第18讲 空间直线、平面的平行和垂直（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第18讲　空间直线、平面的平行和垂直 1.异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间 任意 一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，把直线a′，b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a，b所成的角. 2.异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直 相交 的直线，叫作异面直线的公垂线.公垂线段的长度，叫作异面直线间的距离. 3.直线和平面所成的角：若一条直线是平面的斜线，那么它与它在平面上的 射影 所成的锐角，叫这条直线与平面所成的角.若直线与平面垂直，则定义所成角为90°.若直线与平面平行，则定义所成角为0°. 4.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作棱的 垂线 ，构成的平面角叫二面角的平面角. 5.射影定理：如果平面α内的图形的面积为S，该图形在平面β上的 射影 的面积为S′，则平面α与平面β所成的角θ满足：cosθ＝. 6.异面直线所成角的范围： . 7.直线与平面所成角的范围： . 8.两个平面所成角的范围： (0，π) . 9.(最小角定理)直线与平面内所有直线所成角中 线面角 最小. 10.(最大角定理)在锐二面角的一个半平面内任意一条直线与另一个半平面所成角中 二面角 最大. 典型例题1　 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，如果SA＝BC，而且二面角S－BC－A为45°，求二面角B－SC－A的大小. 【答案】作HA⊥SB于H，作AE⊥SC于E，连结EH，由条件和三垂线定理知EH⊥SC， ∴∠AEH为二面角B－SC－A的平面角． ∵SA⊥平面ABC，∴平面SAB⊥平面ABC， 又∵平面SAB⊥平面SBC， ∴∠SBA为二面角S－BC－A的平面角， ∴∠SBA＝45°，设SA＝AB＝BC＝a， 则AH＝a，AC＝a，SC＝a，AE＝a， ∴sin∠AEH＝，∴∠AEH＝60°. 及时巩固 1 如图，AB⊥平面BCD，BD⊥CD， (1)求证：平面ABD⊥平面AC D. (2)如果AB＝BC＝2BD，求二面角B－AC－D的正弦值. 【答案】(1)证明：∵BD⊥CD，BA⊥CD， ∴平面ABD⊥CD， ∵CD⊂平面ACD， ∴平面ACD⊥平面ABD. (2)作BF⊥AD于F，BF⊥面ACD，过点B作BE⊥AC，连接EF，则∠BEF是所求二面角的平面角． 设BD＝a⇒BE＝a，BF＝a，∴sin∠BEF＝. 典型例题2　 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，DA的中点.若2AC＝BD＝4，EF＝，求异面直线AC与BD所成的角. 【答案】取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，FG∥AC，故∠EGF(或补角)为异面直线AC与BD所成的角． ∵AC＝2，BD＝4， ∴FG＝1，EG＝2. 在△EGF中，由余弦定理，得 cos∠EGF＝＝， ∴∠EGF＝60°，即异面直线AC与BD所成的角为60°. 及时巩固 2 从空间一点P出发的三条射线PA，PB，PC中，∠APB＝∠APC＝60°，cos∠BPC＝，求证：二面角B－PA－C为直二面角. 【答案】证明：如图，在PA上取一点O，过O作PA的垂线OM，ON交PB，PC于M，N，连接MN，设PO＝a， 则OM＝ON＝a， PM＝PN＝2a， 而MN2＝PM2＋PN2－2PM·PN·cos∠BPC＝6a2， 所以MN2＝OM2＋ON2， 所以∠MON＝，即二面角B－PA－C为直二面角． 典型例题3　 如图所示，ABCD是菱形，且∠ADC＝60°，PB⊥平面ABCD，EA∥PB，PB＝2EA＝BC，F是PD的中点. (1)求AB与PD所成的角的正切值； (2)求平面PED与平面ABCD夹角的大小. 【答案】(1)过点B作DC的垂线，交DC延长线于G，连接PG， 则∠PDG就是AB与PD所成的角，如图，设PB＝a. 在直角△PGD中， DG＝a，PG＝a， 所以tan∠PDG＝＝. (2)因为△PED在底面ABCD上的射影是△ADB， 设平面PED与平面ABCD所成二面角的大小为θ， 所以cosθ＝＝＝，故θ＝30°. 及时巩固 3 在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SCD与平面SAB夹角的余弦值. 【答案】∵∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD， ∴DA⊥平面ABS，且CB⊥平面ABS， 故△SCD在平面ABS的投影就是△SBA. 设所求的二面角的大小为θ， 则cosθ＝， S△SAB＝，S△SCD＝××＝， cosθ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$