第4练 复数的概念和四则运算（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第4练　复数的概念和四则运算 一、单选题(本大题共12个小题，每小题3分，满分36分) 1．在复平面内，复数1＋i的共轭复数所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】复数1＋i的共平面复数是1－i，对应的点的坐标为(1，－1)． ∴在复平面内，复数1＋i的共平面复数所对应的点位于第四象限，故选D. 2．已知复数z满足＝1－i，则＝(　　) A．－＋i B．－－i C.＋i D.－i 【答案】D 【解析】因为＝1－i，所以，z＝＝＝＋i，因此，＝－i.故选D. 3．设(1＋i)x＝1＋yi，其中i为虚数单位，x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　) A．1 B. C. D．2 【答案】B 【解析】因为(1＋i)x＝1＋yi，所以解得 所以|x＋yi|＝＝.故选B. 4．若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C. D．2 【答案】C 【解析】因为z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝＝.故选C. 5．已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】C 【解析】因为(a－1)＋(a－2)i为实数，所以a－2＝0， ∴a＝2，故选C. 6．若z(1＋i3)＝i，则在复平面内复数z对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为z(1－i)＝i，所以z＝＝＝，故z对应的点位于复平面内第二象限．故选B. 7．已知a∈R，i为虚数单位，复数z＝＋i，若|z|<，则实数a的取值范围为(　　) A．(－3，－1) B．(－1,3) C．(－3,1) D．(1,3) 【答案】B 【解析】z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i. 由|z|<，得<，整理得a2－2a－3<0，解得－1<a<3，所以实数a的取值范围为(－1,3)．故选B. 8．已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为，下列说法正确的是(　　) A．如果z1＋z2∈R，则z1，z2互为共轭复数 B．如果复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1·z2＝0 C．如果z2＝，则|z|＝1 D．|z1z2|＝|z1||z2| 【答案】D 【解析】对于A，设z1＝1＋i，z2＝2－i，z1＋z2＝3∈R，但z1，z2不互为共轭复数，故A错误； 对于B，设z1＝a1－b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． 由|z1＋z2|＝|z1－z2|，得|z1＋z2|2＝(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2＝|z1－z2|2＝(a1－a2)2＋(b1－b2)2， 则a1a2＋b1b2＝0，而z1·z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i＝2a1a2＋(a1b2＋a2b1)i不一定等于0，故B错误； 对于C，当z＝0时，有z2＝，故C错误； 对于D，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则|z1z2|＝＝＝＝|z1||z2|，D正确． 故选D. 9．若z＝1－i，则＝(　　) A．1 B. C．2 D. 【答案】D 【解析】由题意，＝＝＝－1＋2i， ∴＝＝.故选D. 10．若复数z＝，则|z|＝(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题得z＝＝＝＝，所以|z|＝＝＝.故选C. 11．已知z1，z2是方程x2－2x＋2＝0的两个复根，则|z－z|＝(　　) A．2 B．4 C．2i D．4i 【答案】B 【解析】已知z1，z2是方程x2－2x＋2＝0的两个复根，所以z＝＝＝1±i， 则设z1＝1＋i，z2＝1－i，所以|z－z|＝|(z1＋z2)(z1－z2)|＝|2×2i|＝|4i|＝4，故选B. 12．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　) A．2 B．－2i C.－3i D．3＋i 【答案】B 【解析】∵由题意知复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，∴旋转后的向量为(3－i)cos－＋isin－＝＝－－＋＝－2i.故选B. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．已知复数z＝，则正确的是(　　) A．z的实部为－1 B．z在复平面内对应的点位于第四象限 C．z的虚部为－i D．z的共轭复数为1＋i 【答案】BD 【解析】因为z＝＝＝1－i，所以z的实部为1，虚部为－1， 在复平面内对应的点为(1，－1)，在第四象限，共轭复数为＝1＋i，故AC错误，BD正确．故选BD. 14．下列命题中正确的有(　　) A．若复数z满足∈R，则z∈R B．若复数z满足z2∈R，则z∈R C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝ D．若复数z∈R，则∈R 【答案】AD 【解析】对于A，设复数z＝a＋bi，(a，b∈R)，可得＝＝－i， 因为∈R，可得b＝0，所以z＝a∈R，所以A正确； 对于B，取z＝i，可得z2＝－1，所以B不正确； 对于C，例如z1＝1＋i，z2＝2－2i，则z1z2＝(1＋i)×2(1－i)＝4∈R，此时z1≠，所以C不正确； 对于D，设z＝a＋bi，(a，b∈R)，由z∈R，可得b＝0，即z＝a，可得＝a∈R，所以D正确．故选AD. 15．若复数z1＝2i－3，z2＝1－i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是(　　) A．z1在复平面内对应的点位于第三象限 B．若z1＋a(a∈R)是纯虚数，那么a＝3 C．z1·z2＝－1＋5i D．复数z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根，则|z|＝ 【答案】BCD 【解析】z1＝2i－3＝－3＋2i，对应的坐标为(－3,2)，对应的点位于第二象限，选项A错误； z1＋a＝2i－3＋a，∵z1＋a为纯虚数，∴a＝3，选项B正确； z1·z2＝(2i－3)(1－i)＝2i－2i2－3＋3i＝－1＋5i，选项C正确； 方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝－4，z＝＝－1±i，所以|z|＝＝，选项D正确．故选BCD. 16．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)(i为虚数单位)，则下列说法正确的是(　　) A．“z∈R”的充要条件是“z＝” B．若a＝b＝1，则z3的虚部为2 C．若a＝0，b＝1，则zk＝z＋z2＋z3＋…＋z2022＝1 D．方程z2－5|z|＋6＝0在复数集中有6个解 【答案】ABD 【解析】若z∈R，则z＝a，此时z＝，若z＝，则a＋bi＝a－bi，即b＝0，故z＝a∈R，选项A正确； z＝1＋i，则z3＝(1＋i)3＝－2＋2i，故虚部为2，选项B正确； z＝i，则z＋z2＋z3＋z4＝i－1－i＋1＝0，故zk＝505×(z＋z2＋z3＋z4)＋z2021＋z2022＝z＋z2＝－1＋i，选项C错误；由z2－5|z|＋6＝a2－b2－5＋6＋2abi＝0，则若a＝0，则b2＋5|b|－6＝(|b|＋6)(|b|－1)＝0，可得b＝±1，共2个解，若b＝0，则a2－5|a|＋6＝(|a|－2)(|a|－3)＝0，可得a＝±2或a＝±3，共4个解，所以原方程共有6个解，选项D正确．故选ABD 三、填空题(本大题共4小题，每空4分，共20分) 17．若复数z满足z·＋i＝，则z＝________. 【答案】－±i 【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，原式化为a2＋b2＋2ai＝1－i，则解得 ∴z＝－±i.故答案为：－±i. 18．已知复数z＝(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于第________象限． 【答案】一 【解析】z＝＝＝＝2＋i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,1)， 故复数z在复平面内对应的点位于第一象限．故答案为：一． 19．已知2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，则实数p，q的值分别为________． 【答案】12,26 【解析】因为2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，所以－2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的另一个根，而且⇒故答案为：12,26. 20．设复数z1＝1－i，z2＝cosθ＋isinθ，其中θ∈[0，π]，若复数z＝·z2为实数，则θ＝________，|z1＋z2|的范围为________________． 【答案】　　[－1，] 【解析】因为z1＝1－i，所以＝1＋i， 所以z＝·z2＝(1＋i)(cosθ＋isinθ)＝(cosθ－sinθ)＋i(cosθ＋sinθ)， 因为复数z为实数，所以cosθ＋sinθ＝0，即sinθ＋＝0， 所以θ＋＝kπ(k∈Z)，因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 因为z1＋z2＝(1＋cosθ)＋i(sinθ－1)， 所以|z1＋z2|＝ ＝＝， 因为θ∈[0，π]，θ－∈－，， 所以sinθ－∈，1]， 所以|z1＋z2|∈，. 故答案为：；[－1，]． 四、解答题(本大题共2小题，共28分) 21．(本小题满分14分) 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在： (1)第三象限？ (2)直线x－y－3＝0上？ 【答案】(1)－3<x<2　(2)x＝－2 【解析】因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数． (1)由题意可得即 解得－3<x<2，即当－3<x<2时，点Z在第三象限． (2)z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应点 Z(x2＋x－6，x2－2x－15)， 由题意可得x2＋x－6－(x2－2x－15)－3＝0，整理可得3x＋6＝0，解得x＝－2， 即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上． 22．(本小题满分14分)在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,2＋i，－1＋3i. (1)求，及||，||； (2)设∠OCB＝θ，求cosθ. 【答案】(1)＝(1,4)i，||＝，＝(3，－2)i， ||＝　(2)－ 【解析】(1)因为＝＋，所以所对应的复数z1＝(2＋i)＋(－1＋3i)＝1＋4i， 所以＝(1,4)，||＝＝， 因为＝－， 所以所对应的复数z2＝(2＋i)－(－1＋3i)＝3－2i.所以＝(3，－2)，||＝＝. (2)由题知θ＝<，>，因为＝＝(2,1)， ＝－＝(1，－3)， 所以·＝2×1＋1×(－3)＝－1， ||＝＝，||＝＝， 所以cosθ＝cos<，>＝＝－. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$