第7练 指数函数、对数函数和幂函数（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第7练　指数函数、对数函数和幂函数 一、单选题(本大题共12个小题，每小题3分，满分36分) 1．指数函数y＝ax的图象经过点，则a的值是(　　) A. B. C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为y＝ax的图象经过点，所以a3＝，解得a＝，故选B. 2．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(3)＝(　　) A．9 B．3 C. D. 【答案】D 【解析】设幂函数f(x)＝xa，代入点，得＝2a，解得a＝－2，所以f(x)＝x－2，则f(3)＝3－2＝，故选D. 3．若函数f(x)＝ln是奇函数，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．0 【答案】C 【解析】因为f(x)＝ln是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0. 即ln＋ln＝0恒成立， 所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，所以1－a2＝0，即a＝±1. 当a＝1时，f(x)＝ln，定义域为R，且f(－x)＋f(x)＝0，故符合题意； 当a＝－1时，f(x)＝ln，定义域为R，且f(－x)＋f(x)＝0，故符合题意．故选C. 4．已知a＝30.2，b＝0.23，c＝log30.2，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】A 【解析】因为y＝3x在R上单调递增，且0.2＞0，所以a＝30.2＞30＝1；因为y＝0.2x在R上单调递减，且3＞0， 所以0＜b＝0.23＜0.20＝1；因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，且0.2＜1，所以c＝log30.2＜log31＝0. 综上所述，a＞b＞c，故选A. 5．函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B．[2，＋∞) C．[2,3) D．(1,3) 【答案】C 【解析】若0<<1，则t＝x2－ax＋2在区间(－∞，1]上为增函数，不可能，舍去； 若≥1，则t＝x2－ax＋2在区间(－∞，1]上为减函数，且t>0，∴∴2≤a<3， 即a的取值范围是[2,3)．故选C. 6．下列命题中正确的是(　　) A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)两点 C．幂函数y＝x－的定义域为[0，＋∞) D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 【答案】D 【解析】选项A，α＝0时，函数y＝x0的图象是一条直线除去(0,1)点，故A错误．选项B，幂函数的图象都经过(1,1)点，当指数大于0时，都经过(0,0)点，当指数小于0时，不经过(0,0)点，故B错误．选项C，函数y＝x－＝＝，故定义域为(0，＋∞)，故C错误．选项D，由幂函数的性质，幂函数的图象一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故D正确．故选D. 7．已知函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由于函数f(x)＝是定义在R上的减函数，所以，函数y＝(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上为减函数，函数y＝loga(x－1)＋a在区间(2，＋∞)上为减函数，且有2(2a－1)＋1≥loga1＋a，即解得≤a<.因此，实数a的取值范围是.故选D. 8．若幂函数f(x)的图象过点，则函数f(x－1)－[f(x)]2的最大值为(　　) A. B．－ C．－ D．－1 【答案】C 【解析】设幂函数f(x)＝xα，α∈R，因为函数f(x)的图象过点， 所以27α＝33α＝3＝3，所以α＝，故f(x)＝， 所以f(x－1)－[f(x)]2＝－x. 令＝t(t≥0)，所以x＝1＋t2， 则y＝t－(1＋t2)＝－2－(t≥0)， 所以当t＝时，ymax＝－.故选C. 9．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区流感病毒感染累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【解析】∵I(t)＝，所以 I(t*)＝＝0.95K，则e0.23(t*－53)＝19， 所以，0.23(t*－53)＝ln19≈3，解得t*≈＋53≈66.故选C. 10．已知函数f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a＞0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(　　) A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2] C.∪[2，＋∞) D.∪(1,2] 【答案】C 【解析】当0＜a＜1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递减且u＞0恒成立． 所以解得≤a≤.当a＞1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u＞0恒成立，所以解得a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)．故选C. 11．若不等式log2≥(x－1)log23，x∈(－∞，1)恒成立，则实数a的范围是(　　) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，1] 【答案】D 【解析】题设不等式化为log2≥log23x－1，即≥3x－1， 1＋2x≥a·3x，a≤x＋x，易知y＝x＋x是减函数，x<1时，y＞＋＝1， 所以由不等式a≤x＋x在(－∞，1)上恒成立，得a≤1.故选D. 12．已知α与β分别是函数f(x)＝2x＋x－5与g(x)＝log8x3＋x－5的零点，则2α＋log2β的值为(　　) A．4＋log23 B．2＋log23 C．4 D．5 【答案】D 【解析】g(x)＝log8x3＋x－5，化简，得g(x)＝log2x＋x－5，设2x＝5－x，log2x＝5－x，y＝2x，y＝log2x互为反函数， 其图象关于直线y＝x对称，作直线y＝5－x，分别交y＝2x，y＝log2x的图象于A，B两点，P(x，y)为A，B的中点，联立得x＝，由中点坐标公式得α＋β＝5，所以2α＋log2β＝(5－α)＋(5－β)＝10－(α＋β)＝5.故选D. 二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，漏选得2分) 13．幂函数y＝xa2－2a－3是奇函数，且在(0，＋∞)是减函数，则整数a的值可以是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AC 【解析】因为幂函数y＝xa2－2a－3在(0，＋∞)是减函数，则a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3，所以，整数a的可能取值有0,1,2. 当a＝0时，幂函数y＝xa2－2a－3＝x－3为奇函数，合题意； 当a＝1时，函数y＝xa2－2a－3＝x－4为偶函数，不合题意； 当a＝2时，函数y＝xa2－2a－3＝x－3为奇函数，合题意．故选AC. 14．已知函数f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a，若存在x1，x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值可以是(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．3 【答案】AB 【解析】当1≤x≤2时，0≤log2x≤1，即0≤f(x)≤1， 则f(x)的值域为[0,1]， 当1≤x≤2时，2＋a≤g(x)≤4＋a，则g(x)的值域为[2＋a,4＋a]， 若存在x1，x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)， 则[2＋a,4＋a]∩[0,1]≠∅， 若[2＋a,4＋a]∩[0,1]＝∅，则2＋a>1或4＋a<0，解得a>－1或a<－4. 所以当[2＋a,4＋a]∩[0,1]≠∅时，a的取值范围为－4≤a≤－1. 故选AB. 15．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是(　　) A．－1 B．0 C．2 D．3 【答案】CD 【解析】方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当a＝1时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点． 故选CD. 16．已知函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x－2，且f(a)＝g(b)＝0，则下列结论错误的是(　　) A．a>b B．g(a)<0<f(b) C．a＋b＝2 D．g(a)>0>f(b) 【答案】AD 【解析】因为y＝ex，y＝lnx，y＝x－2在其定义域内都是增函数， 所以f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x－2在其定义域内都是增函数． 因为f(0)＝e0＋0－2＝－1<0， f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，且f(a)＝0，所以0<a<1， 又g(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln2＋2－2 ＝ln2>0，且g(b)＝0，所以1<b<2， 所以0<a<1<b<2，即选项A错误； 因为a<b，函数f(x)，g(x)在其定义域内均为增函数， 所以g(a)<g(b)＝0＝f(a)<f(b)， 所以g(a)<0<f(b)，即选项B正确，选项D错误； 令f(x)＝ex＋x－2＝0，g(x)＝lnx＋x－2＝0， 则ex＝2－x，lnx＝2－x， 由于y＝ex，y＝lnx的图象都和直线y＝2－x相交(如图所示)， 且函数y＝ex和函数y＝lnx的图象关于直线y＝x对称，直线y＝2－x和直线y＝x的交点为(1,1)， 所以＝1，即a＋b＝2，即选项C正确． 故选AD. 三、填空题(本大题共4小题，每空4分，共20分) 17．函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域是________． 【答案】(1,3] 【解析】由题意得解得1<x≤3， ∴函数f(x)的定义域为(1,3]，故答案为：(1,3]． 18．已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________. 【答案】－3 【解析】因为f(x)是奇函数，且当x>0时－x<0，f(x)＝－f(－x)＝e－ax.又因为ln2∈(0,1)，f(ln2)＝8， 所以e－aln2＝8，两边取以e为底的对数得－aln2＝3ln2，所以－a＝3，即a＝－3. 故答案为：(1,3]． 19．(1)计算求值：－(π－3)0＋－＋lg 5＋lg 2＋eln 2＋lg 0.01＝________. (2)若2a＝10，b＝log5 10，则＋＝________. 【答案】(1)11　(2)1 【解析】(1)因为－(π－3)0＋－＝－1＋－＝－1＋－2＝－1＋9＝；lg5＋lg2＋eln2＋lg0.01 ＝lg(5×2)＋2＋×(－2)＝lg10＋2－＝1＋2－＝. 所以－(π－3)0＋－＋lg5＋lg2＋eln2＋lg0.01＝＋＝11.故答案为：11. (2)∵2a＝10，∴a＝log210，又b＝log510， ∴＋＝＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.故答案为：1. 20．已知函数f(x)＝，h(x)＝ax－4(a>1)．若∀x1∈[3，＋∞)，∃x2∈[3，＋∞)，使得f(x1)＝h(x2)，则实数a的最大值为________． 【答案】2 【解析】由题意可知，函数f(x)在[3，＋∞)的值域是函数h(x)在[3，＋∞)上值域的子集， f(x)＝＝ ＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，等号成立的条件是x－2＝，即x＝3，即函数f(x)在[3，＋∞)的值域是[4，＋∞)，h(x)＝ax－4(a>1)，是增函数，当x∈[3，＋∞)时，函数h(x)的值域是[a3－4，＋∞)，所以a3－4≤4，解得1<a≤2，所以实数a的最大值是2.故答案为：2. 四、解答题(本大题共2小题，共24分) 21．(本小题满分12分)已知logx2－1(2x2－3x＋1)＝1，求x的值． 【答案】x＝2 【解析】由logx2－1(2x2－3x＋1)＝1⇒x2－1＝2x2－3x＋1⇒x2－3x＋2＝0，解得x＝1(舍去)或x＝2. 22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)． (1)求不等式f(x)>1的解集； (2)若函数g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，若关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]有解，求m的取值范围． 【答案】(1){x|x>0}　(2) 【解析】(1)原不等式可化为2x＋1>2，即2x>1， ∴x>0，所以原不等式的解集为{x|x>0}． (2)由g(x)＝m＋f(x)，∴m＝g(x)－f(x)＝log2， 当1≤x≤2时，≤≤，≤1－≤，m∈. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$