第5练 函数的概念和表示（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第5练　函数的概念和表示 一、单选题(本大题共12个小题，每小题3分，满分36分) 1．已知f＝2x＋3，则f(6)的值为(　　) A．15 B．7 C．31 D．17 【答案】C 【解析】令t＝－1，则x＝2t＋2， 所以f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7，即f(x)＝4x＋7， 所以f(6)＝4×6＋7＝31.故选C. 2．函数f(x)＝＋的定义域是(　　) A．[1，＋∞) 　　　 B．[－1，＋∞) C．(－∞，1)∪(1，＋∞) 　　　 D．(1，＋∞) 【答案】D 【解析】由解析式有意义可得故x>1，故函数的定义域为(1，＋∞)，故选D. 3．函数y＝f(x)图象是如图所示折线段OAB，其中A(1,2)，B(3,0)，函数g(x)＝x·f(x)，则函数g(x)值域为(　　) A．[0,2] B. C. D．[0,4] 【答案】B 【解析】由题图可知，kOA＝＝2，所以直线OA的方程是y＝2x，因为kAB＝＝－1，所以直线AB的方程为 y＝－(x－3)＝－x＋3， 所以f(x)＝ 所以g(x)＝x·f(x)＝ 当0≤x≤1时，g(x)＝2x2在[0,1]上单调递增，此时函数g(x)的值域为[0,2]； 当1<x≤3时，g(x)＝－x2＋3x＝－2＋， 所以当x＝时，函数g(x)取得最大值，当x＝3时，函数g(x)取得最小值0， 此时函数g(x)的值域为.综上可知，函数g(x)的值域为，故选B. 4．已知函数f(x)＝则f(0)－f(log25)＝(　　) A．－ B. C. D. 【答案】B 【解析】∵f(0)＝1－20＝0，f(log25)＝f(log25－1)＝f＝f＝f＝1－2log2 ＝1－＝－，∴f(0)－f(log25)＝0－＝.故选B. 5．设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2,3，…，则f2021(x)＝(　　) A．－ B．x C. D. 【答案】D 【解析】根据题意，f(x)＝，则f2(x)＝f[f(x)]＝＝－，f3(x)＝f[f2(x)]＝＝－， f4(x)＝f[f3(x)]＝x，则fn＋4(x)＝fn(x)，故f2021(x)＝f1(x)＝f(x)＝，故选D. 6．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数的解析式为y＝x2，值域为{4,9}的“孪生函数”共有(　　) A．12个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】C 【解析】满足条件的函数的定义域为{2,3}、{2，－3}、{－2，3}、{－2，－3}、{2，－2，－3}、{2，－2,3}、{2，－3,3}、{－2，－3,3}、{－2,2，－3,3}，共9个．故选C. 7．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 【答案】D 【解析】f(x)是奇函数，x≥0时，f(x)＝ex－1. 当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1， 得f(x)＝－e－x＋1.故选D. 8．函数y＝x＋的图象是(　　) 【答案】C 【解析】对于y＝x＋，当x>0时，y＝x＋1； 当x<0时，y＝x－1. 即y＝故其图象应为C.故选C. 9．已知函数f(x)＝若f(a)≤5，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1,1] B．[－5,5] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－5]∪[5，＋∞) 【答案】A 【解析】①当a≥0时，f(a)＝a(a＋4)，∴a(a＋4)≤5， 解得－5≤a≤1，∴0≤a≤1； ②当a<0时，f(a)＝a(a－4)，∴a(a－4)≤5， 解得－1≤a≤5，∴－1≤a<0. 综上所述，实数a的取值范围是：[－1,1]．故选A. 10．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝(　　) A．3x＋2 B．3x－2 C．2x＋3 D．2x－3 【答案】B 【解析】由题意，设函数f(x)＝kx＋b(k≠0)， 因为2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，可得解得k＝3，b＝－2， 所以f(x)＝3x－2.故选B. 11．已知f＝，则f(x)的解析式为(　　) A. B.(x≠－1) C.(x≠0) D．x＋1 【答案】C 【解析】f＝＝.∴f(x)＝(x≠0)．故选C. 12．已知函数f(x)在定义域R上单调，且x∈(0，＋∞)时均有f(f(x)＋2x)＝1，则f(－2)的值为(　　) A．3 B．1 C．0 D．－1 【答案】A 【解析】根据题意，函数f(x)在定义域R上单调， 且x∈(0，＋∞)时均有f(f(x)＋2x)＝1， 则f(x)＋2x为常数，设f(x)＋2x＝t， 则f(x)＝－2x＋t， 则有f(t)＝－2t＋t＝1，解可得t＝－1， 则f(x)＝－2x－1，故f(－2)＝4－1＝3.故选A. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】AD 【解析】因为函数f(x)＝且f(a)＝4， 所以或解得a＝－4或a＝2. 故选AD. 14．下列函数，值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝x＋1(x>－1) B．y＝x2 C．y＝(x>0) D．y＝ 【答案】AC 【解析】A选项，函数y＝x＋1(x>－1)的值域为(0，＋∞)，正确； B选项，函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，错误； C选项，函数y＝(x>0)的值域为(0，＋∞)，正确； D选项，函数y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，错误．故选AC. 15．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)＝被称为狄利克雷函数．则关于f(x)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的值域为[0,1] B．f(x)的定义域为R C．∀x∈R，f(f(x))＝1 D．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立 【答案】BCD 【解析】因为函数f(x)＝ 所以f(x)的值城为{0,1}，故A不正确； 因为函数f(x)＝ 所以f(x)的定义城为R，故B正确； 因为∀x∈R，f(x)∈{0,1}，所以f(f(x))＝1， 故C正确； 对于任意一个非零有理数T，若x是有理数，则x＋T是有理数，若x是无理数，则x＋T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确． 故选BCD. 16．已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4) C．f(1)＝3 D．若f(x)＝3，则x的值是 【答案】BD 【解析】已知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误； 当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x＝1时，f(1)＝12＝1，故C错误；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1<x<2时，x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故D正确．故选BD. 三、填空题(本大题共3小题，每空4分，共16分) 17．函数f(x)的定义域为(－3,1)，则y＝f(2x＋1)－1的定义域为________． 【答案】(－2,0) 【解析】∵f(x)的定义域为(－3,1)，∴y＝f(2x＋1)－1中，－3<2x＋1<1，解得－2<x<0， 故y＝f(2x＋1)－1的定义域为(－2,0)．故答案为：(－2,0)． 18．函数y＝在x∈[0，＋∞)上的值域是________，对称中心为________． 【答案】[1,2)　(－1,2) 【解析】当x≥0时，函数y＝＝2－在[0，＋∞)上是增函数，故当x＝0时，函数取得最小值为1， 又y<2，故函数f(x)的值域为[1,2)；对称中心为(－1，2)．故答案为：[1,2)；(－1,2)． 19．函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________． 【答案】(－2,2) 【解析】由函数f(x)＝的定义域为R， 得x2＋ax＋1＝0无解，∴Δ＝a2－4<0， 解得－2<a<2.故答案为：(－2,2)． 四、解答题(本大题共2小题，共32分) 20．(本小题满分16分) (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)的解析式． (2)已知f＝x＋1，求f(x)的解析式． 【答案】(1)f(x)＝x＋3　(2)f(x)＝x2－2x＋2(x≥1) 【解析】(1)因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝kx＋b，(k≠0)又因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，所以3[k(x＋1)＋b]－(kx＋b)＝2x＋9，整理得2kx＋3k＋2b＝2x＋9， 故解得所以f(x)＝x＋3； (2)令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2，所以f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2(t≥1)， 即f(x)＝x2－2x＋2(x≥1)． 21．(本小题满分16分)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋4x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在区间[－4，a](a>－4)上的最小值． 【答案】(1)f(x)＝　(2)答案见解析 【解析】(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－f(－x)，设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－x2－4x， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－4x)＝x2＋4x， f(x)＝ (2)可画出分段函数的图象(如图所示)，令f(x)＝－4，可解得x1＝－2，x2＝2＋2. 结合图象可知： ①当－4<a≤－2时，f(x)min＝f(a)＝a2＋4a； ②当－2<a≤2＋2时，f(x)min＝f(－2)＝－4； ③当a>2＋2时，f(x)min＝f(a)＝a2＋4a. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$