第2练 等式与不等式、基本不等式（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第2练　等式与不等式、基本不等式 一、单选题(本大题共12个小题，每小题3分，满分36分) 1．若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式成立的是(　　)　　　　　　 A.<1 B.＋>2 C.< D．a2＋a<b2＋b 【答案】C 【解析】取a＝－2，b＝－1，满足a<b，而＝2>1，A不成立；取a＝－2，b＝1，满足a<b，而＋＝－＋(－2)＝－<2，B不成立；因－＝<0，即有<，C成立；取a＝－2，b＝－1，满足a<b，而a2＋a＝2，b2＋b＝0，即a2＋a>b2＋b，D不成立．故选C. 2．已知a，b为实数，P＝a2＋4a＋1，Q＝－b2＋2b－4，则(　　) A．P>Q B．P<Q C．P≥Q D．P≤Q 【答案】C 【解析】因为P－Q＝a2＋b2＋4a－2b＋5＝(a＋2)2＋(b－1)2≥0， 所以P－Q≥0，当且仅当a＝－2，b＝1时取等号，故选C. 3．已知p：a>b>0，q：<，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当a>b>0时，a2>b2>0，所以<，所以充分性满足， 当<时，取a＝－2，b＝1，此时a>b>0不满足，所以必要性不满足， 所以p是q的充分不必要条件，故选A. 4．若实数2是不等式3x－a－4<0的一个解，则a可取的最小正整数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】∵实数2是不等式3x－a－4<0的一个解， ∴代入得6－a－4<0，解得a>2，∴a可取的最小正整数是3，故选C. 5．若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当a>0，b>0时，a＋b≥2，则当a＋b≤4时，有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a＝1，b＝4时，满足ab≤4，但此时a＋b＝5>4，必要性不成立．综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件． 6．a，b为实数，下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋b2≤2ab B．a2＋b2≥－2ab C．a＋b≥－2 D．a＋b≤2 【答案】B 【解析】由基本不等式可知a2＋b2≥2ab，故A不正确； 由a2＋b2≥－2ab，可得a2＋b2＋2ab≥0，即(a＋b)2≥0恒成立，故B正确； 当a＝－1，b＝0时，不等式不成立，故C不正确； 当a＝0，b＝1时，不等式不成立，故D不正确．故选B. 7．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如下图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2(a>0，b>0) C.≤(a>0，b>0) D.≤(a>0，b>0) 【答案】D 【解析】设AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径为r＝OF＝AB＝，又由OC＝OB－BC＝－b＝， 在直角△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝2＋2＝，因为FO≤FC，所以≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D. 8．设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x的最大值为(　　) A．1 B. C. D. 【答案】C 【解析】因为x2＋＝1，所以y2＝2－2x2≥0，解得x∈[0,1]，故x＝x＝x＝≤×＝，当且仅当2x2＝3－2x2，即x＝时，等号成立，故x的最大值为. 9．已知正实数a，b满足＋＝6，则(a＋1)(b＋9)的最小值是(　　) A．8 B．16 C．32 D．36 【答案】B 【解析】因为正实数a，b满足＋＝6， 所以6＝＋≥2，即≥1，当且仅当＝，即a＝，b＝3时取等号． 因为＋＝6，所以b＋9a＝6ab，所以(a＋1)(b＋9)＝9a＋b＋ab＋9＝7ab＋9≥7＋9＝16. 故(a＋1)(b＋9)的最小值是16.故选B. 10．关于x的不等式(x－a)(x－3)>0成立的一个充分不必要条件是－1<x<1，则a的取值范围是(　　) A．a≤－1 B．a<0 C．a≥2 D．a≥1 【答案】D 【解析】由题可知(－1,1)是不等式(x－a)(x－3)>0的解集的一个真子集． 当a＝3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为{x|x≠3}，此时(－1,1){x|x≠3}；当a>3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为(－∞，3)∪(a，＋∞)，∵(－1,1)(－∞，3)，合乎题意；当a<3时，不等式(x－a)(x－3)>0的解集为(－∞，a)∪(3，＋∞)，由题意可得(－1,1)(－∞，a)，此时1≤a<3.综上所述，a≥1.故选D. 11．若正数x、y满足x＋2y＝2xy，若不等式x＋2y≥m恒成立，则m的最大值等于(　　) A．4 B. C．4 D．8 【答案】A 【解析】已知正数x、y满足x＋2y＝2xy，可得1＝＝＋， 所以，x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当x＝2y时，等号成立，所以，x＋2y的最小值为4，∴m≤4.因此，实数m的最大值为4.故选A. 12．正数a，b满足9a＋b＝ab，若不等式a＋b≥－x2＋2x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，6] D．[6，＋∞) 【答案】A 【解析】∵9a＋b＝ab，∴＋＝1，且a，b为正数， ∴a＋b＝(a＋b)＋＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当＝，即a＝4，b＝12时，(a＋b)min＝16， 若不等式a＋b≥－x2＋2x＋18－m对任意实数x恒成立，则16≥－x2＋2x＋18－m对任意实数x恒成立， 即m≥－x2＋2x＋2对任意实数x恒成立， ∵－x2＋2x＋2＝－(x－1)2＋3≤3，∴m≥3，故选A. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特引入“<”和“>”符号，对不等式的发展影响深远．下列说法正确的是(　　) A．若a>b，c<0，则a＋c>b＋c B．若a>b>0，则> C．若ac>bc，则a>b D．若a<b，则a2<b2 【答案】AB 【解析】选项A，不等式两边加上同一个数，不等号方向不改变，故A正确． 选项B，由基本不等式知B选项正确． 选项C，当c<0时，由ac>bc得到a<b，所以C错误． 选项D，a＝－1，b＝1，a2＝b2，所以D选项错误．故选AB. 14．已知正数a，b满足a＋2b＝1，则(　　) A．ab有最大值 B.＋有最小值8 C.＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值 【答案】ACD 【解析】a·2b≤2＝，则ab≤当且仅当a＝，b＝时取等号，A正确； ＋＝(a＋2b)＝＋＋5≥4＋5＝9，当且仅当a＝b＝时取等号，B错误； ＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，C正确； a2＋b2＝(1－2b)2＋b2＝5b2－4b＋1 ＝52＋，故最小值为，D正确．故选ACD. 15．下列说法正确的有(　　) A．y＝的最小值为2 B．已知x>1，则y＝2x＋－1的最小值为4＋1 C．若正数x，y，x＋2y＝3xy，则2x＋y的最大值为3 D．设x，y为实数，若9x2＋y2＋xy＝1，则3x＋y的最大值为 【答案】BD 【解析】对于A选项，当x<0时，y＝<0，故A选项错误． 对于B选项，当x>1时，x－1>0， 则y＝2x＋－1＝2(x－1)＋＋1≥2＋1＝4＋1， 当且仅当x＝＋1时，等号成立，故B选项正确． 对于C选项，若正数x，y满足x＋2y＝3xy， 则3＝＝＋， 2x＋y＝(2x＋y)＋＝5＋＋≥5＋2＝3， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C选项错误． 对于D选项，1＝9x2＋y2＋xy＝(3x＋y)2－·3x·y≥(3x＋y)2－·＝(3x＋y)2， 所以(3x＋y)2≤，可得－≤3x＋y≤， 当且仅当y＝3x时，等号成立，故3x＋y的最大值为，D选项正确．故选BD. 16．已知a>b≥2，则(　　) A．b2<3b－a B．a3＋b3>a2b＋ab2 C．ab>a＋b D.＋>＋ 【答案】BC 【解析】a>b≥2， 令a＝3，b＝2,4>3，故A不成立； a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)2(a＋b)>0，故B成立； 由ab－a－b＝a(b－1)－b＝(b－1) ＝(b－1)>0，故C成立， ＋－－＝≥0，故D不成立，故选BC. 三、填空题(本大题共4小题，每空4分，共20分) 17．二次函数y＝ax2＋4x＋c的最小值为0，则ac＝________；＋的最小值为________． 【答案】4　1 【解析】由二次函数y＝ax2＋4x＋c的最小值为0，则42－4ac＝0，解得ac＝4， 所以＋≥2＝2＝1， 当且仅当a＝c时取等号，故答案为：4；1 18．若ab>0，且a≠b，则＋与2的大小关系是________． 【答案】＋>2 【解析】由题意，因为ab>0且a≠b，所以>0，>0，且≠， 由基本不等式可得＋≥2＝2，当且仅当＝时等号成立， 又因为≠，所以等号不成立，所以＋>2.故答案为：＋>2. 19．已知a，b，c均为正实数，且≥，≥，≥，那么＋＋的最大值为________． 【答案】4 【解析】因为a，b，c均为正实数，所以由题可得 0<≤3,0<≤4,0<≤5，即0<＋≤3,0<＋≤4,0<＋≤5，三式相加得0<3≤12，所以0<＋＋≤4， 所以＋＋的最大值为4，故答案为：4. 20．已知x，y为正实数，则＋的最小值为________． 【答案】6 【解析】由题得＋＝＋， 设＝t(t>0)，则f(t)＝t＋＝t＋2＋－2≥2－2＝8－2＝6. 当且仅当t＝2时取等．所以＋的最小值为6.故答案为：6. 四、解答题(本大题共2小题，共28分) 21．(本小题满分14分) (1)把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？ (2)把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？ 【答案】(1)当x＝y＝7时，x＋y取得最小值14. (2)当x＝y＝6时，xy取得最大值36. 【解析】(1)设x>0，y>0，xy＝49，由均值不等式， 得x＋y≥2＝14，当且仅当x＝y时，取等号． 由得x＝y＝7，即当x＝y＝7时，x＋y取得最小值14. (2)设x>0，y>0，x＋y＝12，由均值不等式， 得x·y≤2＝2＝36. 当且仅当x＝y时，取等号．由得x＝y＝6.即当x＝y＝6时，xy取得最大值36. 22．(本小题满分14分)若a>0，b>0，且a＋b＝(ab). (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝5？请说明理由． 【答案】(1)4　(2)不存在，理由见解析 【解析】(1)由(ab)＝a＋b≥2，得ab≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立， 故a3＋b3≥2≥4，当且仅当a＝b＝时，等号成立； (2)由(1)知，2a＋3b≥2·≥4， 由于4>5，所以不存在a，b，使得2a＋3b＝5. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$