第17讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第17讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 2.基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 3.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 4.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5.如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 相等 . 6.异面直线：不同在 任何 一个平面内的两条直线叫异面直线. 7.直线与平面垂直：如果一条直线和平面内的 任何一条 直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直. 8.点到平面的距离：从平面外一点引这个平面的 垂线 ，这个点和垂足间的距离叫点到平面的距离. 9.直线和平面的距离：一条直线和一个平面 平行 ，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫这条直线到这个平面的距离. 10.二面角：从一条直线引出两个 半平面 构成的图形叫二面角. 11.二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作棱的 垂线 ，构成的平面角叫二面角的平面角. 12.平面与平面垂直：平面与平面所构成的二面角是 直二面角 . 13.平面到平面的距离：如果两个平面 平行 ，则夹在平行平面间的公垂线段的长叫这两个平面的距离. 14.线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线 平行 ，那么这条直线和这个平面平行. 15.线面平行的性质定理：如果一条直线和平面平行，过这条直线作平面与已知平面相交，那么这条直线和交线 平行 . 16.线面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线 垂直 ，那么这条直线和这个平面垂直. 17.线面垂直的性质定理：同时垂直于同一平面的两条直线 平行 . 18.射影定理：从平面外的一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：射影相等的斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影 相等 ，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短. 19.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和平面外的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；反之，如果和平面外的一条斜线 垂直 ，那么它也和这条斜线的射影垂直. 20.平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条 相交 直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(垂直同一条直线的两个平面平行). 21.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面平行，其中一个平面内的直线必 相交 于另一个平面；如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线 平行 ；一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它一定 垂直 另一个平面. 22.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面通过另一个平面的一条 垂线 ，则这两个平面垂直. 23.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂直于它们交线的直线 垂直 于另一个平面. 典型例题1　 已知直线a，b，c和平面α，c∥α，a⊂α，b⊂α，且a∥b，a与c是异面直线，求证：b与c是异面直线. 【答案】证明：假设b和c不是异面直线， 则b∥c或b与c相交． (1)若b∥c，∵a∥b，∴a∥c，这与题设a与c是异面直线矛盾． (2)若b与c相交，∵b⊂α，∴c与α相交，这与题设 c∥α矛盾． 由(1)(2)知，假设不成立，故b与c是异面直线． 及时巩固 1 已知直线l′∥平面α，l′∥平面β，若α∩β＝l，求证：l∥l′. 【答案】证明：如图，过直线l′分别作两平面与平面α，β交于直线a，b. ∵l′∥平面α，∴l′∥a， 又∵l′∥平面β，∴l′∥直线b， ∵l′∥a且l′∥b，∴a∥b， 又∵a∥b，∴a∥β，又∵α∩β＝l，∴a∥l， 又∵l′∥a，∴l∥l′. 典型例题2　 (多选)已知直线a与直线b，平面α与平面β，那么下列命题中不正确的是(　　) A.若a∥α，a⊥b，则b⊥α B.若a∥α，a⊥β，则α⊥β C.若a⊂α，b⊂β，a⊥b，则α⊥β D.若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β 【答案】ACD 【解析】四个选项分别分析： 选项A反例如图1，选项C反例如图2，选项D反例如图3，选项B正确如图4，故选ACD. 及时巩固 2 已知平面α，β分别过两条互相垂直的异面直线a，b，则下列情况“(1)α∥β；(2)α⊥β；(3)a∥β；(4)b⊥α”中，可能成立的有(　　) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【答案】D 【解析】构造出(1)(2)(3)位置关系的图形，(4)与(3)同理，故选D. 典型例题3　 如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？ 【答案】∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH， ∴AB∥FG，AB∥EH， ∴FG∥HE， 同理可证，EF∥GH. ∴截面EFGH是平行四边形． 设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝θ，其中a，b，θ均为定值，θ是异面直线AB与CD所成的角或其补角．又设FG＝x，GH＝y，由平面几何知识得 ＝，＝. 两式相加，得＋＝1⇒y＝(a－x)， ∴S▱EFGH＝FG·GH·sinθ＝x·(a－x)sinθ＝·x(a－x)， ∵x＞0，a－x＞0，且x＋a－x＝a是定值， ∴当且仅当x＝a－x⇒x＝时，(S▱EFGH)max＝. 故当截面EFGH的顶点E，F，G，H分别为棱AD，AC，BC，BD的中点时，截面的面积最大． 及时巩固 3 如图，α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，求证：CD⊥AB. 【答案】证明：⇒EA⊥CD， 且⇒EB⊥CD， ∴⇒CD⊥平面EAB， 而AB⊂平面EAB，故AB⊥CD. 学科网（北京）股份有限公司 $$