第9练 三角函数的概念与诱导公式（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第9练　三角函数的概念与诱导公式 一、单选题(本大题共12个小题，每小题3分，满分36分) 1．若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由图知，角α的取值集合为： ∪ ＝∪ ＝. 故选D. 2．若sinθ<0且tanθ<0，则角θ所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】sinθ＜0，则角θ在第三、四象限，tanθ＜0，则角θ在第二、四象限，所以满足sinθ＜0且tanθ＜0，角θ在第四象限．故选D. 3．θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是(　　) A．sin B．cos C．sin2θ D．cos2θ 【答案】C 【解析】因为θ是第二象限角，所以2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，k∈Z，则4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π，k∈Z， 所以2θ为第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上，所以sin2θ<0.而kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，是第一象限或第三象限角，正弦、余弦值不一定是负数．故选C. 4．二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为(　　) A．－ B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运行了6×15°＝90°，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为.故选B. 5．已知tanα＝－，且<α<π，则sinα－cosα的值等于(　　) A．－ B. C. D．－ 【答案】C 【解析】因为＜α＜π，所以sinα＞0，cosα＜0， tanα＝＝－，① 又sin2α＋cos2α＝1，② 联立①②，解之得sinα＝，cosα＝－， 所以sinα－cosα＝，故选C. 6．若cos165°＝a，则tan195°等于(　　) A. B. C．－ D．－ 【答案】C 【解析】若cos165°＝a，则cos 15°＝cos(180°－165°)＝－cos165°＝－a，sin 15°＝， 所以tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝＝－.故选C. 7．已知角α的终边经过点，则tan＋sin(2α－3π)＝(　　) A. B．－ C．－ D. 【答案】D 【解析】依题意，由三角函数的定义可知tanα＝－， tan＋sin(2α－3π)＝－sin2α＝－－＝－－＝－＝＋＝.故选D. 8．已知f(α)＝，则f＝(　　) A. B. C. D．－ 【答案】A 【解析】f(α)＝＝＝cosα，则f＝cos＝.故选A. 9．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的体积为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，则由题意可得 2πr＝2×，解得r＝， 所以h＝＝＝，所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×2×＝，故选C. 10．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥A B.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB， 又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，即OD＝OA＝OB＝2，又∠AOB＝60°， 所以AB＝OA＝OB＝2，则OC＝，故CD＝2－，所以s＝AB＋＝2＋＝. 故选B. 11．若＝，则tanα＝(　　) A. B. C.或1 D.或1 【答案】A 【解析】因为＝＝＝＝＝，解得tanα＝.故选A. 12．函数f(x)＝sinx＋cosx＋sin2x的最大值为(　　) A．1 B．1－ C．1＋ D．3 【答案】C 【解析】f(x)＝sinx＋cosx＋sin2x ＝sinx＋cosx＋2sinxcosx， 令t＝sinx＋cosx＝sin， 所以t∈[－，]， 则t2＝(sinx＋cosx)2＝1＋2sin xcos x， 所以2sinx cosx＝t2－1，所以原函数可化为 y＝t2＋t－1，t∈[－，]，对称轴为t＝－，所以当t＝时，y＝t2＋t－1取得最大值1＋，即f(x)＝sinx＋cosx＋sin2x的最大值为1＋，故选C. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．下列说法正确的有(　　) A．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度 B．1°＝rad C．若sinθ>0，cosθ<0，则θ为第二象限角 D．若θ为第二象限角，则为第一或第三象限角 【答案】CD 【解析】选项A，经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度，不是π弧度，所以A错误； 选项B,1°化成弧度是rad，所以B错误； 选项C，由sinθ＞0，可得θ为第一、第二及y轴正半轴上的角， 由cosθ＜0，可得θ为第二、第三及x轴负半轴上的角． 取交集可得θ是第二象限角，故C正确； 选项D，若θ是第二象限角，2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，则kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)， 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋(n∈Z)，所以为第一象限的角， 当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋(n∈Z)，所以为第三象限的角，综上，为第一或第三象限角，故选项D正确．故选CD. 14．下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　　) A．α＋β＝90° B．α＋β＝180° C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z) D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z) 【答案】BD 【解析】根据α和β的终边关于y轴对称时α＋β＝180°＋360°k(k∈Z)可知， 选项B中，α＋β＝180°符合题意；选项D中，α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)符合题意； 选项A，C中，可取α＝0°，β＝90°时显然可见α和β的终边不关于y轴对称．故选BD. 15．在△ABC中，下列恒成立的有(　　) A．sin(A＋B)＝sinC B．cos＝sin C．sin(2A＋2B)＋sin2C＝0 D．cos(2A＋2B)＋cos2C＝0 【答案】ABC 【解析】选项A中，由sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，所以A正确； 选项B中由cos＝cos＝sin，所以B正确；选项C中，sin(2A＋2B)＋sin2C ＝sin[2(A＋B)]＋sin2C＝sin[2(π－C)]＋sin2C ＝sin(2π－2C)＋sin2C＝－sin2C＋sin2C＝0， 所以C正确；选项D中，cos(2A＋2B)＋cos2C ＝cos[2(A＋B)]＋cos2C＝cos[2(π－C)]＋cos2C ＝cos(2π－2C)＋cos2C＝cos2C＋cos2C＝2cos2C，所以D错误．故选ABC. 16．已知－＜θ＜，且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tanθ的值，在以下四个答案中，不可能是(　　) A．－3 B．3或 C．－ D．－3或－ 【答案】ABD 【解析】因为sinθ＋cosθ＝a，a∈(0,1)，两边平方整理得sinθcosθ＝＜0， 所以－＜θ＜0且cosθ＞－sinθ，∴|cosθ|＞|sinθ|，则可知－＜θ＜0，－1＜tanθ＜0.故选ABD. 三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分) 17．已知点P(2,3)在α的终边上，则sinα＝________，cos(π＋α)＝________. 【答案】　－ 【解析】由三角函数的定义可得sinα＝＝，cos(π＋α)＝－cosα＝－＝－. 故答案为：；－. 18．已知<x<π，sinx＋cosx＝，则sinx－cosx＝________. 【答案】 【解析】(sinx＋cosx)2＝1＋2sinx cosx＝， 得2sinxcosx＝－，(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝，因为＜x＜π，所以sinx＞cosx，故sinx－cosx＝.故答案为：. 19．“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且AD＝1，则扇形OAD的面积是________． 【答案】π 【解析】由题意可知，圆O的半径为1，即OA＝OD＝1， 又AD＝1，所以△OAD为正三角形，∠AOD＝. 所以扇形OAD的面积是S＝×r2×∠AOD＝×12×＝.故答案为：π. 20．函数f(x)＝＋的最小值为________． 【答案】36 【解析】因为cos2x＋sin2x＝1，所以f(x)＝(cos2x＋sin2x)＝＋＋26≥2＋26＝36，当sin2x＝5cos2x时，等号成立．故函数f(x)＝＋的最小值为36.故答案为：36. 四、解答题(本大题共3小题，共33分) 21．(本小题满分11分)化简下列各式． (1)； (2). 【答案】(1)tanα　(2)－1 【解析】(1)原式＝＝tan α； (2)原式＝＝＝－1. 22．(本小题满分11分) 已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，P(－2，m)是角α终边上一点，且sinα＝. (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1)1　(2)－ 【解析】(1)sinα＝＝，解得m＝1； (2)tanα＝＝－， ＝＝ ＝＝＝－. 23．(本小题满分11分)已知＝k.试用k表示sinα－cosα的值． 【答案】＝＝＝2sinαcosα＝k， (sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα ＝1－2sinαcosα＝1－k， 当0＜α＜时，sinα＜cosα，此时sinα－cosα＝－， 当≤α＜时，sinα≥cosα，此时sinα－cosα＝. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$