第16讲 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积（word版）-【精英1号】2024年高中数学学考笔记·知识梳理手册

第16讲　基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 1.多面体：若干个平面 多边形 围成的封闭的几何体叫多面体.整个多面体在任何一个面所在平面的同一侧的多面体叫凸多面体. 2.棱柱：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相 平行 ，这样的多面体叫棱柱.侧棱不垂直底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱 垂直 底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫 正棱柱 . 3.棱锥：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的 正棱柱 ，这样的多面体叫作棱锥.如果棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的 中心 ，这样的棱锥叫正棱锥. 4.平行六面体：底面是 平行四边形 的四棱柱叫平行六面体. 5.棱台：由平行底面的平面截 棱锥 所得的几何体称为棱台. 6.正多面体：每个面都是有相同边数的 正多边形 ，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫正多面体.正多面体只有：正四面体，正六面体，正八面体， 正十二面体 ，正二十面体五种. 7.旋转体：曲线以一条直线为旋转轴，旋转一周形成的 封闭 的几何体叫旋转体. 8.球：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面.球面围成的几何体叫 球体 . 9.圆柱、圆锥、圆台：由矩形绕一边、直角三角形绕直角边、直角梯形绕直角腰旋转一周所得到的封闭的几何体分别称为 圆柱、圆锥、圆台 . 10.大圆：球面被过 球心 的平面截得的圆.小圆：球面被不过球心的平面截得的圆. 11.球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d，球的半径R及截面的半径r，满足关系： r＝ . 12.棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是 矩形 ；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. 13.平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相 平分 . 14.长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的 平方 和. 15.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个 直角 三角形. 16.棱柱的体积： V＝sh ，其中S是底面积，h是棱柱的高.圆柱的体积： V＝πr2h ，其中r是底面半径. 17.棱锥的体积： V＝Sh ，其中S是底面积，h是棱锥的高.圆锥的体积： V＝πr2h ，其中r是底面半径. 18.棱台的体积： V＝h(S1＋＋S2) ，其中S1，S2分别是上、下底面积，h是棱台的高. 圆台的体积： V＝πh(r＋r1r2＋r) ，其中r1，r2分别是上、下底面半径，h是圆台的高. 19.圆锥的侧面积： S＝πrl ，其中r是底面半径，l是母线的长.圆柱的侧面积： S＝2πrl ，其中r是底面半径，l是母线的长.圆台的侧面积： S＝π(r1＋r2)l ，其中r1，r2分别是上、下底面半径，l是母线的长. 20.球的体积： V＝πR3 ，其中R是球的半径.球的表面积： S＝4πR2 ，其中R是球的半径. 典型例题1　 (多选)两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm，把它们拼接在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，对角线的长度可以是(　　) A.cm B.7cm C.5cm D.10cm 【答案】ABC 【解析】新的长方体共有图1、图2、图3三种情况(单位：cm)，对角线的长度分别为： l1＝＝＝7(cm)， l2＝＝(cm)， l3＝＝5(cm)， 故选ABC. 及时巩固 1 若长方体的对角线长度为8，则长方体的表面积的最大值为(　　) A.32 B.128 C.64 D.256 【答案】B 【解析】设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有a2＋b2＋c2＝64， 而长方体的表面积S＝2ab＋2bc＋2ca≤2(a2＋b2＋c2)＝128，仅当a＝b＝c＝时，取到最大值，故选B. 典型例题2　 如图，一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥的体积为 .(写出一个可能值) 【答案】(答案不唯一) 【解析】根据题意知，△ABD，△ACD是等腰直角三角形，△ABC为边长为1的正三角形， ∴三棱锥的体积为DA·DB·DC＝×3＝.(答案不唯一) 及时巩固 2 在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直.设PA＝x，PB＝y，PC＝1，如果x＋y＝4，则此三棱锥体积的最大值是 . 【答案】 【解析】V＝×xy＝xy≤2＝， 当x＝y＝2时取到最小值． 典型例题3　 已知半径为R的球内切于1个圆锥，求圆锥全面积的最小值. 【答案】右图是圆锥的轴截面，设圆锥的底面半径为x，母线长为y，∠O1AO＝θ.定义cotθ＝， 则x＝Rcotθ，y＝＝， ∴S＝πx2＋πxy＝πR2cot2θ＋πRcotθ·，∵θ∈⇒tanθ∈(0,1)， tan2θ(1－tan2θ)≤2＝， ∴S＝2πR2·≥8πR2， 当且仅当tan2θ＝1－tan2θ⇒tanθ＝，即tanθ＝时取等号，故圆锥全面积的最小值为8πR2. 及时巩固 3 三棱锥S－ABC的底面是边长为4的正三角形ABC，又已知AS＝BS＝，CS＝3，求这个三棱锥的外接球的表面积. 【答案】作CK⊥AB交AB于K，其延长线交外接球于L，∴SK⊥AB，球心O位于△LSC内，CK＝2，LC＝，SK＝.∴cos∠SCL＝，LS＝.∴由正弦定理得2R＝＝2， ∴S球＝4πr2＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $$