第11练 三角恒等变换（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第11练　三角恒等变换 一、单选题(本大题共12个小题，每小题4分，满分48分) 1．sin75°＝(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝×＋×＝，故选C. 2．sin50°cos100°＋cos50°sin100°＝(　　) A. B. C．－ D．－ 【答案】A 【解析】sin50°cos100°＋cos50°sin100°＝sin150°＝sin(180°－30°)＝sin30°＝.故选A. 3．tan15°＋的值为(　　) A．4 B. C．4＋2 D．4－2 【答案】A 【解析】tan15°＝tan(45°－30°)＝＝＝2－，tan 15°＋＝2－＋＝4； 故选A. 4.的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 【答案】A 【解析】原式＝＝－＝－＝－.故选A. 5．已知sinα－cosα＝，则cos＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【答案】B 【解析】sinα－cosα＝sin＝， 即sin＝，cosα－＝cosa－＋＝－sinα－＝－.故选B. 6．若α，β∈，且sinα＝，sin(α－β)＝－，则sinβ＝(　　) A. B．－ C. D. 【答案】C 【解析】因为α，β∈，所以－β∈，则α－β∈，因为sinα＝，sin(α－β)＝－，所以cosα＝－＝－，cos(α－β)＝＝，则sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.故选C. 7．已知sinα＋cosβ＝，cosα＋sinβ＝，则sin(α＋β)＝(　　) A. B. C．－ D．－ 【答案】A 【解析】由sinα＋cosβ＝得sin2α＋cos2β＋2sinα·cosβ＝，由cosα＋sinβ＝得cos2α＋sin2β＋2cosα·sinβ＝，两式相加得2＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝3，得sin(α＋β)＝.故选A. 8．角α，β满足sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cosα＋sinβ，则(　　) A．tan(α＋β)＝1 B．tan(α＋β)＝－1 C．tan(α－β)＝1 D．tan(α－β)＝－1 【答案】D 【解析】解法一：设β＝0，则sinα＋cosα＝0，取α＝π，排除A，C； 再取α＝0，则sinβ＋cosβ＝2sinβ，取β＝，排除B.选D. 解法二：由sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝sin(α＋β＋)＝sinα＋＋β＝sinα＋cosβ＋cosα＋sinβ，故sinα＋cosβ－cosα＋sinβ＝0，即，sinα＋－β＝0， 故sinα－β＋＝sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，故sin(α－β)＝－cos(α－β)，故tan(α－β)＝－1.故选D. 9．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β＝(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为a∈，所以2α∈， 因为sin2α＝，所以2α∈，即α∈， 所以cos2α＝－＝－＝－. 因为α∈，β∈， 所以β－α∈，因为sin(β－α)＝， 所以cos(β－α)＝－ ＝－＝－. 所以cos(β＋α)＝cos(β－α＋2α) ＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α ＝－×－×＝. 因为α∈，β∈， 所以β＋α∈，所以α＋β＝.故选A. 10．设α为锐角，且sinsin＝，则(　　) A．α∈ B．α∈ C．α∈ D．α∈ 【答案】C 【解析】∵sinsin＝ sin＋αcos＋α＝， ∴sin＋2α＝<，且α为锐角，∴＋2α>，α>，且＋2α<π，α<， ∴α∈，故选C. 11．已知函数f(x)＝asinx＋cosx的图象关于直线x＝对称，则f＝(　　) A. B. C．－ D. 【答案】B 【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以f(0)＝f，即1＝a－，解得a＝，则 f＝×＋＝.故选B. 12．已知不等式sinxcosx－cos2x＋＋m≥0(m∈R)对∀x∈恒成立，则m的最小值为(　　) A. B. C．－ D. 【答案】D 【解析】因为不等式sinxcosx－cos2x＋＋m≥0(m∈R)对∀x∈恒成立， 所以不等式－m≤sin对∀x∈恒成立，令f(x)＝sin， 因为x∈，所以2x－∈， 则sinmin＝－1，所以f(x)min＝－，所以－m≤－，解得m≥，所以m的最小值为，故选D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，漏选得2分) 13．下列各式的值等于的是(　　) A．2sin67.5°cos67.5° B．2cos2－1 C．1－2sin215° D. 【答案】BC 【解析】选项A,2sin67.5°cos67.5°＝sin135°＝. 选项B,2cos2－1＝cos＝.选项C,1－2sin215°＝cos30°＝.选项D，＝tan45°＝1.故选BC. 14．下列等式中恒成立的是(　　) A.＝ B．cosαsinβ＝ C.－2cos(α＋β)＝ D.＝ 【答案】ACD 【解析】选项A，由＝，则sin2α＝(1－cosα)(1＋cosα)＝1－cos2α＝sin2α成立，故A正确． 选项B，由 ＝ ＝sinαcosβ，当α＝，β＝时，sinαcosβ＝×＝，cosαsinβ＝×＝，则此时cosαsinβ≠sinαcosβ，所以B不正确． 选项C，－2cos(α＋β)＝－2cos(α＋β) ＝－2cos(α＋β)＝－cos(α＋β) ＝＝＝，故C正确． 选项D，＝＝＝，＝＝， 所以＝成立，故D正确． 故选ACD. 15．己知f(x)＝sin2x＋sin2(x＋α)＋sin2(x＋β)，其中α，β为参数，若对∀x∈R，f(x)恒为定值，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝2 C．α＋β＝π D．满足题意的一组α，β可以是α＝，β＝ 【答案】AD 【解析】f(x)＝＋＋＝－[cos2x·(1＋cos2α＋cos2β)－sin2x·(sin2β＋sin2α)]，由题意， 两式平方相加可得cos(2α－2β)＝－，所以f(x)＝，2α－2β＝±＋2kπ，k∈Z当α＝，β＝时，2α－2β＝－符合题意， 故选项A，D正确，B，C错误．故选AD. 三、填空题(本大题共3小题，每空4分，共16分) 16．已知tan＝－，则cos2α＝________. 【答案】－ 【解析】由tan＝－， 得＝＝－，即得tanα＝7， 故cos2α＝＝＝＝－，故答案为：－. 17．已知α，β∈，sinα＋3sin(α－2β)＝0，则＝________，tan(α－2β)的最小值是________． 【答案】　－ 【解析】由题意得，sin[(α－β)＋β]＋3sin[(α－β)－β]＝0，所以sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＋3[sin(α－β)cosβ－cos(α－β)sinβ]＝0，即2cos(α－β)sinβ＝4sin(α－β)cosβ，于是有tanβ＝2tan(α－β)，所以＝.又tan(α－2β)＝tan[(α－β)－β]＝，设tanβ＝x＞0，则tan(α－β)＝x，所以tan(α－2β)＝－＝－≥－＝－，当且仅当＝x即x＝时取等号，所以tan(α－2β)的最小值为－.故答案为：；－. 18．tan20°＋4sin20°＝________. 【答案】 【解析】由三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，可得 tan20°＋4sin20°＝＋4sin20° ＝ ＝ ＝＝. 故答案为：. 四、解答题(本大题共2小题，共24分) 19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxsin. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的对称中心； (3)求函数f(x)在区间上的取值范围． 【答案】(1)π　(2)，k∈Z　(3) 【解析】(1)f(x)＝sin2x＋sinxsin＝＋sinxcosx＝sin2x－cos2x＋＝sin＋， 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π； (2)令2x－＝kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，所以函数f(x)的对称中心是，k∈Z； (3)x∈时，2x－∈， 则f(x)＝sin＋∈. 20．(本小题满分12分)如图，圆心角为的扇形AOB的半径为2，C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形CDEF. (1)求扇形AOB的周长； (2)当点C在什么位置时，矩形CDEF的面积最大？请求出面积的最大值． 【答案】(1)＋4　(2) 【解析】(1)由题，弧AB长为×2＝，故扇形AOB的周长为＋4； (2)设∠AOC＝θ，θ∈，OC＝2，则OF＝OC·cosθ，DE＝CF＝OC·sinθ，OE＝＝， 所以EF＝OF－OE＝2cosθ－， 所以矩形CDEF的面积S＝EF·CF＝·2sinθ＝2sin2θ－ ＝－＝sin－≤，2θ＋∈，所以当θ＝时，S取得最大值，即当C在弧AB中点时，矩形CDEF的面积最大，最大值为. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$