第12练 平面向量的概念和线性运算（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第12练　平面向量的概念和线性运算 一、单选题(本大题共11个小题，每小题3分，满分33分) 1．某人先向东走3 km，位移记为a，接着再向北走3 km，位移记为b，则a＋b表示(　　) A．向东南走3 km B．向东北走3 km C．向东南走3 km D．向东北走3 km 【答案】B 【解析】由题意和向量的加法，得a＋b表示先向东走3 km，再向北走3 km，即向东北走3 km.故选B. 2．在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝(　　) A．2＋ B.－2 C．2－ D.＋2 【答案】C 【解析】＝＋＝＋2＝CA＋2(－)＝2－，故选C. 3．已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，且(－)·(＋)＝0，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】(－)·(＋)＝0⇔·(＋)＝0⇔(－)·(＋)＝0⇔||＝||，所以△ABC是等腰三角形． 4．已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设线段BC的中点为M，则＋＝2，因为2＝＋，所以＝，则＝＝(＋)＝＝＋， 由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.故选B. 5．平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则(　　) A．A，B，C三点必在同一直线上 B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角 C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90° D．△ABC必为等腰直角三角形 【答案】C 【解析】当A，B，C三点共线时，若与方向相同，则m的长度大于n的长度，若与方向相反，则m的长度小于n的长度，故m，n的长度不可能相等，故A，B，C三点必不在同一直线上； 如图所示，作平行四边形ABCD， 则＋＝，－＝－＝. ∵|m|＝|n|，∴||＝||. ∴平行四边形ABCD为矩形，∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°.故选C. 6．如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝(　　) A.－A B．2－2 C.－ D．2－2 【答案】D 【解析】连接CD，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD.所以＝2＝2(－)＝2－2，故选D. 7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为(　　) A．λ＋μ＝2 B．λμ＝1 C．λμ＝－1 D．λ－μ＝1 【答案】B 【解析】若A，B，C三点共线，则向量∥，即存在实数k，使得＝k， ∵＝λa＋b，＝a＋μb，∴λa＋b＝k(a＋μb)，可得消去k得λμ＝1， 即A，B，C三点共线的充要条件为λμ＝1，故选B. 8．已知点A，B，C不共线，λ，μ为实数，＝λ＋μ，则“0<λ＋μ<1”是“点P在△ABC内(不含边界)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，可知P，B，C三点共线， 若＝λ＋μ，点P在△ABC内部(不含边界)，则0＜λ＋μ＜1； 反之不成立，例如λ＝－，μ＝时，此时P在△ABC外部， 所以“0＜λ＋μ＜1”是“点P在△ABC内(不含边界)”的必要不充分条件，故选B. 9．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则(　　) A．|2a|＞|2a＋b| 　 B．|2a|＜|2a＋b| C．|2b|＞|a＋2b| 　 D．|2b|≤|a＋2b| 【答案】C 【解析】∵|a＋b|＝|b|，∴|a＋2b|＝|a＋b＋b|≤|a＋b|＋|b|＝2|b|. 若a＋b与b共线，|a＋b|＝|b|，则a，b中必有一个为零向量， ∴a＋b与b不共线，即|a＋2b|≠|2b|， ∴|2b|＞|a＋2b|. 同理知无法判断|2a|，|2a＋b|之间的大小关系．故选C. 10．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．该直线被称为三角形的欧拉线．设点O，G，H分别为任意△ABC的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 【答案】D 【解析】∵O，G，H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，∴＝， ∴＝，＝，A错误，B错误； ＝＋＝＋＝＋(－)＝，C错误； ＝＋＝＋＝＋(－)＝，D正确．故选D. 11．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，∠BCP＝.若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A．2 B．2－ C．3 D．3－ 【答案】B 【解析】设圆C的半径为r，则r＝＝＝， 以点C为坐标原点，BC，CD所在直线分别为x轴、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则A(－2,1)，B(－2,0)，D(0,1)，P， ＝(0，－1)，＝(2,0)，＝， 由AP＝λ＋μ，得＝λ(0，－1)＋μ(2,0)＝(2μ，－λ)， 所以，解得 因此，λ＋μ＝2－.故选B. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 12．已知4－3＝，则下列结论正确的是(　　) A．A，B，C，D四点共线 B．C，B，D三点共线 C．||＝|| D．||＝3|| 【答案】BD 13．如图，在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则下列结论正确的是(　　) A.＝ B.＝－＋ C.＝＋ D.·＝2－2 【答案】AD 【解析】因为在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点， 由＝＝，所以A正确； 由＝＋，所以B不正确； 由＝＋＝－＝－＋，所以C不正确； 由·＝－＋·＋＝2－2，所以D正确．故选AD. 14．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若＝λ＋μ，则下列判断不正确的是(　　) A．满足λ＋μ＝2的点P必为BC的中点 B．满足λ＋μ＝1的点P有且只有一个 C．满足λ＋μ＝3的点P有且只有一个 D．λ＋μ＝的的点P有且只有一个 【答案】ABD 【解析】如图，取AB＝1，∵＝＋＝－， ∴＝λ＋μ＝(λ－μ)＋μ ＝(λ－μ)(1,0)＋μ(0,1)＝(λ－μ，μ)， 动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点， 当P∈AB时，有0≤λ－μ≤1且μ＝0，∴0≤λ≤1， ∴0≤λ＋μ≤1， 当P∈BC时，有λ－μ＝1且0≤μ≤1，则λ＝μ＋1 ∴1≤λ≤2，∴1≤λ＋μ≤3， 当P∈CD时，有0≤λ－μ≤1且μ＝1，则μ≤λ≤μ＋1，∴1≤λ≤2，∴2≤λ＋μ≤3， 当P∈AD时，有λ－μ＝0且0≤μ≤1，则λ＝μ， ∴0≤λ≤1，∴0≤λ＋μ≤2，综上，0≤λ＋μ≤3. 选项A，取λ＝μ＝1，满足λ＋μ＝2，此时＝＋＝，因此点P不一定是BC的中点，故A错误； 选项B，当点P取B点或AD的中点时，均满足λ＋μ＝1，此时点P不唯一，故B错误； 选项C，当点P取C点时，λ－μ＝1且μ＝1，解得λ＝2，λ＋μ为3，故C正确； 选项D，当点P取BC的中点或DE的中点时，均满足λ＋μ＝，此时点P不唯一，故D错误． 故选ABD. 15．点O是平面α上一定点，A，B，C是平面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下四个命题正确的是(　　) A．动点P满足＝＋λ＋(λ>0)，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中 B．动点P满足＝＋λ＋(λ>0)，则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中 C．动点P满足＝＋λ＋(λ>0)，则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中 D．动点P满足＝＋＋，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中 【答案】ABC 【解析】选项A，过点A作AD⊥BC于D，则有||sinB＝||sinC＝||， 于是得λ＞0时，＝＋λ⇔＝(＋)， 而△ABC的BC边上中线向量为(＋)，即与BC边上中线向量(＋)共线，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，A正确； 选项B，＋是两个单位向量的和，与∠BAC的平分线所在向量共线， ＝＋λ⇔＝λ， 即与∠BAC的平分线所在向量共线，则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中，B正确； 选项C，＝＋λ⇔＝λ， ·＝λ· ＝λ＝λ(－||＋||)＝0， 即⊥，则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，C正确； 选项D，取边BC的中点E，连接PE，＝＋＋⇔＝＋＝2，于是得P是△ABC的重心，D不正确．故选ABC. 三、填空题(本大题共4小题，每空4分，共20分) 16．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示) 【答案】　b－a　－a－b 【解析】如图所示： ＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.故答案为：b－a；－a－b. 17．已知两点A(－1,0)，B(－1，)．O为坐标原点，点C在第一象限，且∠AOC＝120°，设＝－3＋λ(λ∈R)，则λ＝________. 【答案】 【解析】因为点C在第一象限，设C(a，b)， 又因为A(－1，0)，∠AOC＝120°， 所以＝tan60°＝，即C(a，a)， 因为＝－3＋λ(λ∈R)， 所以(a，a)＝－3(－1,0)＋λ(－1，)，即(a，a)＝(3－λ，λ)，所以＝，解得λ＝，故答案为：. 18．已知P为△ABC内一点，2＋3＋5＝0，则△APC，△BPC的面积之比为________． 【答案】 【解析】如图所示，由2＋3＋5＝， 得2(＋)＝－3(＋)， 取F为AC中点，G为BC中点，则2＝－3， 所以＝＝＝.故答案为：. 19．在△ABC中，AB＝2，AC＝1.若对任意的t∈R，|＋t|≥恒成立，则角A的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为|＋t|≥， 所以2＋2t·＋t22≥3， 所以4＋4tcosA＋t2≥3，即t2＋4tcosA＋1≥0， 所以Δ＝16cos2A－4≤0，解得－≤cosA≤， 因为A∈[0，π]，所以A∈. 故答案为：. 四、解答题(本大题共2小题，共31分) 20．(本小题满分15分)已知平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠DAB＝60°，点E是线段BC的中点． (1)求·的值； (2)若＝＋λ，且⊥，求λ的值． 【答案】(1)4　(2)－ 【解析】方法1：(1)以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，C(4,2)，E(3，)，B(2,0)，D(2,2)， ＝(2,2)，＝(2,0)，∴·＝4； (2)＝＋λ，＝(3＋2λ，＋2λ)， ＝(0,2)， ∵BD⊥AF，∴·＝2(＋2λ)＝0， ∴λ＝－. 方法2：(1)·＝||·||cos60° ＝2×4×＝4； (2)＝＋λ⇒＝λ，∴∥， ∵⊥，⊥，∴F与B重合，∴λ＝－. 21．(本小题满分16分)如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足＝2，过点O的直线分别与射线AB，射线AC交于M，N两点． (1)求证：＝＋. (2)设＝m，＝n，m>0，n>0，求＋的值． 【答案】(1)见解析　(2)3 【解析】(1)证明：因＝2，所以＝，又因D为BC的中点，所以＝(＋)， 所以＝＝＋. (2)因＝m，＝n，m＞0，n＞0， 所以＝，＝，又因＝＋， 所以＝＋，又因M，O，N三点共线， 所以＋＝1，即＋＝3. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$