)，b＝(1，y)，c＝(2，－6)，且a⊥c，b∥c，则＝________. 【答案】5 【解析】由题意，向量a＝(x,2)，b＝(1，y)，c＝(2，－6)， 因为a⊥c，可得2x－12＝0，解得x＝6， 又由b∥c，可得＝，解得y＝－3， 所以a＋b＝(6,2)＋(1，－3)＝(7，－1)， 所以|a＋b|＝＝5，故答案为5. 19．已知向量a＝(－2,3)，b＝(0,4)，则a在b上的投影向量坐标为________． 【答案】(0,3) 【解析】向量a＝(－2,3)，b＝(0,4)，则a在b上的投影为＝＝3，又b＝(0,4)在y轴上，故a在b上的投影向量坐标为(0,3)．故答案为(0,3)． 20．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a＋b)·(b＋c)的最大值为________． 【答案】1＋ 【解析】因为a，b，c均为单位向量，且a·b＝0， 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(cosθ，sinθ)， ∴(a＋b)·(b＋c)＝(1,1)·(cosθ，1＋sinθ)＝cosθ＋1＋sinθ＝sin＋1， 故(a＋b)·(b＋c)的最大值为1＋.故答案为：1＋. 四、解答题(本大题共2小题，共28分) 21．(本小题满分14分)已知向量a＝(1,2)，b＝(sinθ，－cosθ)，且a⊥b.求： (1)； (2)sin. 【答案】(1)　(2) 【解析】(1)因为a⊥b，所以a·b＝0 ⇒sinθ－2cosθ＝0， sinθ＝cosθ，又sin2θ＋cos2θ＝1， 所以2cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝，sin2θ＝， |b|＝＝＝＝. (2)sinθ＝cosθ，若cosθ＝0，则sinθ＝0，与sin2θ＋cos2θ＝1矛盾， 所以tanθ＝＝， sin＝sin2θcos＋cos2θsin ＝· ＝· ＝·＝×＝. 22．(本小题满分14分)已知向量a＝，b＝(－2,0)． (1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角； (2)当t∈时，求的取值范围． 【答案】(1)(3，)，　(2)[，] 【解析】(1)∵a＝(1，)，b＝(－2,0)，∴a－b ＝(1，)－(－2,0)＝(3，)， 设a－b与a之间的夹角为θ，|a－b|＝＝2， ∴cosθ＝＝＝＝， ∵θ∈[0，π]，∴向量a－b与a的夹角为. (2)因为a－tb＝(1＋2t，)， 所以|a－tb|＝＝， 当t∈时，g(t)＝42＋3单调递减，当t∈时，g(t)单调递增， 故当t＝－，g(t)取最小值为3，当t＝时，g(t)取最大值为7， 故当t∈时，|a－tb|的取值范围是[，]． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$