第10练 三角函数的图象和性质（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第10练　三角函数的图象和性质 一、单选题(本大题共10个小题，每小题4分，满分40分) 1．函数y＝cos是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数 【答案】A 【解析】∵函数y＝cos＝－sin2x， ∴函数y＝cos＝－sin2x为最小正周期为π的奇函数．故选A. 2．函数y＝2tan的定义域为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为2x＋≠kπ＋，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z，故函数的定义域为，故选D. 3．下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　) A．在区间上单调递减 B．最小正周期是π C．图象关于成中心对称 D．图象关于直线x＝成轴对称 【答案】B 【解析】令kπ－＜x＋＜kπ＋，解得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，显然在上单调递增，故A不正确；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋＝，解得x＝－，k∈Z，任取k值不能得到x＝，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan的图象也没有对称轴，故D错误．故选B. 4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，－π≤φ<π)的部分图象如图所示，则(　　) A．ω＝，φ＝－π B．ω＝，φ＝0 C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－ 【答案】D 【解析】由已知得函数f(x)的最小正周期T满足＝5－3＝2.∴T＝8，∴ω＝＝.又∵函数f(x)过点(3,0)， ∴sin＝0，∴×3＋φ＝kπ，k∈Z， ∵－π≤φ＜π，∴φ＝－或，又函数f(x)过点(5,1)，∴φ＝－，故选D. 5．已知函数f(x)＝sin＋(ω>0)，且f(α)＝－，f(β)＝，若|α－β|的最小值为，则ω的值为(　　) A．1 B. C. D．2 【答案】C 【解析】结合三角函数的图象可知T＝|α－β|min＝，即，则由三角函数的周期公式可得ω＝＝.故选C. 6．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意的x都有f＝f，则f等于(　　) A．3或0 B．－3或0 C．0 D．－3或3 【答案】D 【解析】任意实数x，f＝f恒成立，∴x＝是f(x)的一条对称轴，∴当x＝时，f(x)取得最大值3或最小值－3.故选D. 7．某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音(如图)．已知噪音的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0,0≤φ<2π)的振幅为1，周期为π，初相为，则用来降噪的声波曲线的解析式为(　　) A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝－sin2x D．y＝－cos2x 【答案】D 【解析】由题，噪音的声波曲线的振幅为1，周期为π，初相为，所以A＝1，T＝＝π，φ＝，则ω＝2，所以y＝sin＝cos 2x，所以降噪的声波曲线的解析式为y＝－cos 2x，故选D. 8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．该图象对应的函数解析式为f(x)＝2sin B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．函数y＝f(x)的图象关于点对称 D．函数y＝f(x)在区间上单调递减 【答案】B 【解析】由图象可知A＝2，＝－即T＝π，所以ω＝＝2， 又f＝2，可得2sin＝2， 又因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin， 故A错误； 当x＝时，sin＝sin＝sin＝－1.故B正确； 当x＝－π时，sin＝sin＝－1≠0，故C错误； 当x∈时，2x＋∈[－π，0]，函数f(x)不单调递减，故D错误．故选B. 9．设函数f(x)＝2cos(ω>0)，若对于任意的实数x，f(x)≥f恒成立，则ω的最小值等于(　　) A．0 B．1 C. D. 【答案】D 【解析】∵函数f(x)＝2cos(ω＞0)，若对于任意的实数x，f(x)≥f恒成立， ∴f是函数的最小值，故2ω×＋＝2kπ＋π，k∈Z，即ω＝3k＋，则令k＝0，可得ω的最小值为.故选D. 10．已知函数f(x)＝sinx＋sin2x在(0，a)上有4个零点，则实数a的最大值为(　　) A.π B．2π C.π D．3π 【答案】C 【解析】f(x)＝sin x＋sin 2x＝sinx＋2sinxcos x＝sinx(1＋2cos x)， 令f(x)＝0，得sinx＝0或cosx＝－，作出y＝sinx和y＝cos x的图象： f(x)在(0，a)上有4个零点，则2π＜a≤2π＋＝，a的最大值为.故选C. 二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，漏选得2分) 11．设函数f(x)＝sin，则下列结论中正确的是(　　) A．y＝f(x)的图象关于点对称 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称 C．f(x)在上单调递 D．f(x)在上的最小值为0 【答案】ABC 【解析】当x＝时，f＝sinπ＝0，所以y＝f(x)的图象关于点对称，A正确； 当x＝－时，f＝sin＝1，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，B正确； 当x∈时，u＝2x＋∈， f(u)＝sinu在上单调递减，故C正确； 当x∈时，u＝2x＋∈，f(u)在，π上的最小值为，D错误．故选ABC. 12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　) A．点P再次进入水中时用时30秒 B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点 C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米 D．点P第二次到达距水面米处时用时25秒 【答案】BCD 【解析】由题意，角速度ω＝＝(弧度/秒)， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径OP0与水面所成角为，点P再次进入水中用时为＝40秒，故A错误； 当水轮转动50秒时，半径OP0转动了50×＝弧度，而－＝，点P正好处于最低点，故B正确； 以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度， H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)， 由解得 又因为角速度ω＝＝(弧度/秒)，t＝0时，∠xOP0＝，所以ω＝，φ＝－， 所以点P距离水面的高度H＝2sin＋1，当水轮转动150秒时，将t＝150代入，得H＝2，点P距离水面2米，故C正确； 将H＝1＋代入H＝2sin＋1中， 得t－＝2kπ＋，或t－＝2kπ＋， 即t＝60k＋15，或t＝60k＋25(k∈N)． 所以点P第二次到达距水面(1＋)米处时用时25秒，故D正确．故选BCD. 13．记函数y＝cosx的图象为C1，函数y＝cos的图象为C2，则(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到C2 B．把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到C2 C．把C1向左平移个单位长度，再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到C2 D．把C1向左平移个单位长度，再把得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到C2 【答案】BC 【解析】选项A，把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝cosx，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos，错误； 选项B，把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝cos2x，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos2＝cos＝cos，正确； 选项C，把C1向左平移个单位长度，得到y＝cos，再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝cos，正确； 选项D，把C1向左平移个单位长度，得到y＝cos，再把得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝cos，错误．故选BC. 14．已知函数f(x)＝2sin＋1，则下列说法正确的是(　　) A．f(x＋π)＝f(x) B．f的图象关于原点对称 C．若0<x1<x2<，则f(x1)<f(x2) D．对∀x1，x2，x3∈，f(x1)＋f(x3)>f(x2)都成立 【答案】ACD 【解析】∵函数f(x)＝2sin＋1的周期T＝＝π，所以f(x＋π)＝f(x)恒成立，故A正确； 又f＝2sin2x＋1，所以f＝2sin＋1，f＝2sin＋1＝－＋1，所以f≠－f，所以f的图象不关于原点对称，故B错误； 当x∈时，2x－∈，所以函数f(x)＝2sin在上单调递增，故C正确； 因为x∈，所以2x－∈，故≤sin≤1，∴f(x)∈[＋1,3]，又2(＋1)＞3，即2f(x)min＞f(x)max， 所以对∀x1，x2，x3∈，f(x1)＋f(x3)＞f(x2)都成立，故D正确．故选ACD. 三、填空题 三、填空题(本大题共4小题，每空4分，共20分) 15．函数y＝1－2cos2(2x)的最小正周期是________． 【答案】 【解析】由题意y＝－cos4x，T＝＝. 16．已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期为4π，且∀x∈R，f(x)≤f恒成立，则f(x)图象的对称中心是____________，对称轴方程是______________． 【答案】(k∈Z)　x＝2kπ＋(k∈Z) 【解析】由f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π， 得ω＝， 因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f， 即×＋φ＝2kπ(k∈Z)， 又∵|φ|＜，所以φ＝－， 故f(x)＝cos， 令x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)， 令x－＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋(k∈Z)， 故f(x)图象的对称轴方程是x＝2kπ＋(k∈Z)． 故答案为：(k∈Z)；x＝2kπ＋(k∈Z)． 17．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)，若f＝0，且f(x)在上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为________． 【答案】17 【解析】由f＝0，且f(x)在上有最大值，没有最小值，可得＋＝2kπ(k∈Z)， 所以ω＝6k－1(k∈Z)． 由f(x)在上有最大值，没有最小值，可得×＜－≤×，解得6＜ω≤18，又ω＝6k－1(k∈Z)，当k＝3时，ω＝17，则ω的最大值为17，故答案为：17. 18．写出一个同时具有下列性质①、②、③的函数：f(x)＝______________.①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数在上单调递减． 【答案】f(x)＝2sin(答案不唯一) 【解析】①若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于中心对称， ②若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于x＝对称， 设f(x)＝2sin(ωx＋φ)，则T＝4×＝4， ω＝，又f(x)的图象关于x＝对称，且函数在上单调递减，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z. 故答案为：f(x)＝2sin. 四、解答题(本大题共2小题，共20分) 19．(本小题满分10分)设函数f(x)＝sinx，x∈R. (1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y＝fx＋2＋fx＋2的值域． 【答案】(1)，π　(2) 【解析】(1)由题意结合函数的解析式可得f(x＋θ)＝sin(x＋θ)，函数为偶函数，则当x＝0时，0＋θ＝kπ＋(k∈Z)，即θ＝kπ＋(k∈Z)，结合θ∈[0,2π]可取k＝0,1，相应的θ值为，π. (2)由函数的解析式可得 y＝sin2＋sin2 ＝＋ ＝1－ ＝1－ ＝1－ ＝1＋sin. 据此可得函数的值域为：. 20．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin2＋cos2x. (1)求函数y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)若函数g(x)＝f(x＋φ)关于点中心对称，求y＝g(x)在上的值域． 【答案】(1)最小正周期为π，单调递增区间为，k∈Z　(2) 【解析】(1)f(x)＝＋＝＋＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin. ∴T＝＝＝π，y＝f(x)的最小正周期为π， 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， －π＋kπ≤x≤＋kπ，∴y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)g(x)＝1＋sin＝1＋sin. ∵y＝g(x)关于点中心对称，∴2·＋2φ＋＝kπ，k∈Z，φ＝－＋，∵0＜φ＜， ∴φ＝. ∴g(x)＝1＋sin(2x＋π)＝1－sin2x. 当x∈，2x∈∴sin2x∈， g(x)＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$