第1练 集合与常用逻辑用语（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·专题提升训练

第1练　集合与常用逻辑用语 一、单选题(本大题共12个小题，每小题3分，满分36分) 1．已知集合M＝{x|x2＋x＝0}，则(　　)　　　　　　　　　　　　 A．{0}∈M B．∅∈M C．－1∉M D．－1∈M 【答案】D 【解析】因为集合M＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，所以－1∈M，故选D. 2．设集合M＝{1,3,5,7,9}，N＝{x|2x>7}，则M∩N＝(　　) A．{7,9} B．{5,7,9} C．{3,5,7,9} D．{1,3,5,7,9} 【答案】B 【解析】N＝，故M∩N＝{5,7,9}，故选B. 3．荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】荀子的名言表明“积跬步”未必能“至千里”，但要“至千里”必须要“积跬步”，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．故选B. 4．已知集合M＝{x|0<x<4}，N＝，则M∪N＝(　　) A. B. C．{x|0<x<4} D．{x|0<x≤5} 【答案】D 【解析】由题可知M＝{x|0<x<4}， N＝，所以M∪N＝{x|0<x≤5}，故选D. 5．命题“∀x∈[1,2]，2x2－a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a<1 B．a≤2 C．a≤3 D．a≤4 【答案】A 【解析】由∀x∈[1,2]，2x2－a≥0可得a≤2x2， 对∀x∈[1,2]恒成立，等价于a≤(2x2)min＝2， 因为a<1可以推出a≤2，但a≤2不能推出a<1， 所以命题“∀x∈[1,2]，2x2－a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是a<1.故选A. 6．已知集合M＝{x|x>1}，N＝{x|y＝lg(3x－x2)}，则M∪N为(　　) A．[3，＋∞) B．(1，＋∞) C．(1,3) D．(0，＋∞) 【答案】D 【解析】由3x－x2>0，解得0<x<3， ∴N＝{x|y＝lg(3x－x2)}＝{x|3x－x2>0}＝(0,3)， ∴M∪N＝(0，＋∞)，故选D. 7．若集合A＝{1，m2}，集合B＝{2,4}，若A∪B＝{1,2,4}，则实数m的取值集合为(　　) A. B. C．{－2,2} D. 【答案】D 【解析】因为A＝{1，m2}，B＝{2,4}，A∪B＝{1,2,4}，所以m2＝2或m2＝4， 解得m＝±或m＝±2，所以实数m的取值集合为.故选D. 8．已知命题p：a＝0，q：f(x)＝x2＋|x＋a|(x∈R)为偶函数，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】f(x)＝x2＋|x＋a|(x∈R)为偶函数，则f(－x)＝f(x)恒成立， x2＋|－x＋a|＝x2＋|x＋a|，|x－a|＝|x＋a|，(x－a)2＝(x＋a)2，整理得ax＝0，所以a＝0. 所以p是q的充分必要条件．故选C. 9．已知集合M＝{x|x2－3x＋2≤0}，N＝{x|x>0}，则(　　) A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N＝∅ D．M∪N＝R 【答案】B 【解析】因为M＝{x|x2－3x＋2≤0}，解不等式得 M＝{x|1≤x≤2}，且N＝{x|x>0}， 所以M⊆N，M∩N＝{x|1≤x≤2}≠∅， M∪N＝{x|x>0}．故选B. 10．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) 【答案】C 【解析】集合A表示函数y＝2x的值域， 故A＝(0，＋∞)．由x2－1<0，得－1<x<1， 故B＝(－1,1)． 所以A∪B＝(－1，＋∞)．故选C. 11．已知集合S＝，T＝，则S∩T＝(　　) A．∅ B．S C．T D．Z 【答案】C 【解析】任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1， 其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T＝T.故选C. 12．设集合X＝{a1，a2，a3，a4}⊆N*，定义：集合Y＝{ai＋aj|ai，aj∈X，i，j∈N*，i≠j}，集合S＝{x·y|x，y∈Y，x≠y}，集合T＝.分别用|S|，|T|表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是(　　) A．|S|＝6 B．|S|＝16 C．|T|＝9 D．|T|＝16 【答案】D 【解析】不妨设1≤a1<a2<a3<a4，则ai＋aj的值为a1＋a2，a1＋a3，a1＋a4，a2＋a3，a2＋a4，a3＋a4， 显然，a1＋a2<a1＋a3<a1＋a4<a2＋a4<a3＋a4，所以集合Y中至少有以上5个元素， 不妨设x1＝a1＋a2，x2＝a1＋a3，x3＝a1＋a4，x4＝a2＋a4，x5＝a3＋a4，则显然x1x2<x1x3<x1x4<x1x5<x2x5<x3x5<x4x5，则集合S中至少有7个元素，所以|S|＝6不可能，故排除A选项；其次，若a1＋a4≠a2＋a3，则集合Y中至多有6个元素，则|S|max＝15<16，故排除B项；对于集合T，取X＝{1,3,5,7}，则Y＝{4,6,8,10,12}， 此时T＝ ，|T|＝16，故D项正确；对于C选项而言，∀i≠j，xi≠xj，则与一定成对出现，<0，所以|T|一定是偶数，故C项错误．故选D. 二、多选题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，漏选得2分) 13．下列说法正确的有(　　) A．∀x∈R，<1 B．∃x∈R，<x＋1 C．若p：∃n∈N，n2>2n，则綈p：∀n∈N，n2≤2n D．若p：∀n>4,2n>n2，则綈p：∃n≤4,2n≤n2 【答案】BC 【解析】对于A选项，取x＝0，则＝1，A错； 对于B选项，取x＝－1，则<x＋1成立，B对； 对于C选项，由存在量词命题的否定可知，若p：∃n∈N，n2>2n，则綈p：∀n∈N，n2≤2n，C对； 对于D选项，由全称量词命题的否定可知，若p：∀n>4，2n>n2，则綈p：∃n>4,2n≤n2，D错． 故选BC. 14．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(　　) A．A∩B＝∅ B．A∩B＝B C．A∪B＝U D．(∁UB)∪A＝A 【答案】CD 【解析】令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁UA)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B， ∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U， 由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，∴(∁UB)∪A＝A，故C，D均正确．故选CD. 15．函数f(x)＝22x－2x＋1＋2的定义域为M，值域为[1,2]，下列结论中一定成立的是(　　) A．M⊆(－∞，1] B．M⊇[－2,1] C．1∈M D．0∈M 【答案】ACD 【解析】由于f(x)＝22x－2x＋1＋2＝(2x－1)2＋1∈[1,2]， ∴(2x－1)2∈[0,1]，∴2x－1∈[－1,1]，∴2x∈[0,2]，∴x∈(－∞，1]，即函数f(x)＝22x－2x＋1＋2的定义域为(－∞，1]． 当函数的最小值为1时，仅有x＝0满足，所以0∈M，故D正确；当函数的最大值为2时，仅有x＝1满足，所以1∈M，故C正确；即当M＝[0,1]时，函数的值域为[1,2]，故M⊆(－∞，1]，故M⊇[－2,1]不一定正确，故A正确，B错误．故选ACD. 16．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，集合A＝{x|f(x)≤0}，集合B＝，若A＝B≠∅，则实数a的取值可以是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【解析】由题意知A＝{x|x2＋ax＋b≤0}， 由B＝知f(f(x))≤即(x2＋ax＋b)2＋a(x2＋ax＋b)＋b－≤0①，由A＝B≠∅可知b＝且①为(x2＋ax＋b)x2＋ax＋a＋≤0，此时须满足 解得 故实数a的取值范围是[，5]，因此a的取值可以是3,4,5，故选BCD. 三、填空题(本大题共4小题，每空4分，共20分) 17．已知集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{2,3，m}，若A∩B＝{2,3,4}，则m＝___________. 【答案】4 【解析】因为A∩B＝{2,3,4}，所以4∈B，因为集合A＝{1,2,3,4}，集合B＝{2,3，m}，所以m＝4.故答案为：4. 18．已知命题“∃x∈R，mx2－x＋1<0”是假命题，则实数m的取值范围是___________． 【答案】m≥ 【解析】若命题“∃x∈R，mx2－x＋1<0”是假命题，则“∀x∈R，mx2－x＋1≥0”为真命题， 显然当m＝0时，不满足题意，故只需满足解得m≥.故答案为：m≥. 19．已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________. 【答案】2 【解析】由已知及A∪B＝A可得B⊆A，所以a＋2＝3或a＋2＝a2， 当a＋2＝3即a＝1时，此时A＝{1,3,1}不满足元素互异性，不符合题意． 当a＋2＝a2即a＝－1或a＝2时，若a＝－1则A＝{1,3,1}不满足元素互异性，不符合题意，若a＝2则A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，满足B⊆A，符合题意． 所以实数a＝2.故答案为：2. 20．设集合M＝{1,2,3,4,6}，S1，S2，…，Sk(k∈N*)都是M的含有两个元素的子集，则k＝________.若满足：对任意的Si＝{ai，bi}，Sj＝{aj，bj}(i≠j，i，j∈{1,2,3，…，k})都有ai<bi，aj<bj，且≠，则k的最大值是________． 【答案】10　6 【解析】M的两个元素子集有{1,2}、{1,3}、{1,4}、{1,6}、{2,3}、{2,4}、{2,6}、{3,4}、{3,6}、{4,6}，所以共有10个，因此k＝10. 因为前面的列举方式已经保证ai<bi，aj<bj，只需要再增加条件≠即可，所以{1,2}、{2,4}、{3,6}保留一个，{1,3}、{2,6}保留一个，{2,3}、{4,6}只能保留一个，所以以上10个子集需要删去4个，还剩下6个，所以k的最大值是6.故答案为：10；6. 四、解答题(本大题共2小题，共28分) 21．(本小题满分14分)已知集合A＝{x|(x－a)(x＋a＋1)≤0}，B＝{x|x≤3或x≥6}． (1)当a＝4时，求A∪B； (2)当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1){x|x≤4或x≥6}　(2)(0,3] 【解析】(1)当a＝4时，由不等式(x－4)(x＋5)≤0，得－5≤x≤4，故A＝{x|－5≤x≤4}，又B＝{x|x≤3或x≥6}，所以A∪B＝{x|x≤4或x≥6}． (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B， 因为a>0，由不等式(x－a)(x＋a＋1)≤0， 得A＝{x|－a－1≤x≤a}，又B＝{x|x≤3或x≥6}， 要使A⊆B，则a≤3或－a－1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3]． 22．(本小题满分14分)关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≥0(a∈R)的解集为∪. (1)求a的值； (2)关于x的不等式x2－(3c＋a)x＋2c(c＋a)<0的解集是集合A，不等式(2－x)(x＋1)>0的解集是集合B，若A⊆B，求实数c的取值范围． 【答案】(1)1　(2)－≤c≤1 【解析】(1)依题意，方程ax2＋(a－2)x－2＝0的解为－1,2，且a>0，于是得解得a＝1， 所以a＝1. (2)由(1)知，A＝{x|x2－(3c＋1)x＋2c(c＋1)＜0}，即A＝，而B＝(－1,2)，又A⊆B， ①c＞1，A＝(c＋1,2c)，⇒⇒c∈∅. ②c＜1，A＝(2c，c＋1)，⇒⇒－≤c＜1. ③c＝1，A＝∅，A⊆B. 所以实数c的取值范围是－≤c≤1. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$