第3练 一元二次函数与一元二次方程、不等式（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第3练　一元二次函数与一元二次方程、不等式 一、单选题(本大题共12个小题，每小题3分，满分36分) 1．不等式x(4－x)<3的解集为(　　) A．{x|x<1或x>3} B．{x|x<0或x>4} C．{x|1<x<3} D．{x|0<x<4} 【答案】A 【解析】不等式x(4－x)<3化简为x2－4x＋3>0，所以(x－1)(x－3)>0， 解得x<1或x>3.故选A. 2．不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　) A. B．{x|x＞1} C．{x|x＜1或x＞2} D. 【答案】D 【解析】由题意知，2x2－x－1＞0⇒(2x＋1)(x－1)＞0，所以原不等式的解集为，故选D. 3．若不等式x2－2x－m<0在x∈上有解，则实数m的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C. D．(0，＋∞) 【答案】B 【解析】因为不等式x2－2x－m<0在x∈上有解，所以不等式m>x2－2x在x∈上有解， 令t＝x2－2x＝(x－1)2－1，则tmin＝－1，所以m>－1，所以实数m的取值范围是(－1，＋∞)，故选B. 4．若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1,3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 【答案】A 【解析】由题意∴a2＋1<2a＋4，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.故选A. 5．关于x的不等式x2＋ax－3＜0，解集为(－3,1)，则不等式ax2＋x－3＜0的解集为(　　) A．(1,2) B．(－1,2) C. D. 【答案】D 【解析】由题意知，x＝－3，x＝1是方程x2＋ax－3＝0的两根，可得－3＋1＝－a，解得a＝2； 所以不等式为2x2＋x－3＜0，即(2x＋3)(x－1)＜0，解得－<x<1，所以不等式的解集为－，1. 故选D. 6．已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1，∀x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤－ B．a<－1 C．－1<a≤ D．a≤－1 【答案】B 【解析】f(x)＝4ax2＋4x－1<0，即4ax2<－4x＋1， 当x＝0时，不等式恒成立，a∈R；当x≠0时，x2>0，则4a<min，令t＝∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 则y＝－4t＋t2＝(t－2)2－4∈[－4，＋∞)，即4a<－4，解得a<－1.故选B. 7．已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4<0的解集为，其中m<0，则＋的最小值为(　　) A．－2 B．1 C．2 D．8 【答案】C 【解析】ax2＋2bx＋4<0的解集为，则ax2＋2bx＋4＝0的两根为m，，∴m·＝，∴a＝1，m＋＝－2b，则2b＝－m＋≥4，即b≥2，＋＝＋≥2，当且仅当b＝4时取“＝”，故选C. 8．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是(　　) A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2,3) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 【答案】A 【解析】f(1)＝1－4＋6＝3， 当x≥0时，x2－4x＋6>3，所以0≤x<1或x>3； 当x<0时，x＋6>3，所以－3<x<0， 所以不等式f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A. 9．若关于x的不等式(ax－1)2<x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是(　　) A．－<a≤－或<a≤ B．－<a≤－或≤a< C．－≤a<－或<a≤ D．－≤a<－或≤a< 【答案】B 【解析】∵不等式(ax－1)2<x2，即[(a＋1)x－1]·[(a－1)x－1]<0恰有2个整数解， ∴(a＋1)(a－1)>0，解得a>1或a<－1. 当a>1时，不等式的解集为， 易知∈，∴2个整数解为1,2， ∴2<≤3，即2a－2<1≤3a－3，解得≤a<； 当a<－1时，不等式的解集为， 易知∈，∴2个整数解为－1，－2， ∴－3≤<－2，即－2(a＋1)<1≤－3(a＋1)，解得－<a≤－. 综上所述，实数a的取值范围是－<a≤－或≤a<.故选B. 10．若两个正实数x，y满足＋＝1，且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B．(－∞，－4)∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 【答案】D 【解析】∵正实数x，y满足＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＋＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝即x＝4且y＝2时x＋2y取最小值8， ∵x＋2y>m2＋2m恒成立，∴8>m2＋2m，解关于m的不等式可得－4<m<2，故选D. 11．若a，b∈R且ax＋b>0的解集为(－∞，－3)，则关于x的不等式bx2－(a＋2b)x－2b<0的解集为(　　) A. B．(－∞，－3)∪ C. D.∪(3，＋∞) 【答案】D 【解析】由ax＋b>0的解集为(－∞，－3)，可得－＝－3，且a<0，所以b＝3a， 不等式bx2－(a＋2b)x－2b<0可变为3ax2－7ax－6a<0， 即3x2－7x－6>0，解得x<－或x>3， 所以bx2－(a＋2b)x－2b<0的解集为∪(3，＋∞)，故选D. 12．设实数x，y满足5x2－4xy－y2＝5，则2x2＋y2的最小值为(　　) A．0 B．2 C. D. 【答案】C 【解析】设2x2＋y2＝m，则y2＝m－2x2， ∵5x2－4xy－y2＝5，∴4xy＝5x2－y2－5， ∴16x2y2＝(5x2－y2－5)2，∴16x2(m－2x2) ＝(－m－5＋7x2)2，∴81x4－(30m＋70)x2＋(m＋5)2＝0， 设x2＝t，∴81t2－(30m＋70)t＋(m＋5)2＝0， ∴Δ＝(30m＋70)2－4×81(m＋5)2≥0， 即576m2＋960m－3200≥0，解得m≥或m≤－(舍)， ∴2x2＋y2的最小值是，故选C. 二、多选题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，漏选得2分) 13．下列四个不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋＞0 C．－2x2＋3x－4＜0 D．x2＋6x＋10＞0 【答案】CD 【解析】对于C项，不等式可化为x2－x＋2＞0，所以(x－)2>－，所以－2x2＋3x－4＜0的解集为R；对于D项，不等式可化为(x＋3)2＞－1，所以x2＋6x＋10＞0的解集为R；对于A、B项，均不可得解集为R.故选CD. 14．已知关于x的不等式ax2＋bx＋3>0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是(　　) A．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|x>3} B．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是R C．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是∅ D．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|－1<x<3} 【答案】BD 【解析】选项A，假设结论成立，则解得则不等式为－x＋3>0，解得x<3，与解集是{x|x>3}矛盾，故选项A错误； 选项B，当a＝1，b＝0时，不等式x2＋3>0恒成立，则解集是R，故选项B正确； 选项C，当x＝0时，不等式ax2＋bx＋3＝3>0，则解集不可能为∅，故选项C错误； 选项D，假设结论成立，则解得符合题意，故选项D正确，故选BD. 15．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的值可为(　　) A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】ABC 【解析】由汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L， ∴＝11.5，解得k＝100，故每小时油耗为－20， 由题意得－20≤9，解得45≤x≤100， 又60≤x≤120，故60≤x≤100，所以速度x的取值范围为[60,100]．故选ABC. 三、填空题(本大题共3小题，每空3分，共14分) 16．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是________________． 【答案】 【解析】∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴，故答案为. 17．若关于x的不等式mx2－mx＋1<0的解集不是空集，则m的取值范围是________． 【答案】m<0或m>4 【解析】若m＝0，则原不等式等价于1<0，此时不等式的解集为∅，所以不成立，即m≠0. 若m≠0，要使不等式mx2－mx＋1<0的解集不是∅， 则：①若m>0，有Δ＝m2－4m>0，解得m>4. ②若m<0，则满足条件． 综上所述，满足条件的m的取值范围是m<0或m>4.故答案为：m<0或m>4. 18．已知集合A＝{x|x2－2x＋a≥0}，B＝{x|x2－2x＋a＋1<0}，若B＝∅，则实数a的取值范围为________；若A∪B＝R，则实数a的取值范围为________． 【答案】a≥0　a≥1　 【解析】若B＝∅，则a≥0； 若A∪B＝R，设f(x)＝x2－2x＋a，g(x)＝x2－2x＋a＋1，则将f(x)的图象向上平移1个单位即为g(x)的图象，当f(x)的图象与x轴有两个交点时，如图： 由图可知A＝(－∞，a]∪[d，＋∞)，B＝(b，c)或 B＝∅，此时A∪B≠R，即f(x)的图象与x轴最多一个交点，∴Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.故答案为：a≥0；a≥1. 四、解答题(本大题共2小题，共35分) 19．(本小题满分20分) (1)解不等式－x2＋4x＋5<0； (2)解不等式>1. 【答案】(1){x|x<－1或x>5}　(2) 【解析】(1)由－x2＋4x＋5<0得x2－4x－5>0， 即(x－5)(x＋1)>0，解得x<－1或x>5， 所以不等式－x2＋4x＋5<0的解集为{x|x<－1或x>5}； (2)由>1得>0，即>0，即<0，解得－2<x<－，即不等式>1的解集为. 20．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝log2(x2＋1)． (1)解关于x的方程[f(x)＋1][f(x)－1]＝3； (2)设函数g(x)＝2f(x)＋－2b(x＋x－1)－1＋b2(b∈R)，若g(x)在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值． 【答案】(1)　(2)0或 【解析】(1)∵f(x)＝log2(x2＋1)≥0. ∴由方程[f(x)＋1][f(x)－1]＝3可得f(x)＝2， ∴log2(x2＋1)＝2，∴x＝±， ∴方程[f(x)＋1][f(x)－1]＝3的解集为. (2)∵2f(x)＝x2＋1，∴函数g(x)＝2f(x)＋－2b(x＋x－1)－1＋b2＝x2＋－2b＋b2＝2－2b＋b2－2，令t＝x＋(1≤x≤2)，则t∈，所以g(x)＝h(t)＝t2－2bt＋b2－2＝(t－b)2－2，t∈. ①当b≥时，g(x)在1≤x≤2上的最小值为h＝2，即4b2－20b＋9＝0，解得b＝或(舍)； ②当b≤2时，g(x)在1≤x≤2上的最小值为h(2)＝2，即b2－4b＋2＝2，解得b＝0或4(舍)； ③当2<b<时，g(x)在1≤x≤2上的最小值为h(b)＝－2≠2.综上，b的值为0或. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$