第8练 函数的应用（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第8练　函数的应用 一、单选题(本大题共12个小题，每小题4分，满分48分) 1．已知等腰三角形的周长为40 cm，底边长y(cm)是腰长x(cm)的函数，则函数的定义域为(　　) A．(10,20) B．(0,10) C．(5,10) D．[5,10) 【答案】A 【解析】由题设有y＝40－2x，由 得10<x<20，故选A. 2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 【答案】B 【解析】二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．根据二分法的理论依据选项B不能用二分法求图中函数零点，故选B. 3．声强级L1(单位：dB)与声强I的函数关系式为L1＝10lg.若普通列车的声强级是95 dB，高速列车的声强级为45 dB，则普通列车的声强是高速列车声强的(　　) A．106倍 B．105倍 C．104倍 D．103倍 【答案】B 【解析】设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2， 因为普通列车的声强级是95 dB，高速列车的声强级为45 dB，所以95＝10lg，45＝10lg， 95＝10lg＝10(lgI1＋12)，解得－2.5＝lgI1，所以I1＝10－2.5， 45＝10lg＝10(lgI2＋12)，解得－7.5＝lgI2，所以I2＝10－7.5，两式相除得＝＝105， 则普通列车的声强是高速列车声强的105倍．故选B. 4．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星、和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武．已知火箭的最大速度v(单位：km/s)和燃料质量M(单位：kg)，火箭质量m(单位：kg)的函数关系是v＝2000ln，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少？(参考数值为ln2≈0.69；ln101≈4.62)(　　) A．13.8 B．9240 C．9.24 D．1380 【答案】B 【解析】v＝2000×ln＝2000×(ln101)＝2000×4.62＝9240(km/s)，故选B. 5．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表： 购票人数 1～50 51～100 100以上 门票价格 13元/人 11元/人 9元/人 两个旅游团队计划游览该景点．若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为(　　) A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【解析】由题意可知，990不能被13整除，所以两个部门的人数之和为a＋b≥51. (1)若51≤a＋b≤100，则11(a＋b)＝990，可得a＋b＝90，由共需支付门票费1290元，可知11a＋13b＝1290，联立方程组，可得b＝150，a＝－60； (2)若a＋b＞100，则9(a＋b)＝990，可得a＋b＝110， 由共需支付门票费1290元，可知1≤b≤50,51≤a≤100，可得11a＋13b＝1290. 联立方程组可得a＝70，b＝40，所以两个部门的人数之差为70－40＝30.故选B. 6．“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值m(亿吨)后开始下降，其二氧化碳的排放量y(亿吨)与时间t(年)满足函数关系式y＝mat，设经过5年，二氧化碳的排放量为(亿吨)．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消的自身产生的二氧化碳排放量为(亿吨)，则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过多少年？(参考数据：lg2＝0.3)(　　) A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【解析】由题意可得y＝ma5＝，即a5＝，解得a＝，mat＝，即t＝，两边取对数得tlg＝lg，所以(lg8－lg10)＝－lg8，即(3lg2－1)＝－3lg2，解得t＝＝＝45.故选C. 7．f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) 【答案】D 【解析】由题意可得a＝x－x(x＞0)． 令g(x)＝x－x， 因为y＝x，y＝－x都是增函数，所以该函数在(0，＋∞)上为增函数， 所以g(x)>g(0)＝0－1＝－1，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)， 故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．故选D. 8．对于函数y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＝－f(－x0)，则称点(x0，f(x0))与点(－x0，－f(－x0))是函数f(x)的一对“隐对称点”．若函数f(x)＝的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是(　　) A．[2－2，0) B．(－∞，2－2] C．(－∞，2＋2] D．(0,2＋2] 【答案】B 【解析】由隐对称点的定义可知函数f(x)图象上存在关于原点对称的点， 设g(x)的图象与函数y＝x2＋2x，x<0的图象关于原点对称， 令x>0，则－x<0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，∴g(x)＝－x2＋2x，x＞0， 故原题意等价于方程mx＋2＝－x2＋2x(x>0)有实根，解得m＝－x－＋2， 又因为－x－＋2≤－2＋2＝2－2，当且仅当x＝时取等号， ∴m∈(－∞，2－2]．故选B. 9．已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)(x1，x2，x3，x4互不相等)，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】作出函数y＝f(x)的图象，如图所示： 设x1<x2<x3<x4，则x1＋x2＝2×(－1)＝－2. 因为|log2x3|＝|log2x4|，所以－log2x3＝log2x4， 所以log2x3＋log2x4＝log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，即x3＝. 当|log2x|＝1时，解得x＝或x＝2，所以1<x4≤2.设t＝x3＋x4＝＋x4， 因为函数y＝x＋在(1，＋∞)上单调递增， 所以＋1<＋x4≤＋2，即2<x3＋x4≤， 所以0<x1＋x2＋x3＋x4≤.故选D. 10．高斯是世界著名的数学家之一，他一生的成就极为丰硕，仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，{x}表示实数x的非负纯小数部分，即{x}＝x－[x]，如{1.7}＝0.7，{－1.2}＝0.8.若函数y＝{x}－1＋logax(a>0，且a≠1)有且仅有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(2,3] B．[2,3) C．(3,4] D．[3,4) 【答案】D 【解析】函数y＝{x}－1＋logax有且仅有3个零点， 即y＝logax的图象与函数y＝1－{x}的图象有且仅有3个交点． 而y＝1－{x}＝1＋[x]－x＝ 画出函数y＝1－{x}的图象，易知当0<a<1时，y＝logax与y＝1－{x}的图象最多有1个交点，故a>1， 作出函数y＝logax的大致图象，结合题意可得解得3≤a<4， 所以实数a的取值范围是[3,4)，故选D. 11．已知函数f(x)＝mx2－3x＋1的零点至少有一个大于0，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，2) B. C. D．(－∞，2] 【答案】B 【解析】①当m＝0时，由f(x)＝0，得x＝，符合题意． ②当m≠0时， 由Δ＝9－4m＝0，得m＝，此时f(x)＝0，解得 x＝，符合题意； 由Δ＝9－4m>0，得m<，此时设f(x)＝0的两根分别为x1，x2，且x1<x2， 若0<m<，则x1＋x2＝>0，x1·x2＝>0，即x1>0，x2>0，符合题意， 若m<0，则x1＋x2＝<0，x1·x2＝<0， 即x1<0，x2>0，符合题意． 综上，m≤，即实数m的取值范围为. 故选B. 12．已知函数f(x)＝3x且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．若关于x的方程2ag(x)＋h(2x)＝0在(0,1]上有两个解，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】f(x)＝g(x)＋h(x)①，则f(－x)＝g(－x)＋h(－x)，即－g(x)＋h(x)＝f(－x)②，由①、②得g(x)＝＝，h(x)＝＝，方程2ag(x)＋h(2x)＝0为a(3x－3－x)＋＝0③，令t＝3x－3－x，是增函数，x∈(0,1]，则t∈，方程③变为2at＋t2＋2＝0，此方程在上有两不等实解，记φ(t)＝t2＋2at＋2，则解得－≤a＜－. 故选B. 二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，漏选得2分) 13．某停车场的收费标准如下：临时停车半小时内(含半小时)免费，临时停车1小时收费5元，此后每停车1小时收费3元，不足1小时按1小时计算，24小时内最高收费40元．现有甲、乙两车临时停放在该停车场，下列判断正确的是(　　) A．若甲车与乙车的停车时长之和为1.6小时，则停车费用之和可能为8元 B．若甲车与乙车的停车时长之和为2.5小时，则停车费用之和可能为10元 C．若甲车与乙车的停车时长之和为10小时，则停车费用之和可能为34元 D．若甲车与乙车的停车时长之和为25小时，则停车费用之和可能为45元 【答案】ACD 【解析】选项A，若甲车停车1.5小时，乙车停车0.1小时，则甲车停车费用为8元，乙车停车费用为0元，共计8元，A正确； 选项B，若甲、乙两车停车时长之和为2.5小时，则停车费用之和可能为8元或13元或16元，B错误； 选项C，若甲、乙两车各停车5小时，则每辆车的停车费用为17元，共计34元，C正确； 选项D，若甲车停车24小时，乙车停车1小时，则甲车停车费用40元，乙车停车费用5元，共计45元，D正确． 故选ACD. 14．下列说法中正确的是(　　) A．任取x>0，均有3x>2x B．图象经过2，的幂函数是偶函数 C．在同一坐标系中，函数y＝2x＋1与y＝2－x＋1的图象关于y轴对称 D．若方程|log2x|＝2－x的两根分别为m，n，则mn<1 【答案】ACD 【解析】选项A，令f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x>0时，f(x)＝3x的图象恒在g(x)＝2x的上，则A正确； 选项B，设f(x)＝xn，则f(2)＝2n＝，解得n＝－，则x>0，所以函数不是偶函数，故B错误； 选项C，函数y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称，往上平移1个单位就得到函数y＝2x＋1与y＝2－x＋1的图象，所以还关于y轴对称，故C正确； 选项D，由方程|log2x|＝2－x的两根分别为m，n，可知m，n两根中，一个大于1，另一个小于1，不妨令m小于1，则n大于1，所以有|log2m|＝2－m， 有－log2m＝2－m，所以log2m＝m－2，同理，log2n＝2－n，log2m＋log2n＝m－2＋2－n＝m－n，又m－n<0，所以mn<1，故D正确．故选ACD. 15．已知函数f(x)＝令g(x)＝f(f(x))，则下列说法正确的是(　　) A．g(－1)＝0 B．方程g(x)＝2有3个根 C．方程g(x)＝－2的所有根之和为－1 D．当x<0时，f(x)≤g(x) 【答案】ACD 【解析】选项A，由题意知f(－1)＝0， 则g(－1)＝f(f(－1))＝f(0)＝0，所以A正确； 选项B，令f(x)＝u，则求g(x)＝f(f(x))＝2的根，即求f(u)＝2的根，因为方程f(u)＝2没有实根， 所以g(x)＝2没有实根，所以B错误； 选项C，令u＝f(x)，则方程g(x)＝－2，即f(u)＝－2，得u＋1＝－2，u<0⇒u1＝－3，－u2＋2u＝－2，u≥0⇒u2＝1＋，由方程f(x)＝u1得x＋1＝－3(x<0)或－x2＋2x＝－3(x≥0)，解得x＝－4或x＝3，易知方程f(x)＝u2，没有实数根，所以方程g(x)＝－2的所有根之和为－1，选项C正确； 选项D，当x<0时，g(x)＝f(x＋1)，则将函数f(x)在(－∞，1)的图象向左平移1个单位长度可得函数g(x)的图象，所以当x＜0时，函数g(x)的图象不在f(x)的图象的下方，D选项正确，故选ACD. 16．已知函数f(x)＝则(　　) A．对任意的m∈R，函数f(x)都有零点 B．当m≤－3时，对∀x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0都成立 C．当m＝0时，方程f[f(x)]＝0有4个不同的实数根 D．当m＝0时，方程f(x)＋f(－x)＝0有2个不同的实数根 【答案】AC 【解析】当ex－1＝0时，x＝0；当－(x＋2)2＝0时， x＝－2. 所以当m＞0时，函数f(x)只有1个零点， 当－2＜m≤0时，函数f(x)只有2个零点， m≤－2时，函数f(x)只有1个零点，故A正确； 当m≤－3时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数f(x)为单调递增函数，故B错误； 当m＝0时，令t＝f(x)，由f(t)＝0得t＝－2或t＝0，作出函数f(x)的图象， 如图所示，当t＝f(x)＝－2时，方程f[f(x)]＝0有两个解，t＝f(x)＝0时，方程f[f(x)]＝0时，有两个解， 所以方程f[f(x)]＝0时，有4个不同的实数根，故C正确； 当m＝0时，方程f(x)＋f(－x)＝0， 则f(x)＝－f(－x)，如图所示，有3个不同的交点， 则故D错误．故选AC. 三、填空题(本大题共4小题，每空4分，共20分) 17．若函数f(x)在其定义域上单调递增，且零点为2，则满足条件的一个f(x)可能是____________．(写出满足条件的一个f(x)即可) 【答案】f(x)＝x－2(答案不唯一) 【解析】根据f(x)在其定义域上单增，且零点为2，即f(2)＝0，可写出一个函数：f(x)＝x－2. 故答案为：f(x)＝x－2.(答案不唯一) 18．汽车紧急避险安全距离包括刹车距离和驾驶员反应时间内汽车行驶的距离(驾驶员发现紧急情况至踩下制动踏板的这段时间称为反应时间，在这段时间内汽车保持原速率不变)．已知通常情况下，驾驶员的反应时间为0.5 s，刹车距离与汽车速率的平方成正比，且当速率为20 m/s时刹车距离是20 m，比例系数为________．依据上述信息推断，一辆汽车以90 km/h的速率行驶在我市绕城高速路上时，其紧急避险安全距离为________m. 【答案】　43.75 【解析】设避险安全距离为S(m)，速度为v(m/s)，刹车距离为S1(m)，则S1＝kv2，S＝0.5v＋S1，因为当 v＝20 m/s时，S1＝20 m，所以20＝k×202，解得k＝， 所以S1＝v2，即S＝0.5v＋v2，因为90 km/h＝25 m/s， 所以当v＝25m/s时， S＝0.5×25＋×252＝43.75(m)， 故答案为：；43.75. 19．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－4f(x)＋m＋1恰有8个零点，则m的范围为______________________． 【答案】2≤m＜3 【解析】画出函数f(x)＝的图象如图所示， 设f(x)＝t，由g(x)＝[f(x)]2－4f(x)＋m＋1＝0，得t2－4t＋m＋1＝0.因为g(x)有8个零点， 所以方程f(x)＝t有4个不同的实根，结合f(x)的图象可得在t∈(0,3]内有4个不同的实根． 所以方程t2－4t＋m＋1＝0必有两个不等的实数根，即m＋1＝－t2＋4t在t∈(0,3]内有2个不同的实根， 画出函数y＝－t2＋4t的图象，如图所示： 结合图象可知，3≤m＋1＜4，故2≤m＜3. 故答案为：2≤m＜3. 20．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数y＝f(x)－c恰有两个零点，则实数c的取值范围是________________． 【答案】(－2，－1]∪(1,2] 【解析】因为a⊗b＝，所以f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)＝由图可知，当－2＜c≤－1或1＜c≤2时，函数f(x)与y＝c的图象有两个公共点， ∴c的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．故答案为(－2，－1]∪(1,2]． 四、解答题(本大题共1小题，共12分) 21．(本小题满分12分)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a(单位：元)，每期利率为r，本利和为y(单位：元)，存期数为x. (1)写出本利和y关于存期数x的函数解析式； (2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．(复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄) 【答案】(1)y＝a(1＋r)x(x∈N)　(2)1000×1.02255 【解析】(1)依题意可知y＝a(1＋r)x(x∈N)． (2)由(1)得，本利和为y＝1000×(1＋2.25%)5 ＝1000×1.02255. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$